2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十章 第五节 古典概型与几何概型 Word版含答案.pdf

《2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十章 第五节 古典概型与几何概型 Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第十章 第五节 古典概型与几何概型 Word版含答案.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第五节第五节古典概型与几何概型古典概型与几何概型 1.古典概型古典概型 (1)古典概型的特征：古典概型的特征： 有限性 ： 在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件 ；有限性 ： 在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件 ； , 等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的 等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的. 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等 可能性 有限性和等 可能性. (2)古典概型的概率计算的基本步骤：古典概型的概率计算的基本步骤：

2、 判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为 A； 分别计算基本事件的总数分别计算基本事件的总数 n 和所求的事件和所求的事件 A 所包含的基本事件个数所包含的基本事件个数 m； 利用古典概型的概率公式利用古典概型的概率公式 P(A) ，求出事件 ，求出事件 A 的概率的概率. m n (3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同 名称名称不同点不同点相同点相同点 频率计频率计 算公式算公式 频率计算中的频率计算中的 m，n 均随随机试验的变化而变化均随随机试验的变化而变化，但随着但随着

3、 试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值 古典概型的古典概型的 概率计算公式概率计算公式 是一个定值，对同一个随机事件而言，是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n 都不都不 m n 会变化会变化 都计算了一个比值都计算了一个比值m n 2.几何概型几何概型 (1)概念 ： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度概念 ： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积面积或体积)成比例，则称 这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型 成比例，则称 这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型. (2)几何概型的基本特点：几何

4、概型的基本特点： 试验中所有可能出现的结果试验中所有可能出现的结果(基本事件基本事件)有无限多个；有无限多个； 每个基本事件出现的可能性相等每个基本事件出现的可能性相等. (3)计算公式：计算公式： P(A). 构构成成事事件件A的的区区域域长长度度 面面积积或或体体积积 试试验验的的全全部部结结果果所所构构成成的的区区域域长长度度 面面积积或或体体积积 几何概型应用中的关注点几何概型应用中的关注点 1 关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率. 2确定基本事件时一定要选准度量，注意基本

5、事件的等可能性确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性. 小题查验基础 小题查验基础 一、判断题一、判断题(对的打“” ，错的打“”对的打“” ，错的打“”) (1)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( ) (2)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有 限 几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有 限.( ) (3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面” ，这三个事件是等可能 事件 掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”

6、，这三个事件是等可能 事件.( ) (4)在古典概型中，如果事件在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合中基本事件构成集合 A，所有的基本事件构成集合，所有的基本事件构成集合 I，则 事件 ，则 事件 A 的概率为的概率为.( ) card A card I 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 二、选填题二、选填题 1.一枚硬币连掷一枚硬币连掷 2 次，只有一次出现正面的概率为次，只有一次出现正面的概率为( ) A. B. 2 3 1 4 C.D. 1 3 1 2 解析：选解析：选 D 一枚硬币连掷 一枚硬币连掷 2 次可能出现次可能出现(正，正正，正)、(反，反反，反)、(正，

7、反正，反)、(反，正反，正)四种情 况，只有一次出现正面的情况有两种，故 四种情 况，只有一次出现正面的情况有两种，故 P . 2 4 1 2 2.某路公共汽车每某路公共汽车每 5 分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超 过 分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超 过 2 分钟的概率是分钟的概率是( ) A. B. 3 5 4 5 C.D. 2 5 1 5 解析：选解析：选 C 试验的全部结果构成的区域长度为 试验的全部结果构成的区域长度为 5，所求事件的区域长度为，所求事件的区域长度为 2，故所求概 率为 ，故所求概 率为 P . 2 5 3.已知

8、四边形已知四边形 ABCD 为长方形，为长方形，AB2，BC1，O 为为 AB 的中点，在长方形的中点，在长方形 ABCD 内随 机取一点，取到的点到 内随 机取一点，取到的点到 O 的距离大于的距离大于 1 的概率为的概率为( ) A.B.1 4 4 C.D.1 8 8 解析：选解析：选 B 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形 的面积比，即所求概率 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形 的面积比，即所求概率 P1 . S阴 阴影影 S长 长方方形形ABCD 2 2 2 4 4.从从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数，其和为中任意取出两个不同的数，其和为 5 的

9、概率是的概率是_. 解析 ： 两数之和等于解析 ： 两数之和等于5有两种情况有两种情况(1,4)和和(2,3)， 总的基本事件有， 总的基本事件有(1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (2,3)， (2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共，共 10 种，故所求概率种，故所求概率 P . 2 10 1 5 答案：答案：1 5 5.袋中有形状、大小都相同的袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中只球，其中 1 只白球，只白球，1 只红球，只红球，2 只黄球只黄球.从中一次随机 摸出 从中一次随机 摸出 2 只球，则这只球，则这 2 只球颜色不同的概率为只球颜

10、色不同的概率为_. 解析：解析：P11 . C2 2 C2 4 1 6 5 6 答案：答案：5 6 考考点点一一 古古典典概概型型师师生生共共研研过过关关 典例精析典例精析 (1)(2018全国卷全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥 德巴赫猜想是“每个大于 哥 德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ，如的偶数可以表示为两个素数的和” ，如 30723.在不超过在不超过 30 的 素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 的 素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是的概率

11、是( ) A. B. 1 12 1 14 C.D. 1 15 1 18 (2)(2019武汉调研武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为 a 和和 b，则方 程 ，则方 程 ax2bx10 有实数解的概率是有实数解的概率是( ) A.B. 7 36 1 2 C.D. 19 36 5 18 解析 解析 (1)不超过不超过 30 的所有素数为的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共，共 10 个，随机选取两个不 同的数，共有 个，随机选取两个不 同的数，共有 C 45 种情况，而和为种情况，而和为 30

12、的有的有 723,1119,1317 这这 3 种情况，所以所求种情况，所以所求 2 10 概率概率 P. 3 45 1 15 (2)投掷骰子两次，所得的点数投掷骰子两次，所得的点数 a 和和 b 满足的关系为满足的关系为Error!Error!所以所以 a 和和 b 的组合有的组合有 36 种种. 若方程若方程 ax2bx10 有实数解，有实数解， 则则 b24a0，所以，所以 b24a. 当当 b1 时， 没有时， 没有 a 符合条件 ； 当符合条件 ； 当 b2 时，时， a 可取可取 1； 当； 当 b3 时，时， a 可取可取 1,2； 当； 当 b4 时，时， a 可取可取 1,2

13、,3,4；当；当 b5 时，时，a 可取可取 1,2,3,4,5,6；当；当 b6 时，时，a 可取可取 1,2,3,4,5,6. 满足条件的组合有满足条件的组合有 19 种，则方程种，则方程 ax2bx10 有实数解的概率有实数解的概率 P. 19 36 答案 答案 (1)C (2)C 解题技法解题技法 1.古典概型的概率求解步骤古典概型的概率求解步骤 (1)求出所有基本事件的个数求出所有基本事件的个数 n. (2)求出事件求出事件 A 包含的所有基本事件的个数包含的所有基本事件的个数 m. (3)代入公式代入公式 P(A) 求解 求解. m n 2.基本事件个数的确定方法基本事件个数的确定

14、方法 (1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型. (2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法. (3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中 基本事件数的探求 树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中 基本事件数的探求. (4)运用排列组合知识计算运用排列组合知识计算. 过关训练过关训练 1.(2019益阳、湘潭调研益阳、湘潭调研)已知已知 a2,0,1,2,3，b3,5，则函数，

15、则函数 f(x)(a22)exb 为减 函数的概率是 为减 函数的概率是( ) A.B. 3 10 3 5 C.D. 2 5 1 5 解析：选解析：选 C 若函数 若函数 f(x)(a22)exb 为减函数，则为减函数，则 a220，又，又 a2,0,1,2,3，故 只有 ，故 只有 a0， a1 满足题意， 又满足题意， 又 b3,5， 所以函数， 所以函数 f(x)(a22)exb 为减函数的概率是为减函数的概率是2 2 5 2 . 2 5 2.从分别标有从分别标有 1,2，9 的的 9 张卡片中不放回地随机抽取张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取次，每次抽取 1 张，则抽到 的 张

16、，则抽到 的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A.B. 5 18 4 9 C.D. 5 9 7 9 解析：选解析：选 C 由题意得，所求概率 由题意得，所求概率 P . 5 4 2 9 8 5 9 3.将将 A，B，C，D 这这 4 名同学从左至右随机地排成一排，则“名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与与 B 相邻且相邻且 A 与与 C 之间之间 恰好有恰好有 1 名同学”的概率是名同学”的概率是( ) A.B. 1 2 1 4 C.D. 1 6 1 8 解析 ： 选解析 ： 选B A， B， C， D 4名同学排成一排有名同学排成一排有A 24种排

17、法种排法.当当A， C之间是之间是B时， 有时， 有224 4 4 种排法，当种排法，当 A，C 之间是之间是 D 时，有时，有 2 种排法，所以所求概率种排法，所以所求概率 P . 4 2 24 1 4 考考点点二二 几几何何概概型型全全析析考考法法过过关关 考法全析考法全析 类型类型(一一) 与长度有关的几何概型 与长度有关的几何概型 例 1 例 1 (2019濮阳模拟濮阳模拟)在6,9内任取一个实数在6,9内任取一个实数 m，设，设 f(x)x2mxm，则函数，则函数 f(x) 的图象与的图象与 x 轴有公共点的概率等于轴有公共点的概率等于( ) A. B. 2 15 7 15 C.D.

18、 3 5 11 15 解析 解析 f(x)x2mxm 的图象与的图象与 x 轴有公共点，轴有公共点，m24m0，m4 或或 m0， 在 6,9内 取 一 个 实 数， 在 6,9内 取 一 个 实 数 m， 函 数， 函 数 f(x)的 图 象 与的 图 象 与 x 轴 有 公 共 点 的 概 率轴 有 公 共 点 的 概 率 P ，故选 ，故选 D. 4 6 9 0 9 6 11 15 答案 答案 D 类型类型(二二) 与面积有关的几何概型 与面积有关的几何概型 例 2 例 2 (1)(2018潍坊模拟潍坊模拟)如图，六边形如图，六边形 ABCDEF 是一个正六边 形，若在正六边形内任取一点

19、，则该点恰好在图中阴影部分的概率是 是一个正六边 形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是 ( ) A. B. 1 4 1 3 C.D. 2 3 3 4 (2)(2019洛阳联考洛阳联考)如图， 圆如图， 圆 O： x2y22内的正弦曲线内的正弦曲线 ysin x 与与 x 轴围成的区域记为轴围成的区域记为 M(图中阴影部分图中阴影部分)，随机往圆，随机往圆 O 内投一个点内投一个点 A，则点，则点 A 落在区域落在区域 M 内的概率是内的概率是( ) A.B. 4 2 4 3 C.D. 2 2 2 3 解析 解析 (1)设正六边形的中心为点设正六边形的中心为点 O， BD

20、 与与 AC 交于点交于点 G， BC1， 则， 则 BGCG， ， BGC 120，在，在BCG 中，由余弦定理得中，由余弦定理得 1BG2BG22BG2cos 120，得，得 BG，所以，所以 S BCG 3 3 BGBGsin 120 ，因为 ，因为 S六边形 六边形 ABCDEF S BOC 6 11sin 1 2 1 2 3 3 3 3 3 2 3 12 1 2 606，所以该点恰好在图中阴影部分的概率，所以该点恰好在图中阴影部分的概率 P1 . 3 3 2 6S BCG S六 六边 边形形ABCDEF 2 3 (2)由题意知圆由题意知圆 O 的面积为的面积为 3， 正弦曲线， 正弦

21、曲线 ysin x， x， 与， 与 x 轴围成的区域记为轴围成的区域记为 M， 根据图形的对称性得区域 ， 根据图形的对称性得区域 M 的面积的面积 S2 sin xdx2cos x 4，由几何概型的概率计，由几何概型的概率计 0| 0 算公式可得，随机往圆算公式可得，随机往圆 O 内投一个点内投一个点 A，则点，则点 A 落在区域落在区域 M 内的概率内的概率 P. 4 3 答案 答案 (1)C (2)B 类型类型(三三) 与体积有关的几何概型 与体积有关的几何概型 例 3 已知在四棱锥例 3 已知在四棱锥 PABCD 中，中， PA底面底面 ABCD， 底面， 底面 ABCD 是正方形，

22、是正方形， PAAB2， 现在该四棱锥内部或表面任取一点 ， 现在该四棱锥内部或表面任取一点 O，则四棱锥，则四棱锥 O ABCD 的体积不小于 的概率为的体积不小于 的概率为_. 2 3 解析 当四棱锥解析 当四棱锥 O ABCD 的体积为 时，设的体积为 时，设 O 到平面到平面 ABCD 的距离的距离 2 3 为为 h，则 ，则 22h ，解得 ，解得 h . 1 3 2 3 1 2 如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥 PABCD 内作平面内作平面 EFGH 平行于底面平行于底面 ABCD，且 平面 ，且 平面 EFGH 与底面与底面 ABCD 的距离为的距离为 . 1 2 因为因为

23、PA底面底面 ABCD，且，且 PA2，所以 ，所以 ， PH PA 3 4 又四棱锥又四棱锥 PABCD 与四棱锥与四棱锥 PEFGH 相似，相似， 所以四棱锥所以四棱锥 O ABCD 的体积不小于 的概率的体积不小于 的概率 P 3 3 . 2 3 V四 四棱棱锥锥PEFGH V四 四棱棱锥锥PABCD ( ( PH PA) ) ( ( 3 4) ) 27 64 答案 答案 27 64 类型类型(四四) 与角度有关的几何概型 与角度有关的几何概型 例 4 如图，四边形例 4 如图，四边形 ABCD 为矩形，为矩形，AB，BC1，以，以 A 为为3 圆 心， 圆 心，1 为半径作四分之一个圆

24、弧为半径作四分之一个圆弧，在，在DAB 内任作射线内任作射线 AP，则射 线 ，则射 线 AP 与线段与线段 BC 有公共点的概率为有公共点的概率为_. 解析 连接解析 连接 AC，如图，如图， 因为因为 tanCAB， BC AB 3 3 所以所以CAB ， 满足条件的事件是直线 ， 满足条件的事件是直线 AP 在在CAB 内， 且内， 且 AP 与与 AC 相交时， 即直线相交时， 即直线 AP 6 与线段与线段 BC 有公共点，所以射线有公共点，所以射线 AP 与线段与线段 BC 有公共点的概率有公共点的概率 P . CAB DAB 6 2 1 3 答案 答案 1 3 规律探求规律探求

25、看看 个个 性性 类型类型(一一)与类型与类型(四四)分别讲的是与长度有关和与角度有关的几何概型分别讲的是与长度有关和与角度有关的几何概型. 要特别注意要特别注意“长度型长度型”与与“角度型角度型”的不同的不同.解题的关键是构建事件的区域解题的关键是构建事件的区域(长度或角度长度或角度). 类型(二)是与面积有关的几何概型.类型(二)是与面积有关的几何概型. 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造 两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造 两个变量，

26、把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解. 类型(三)是与体积有关的几何概型.类型(三)是与体积有关的几何概型. 对于与体积有关的几何概型问题， 关键是计算问题的总体积对于与体积有关的几何概型问题， 关键是计算问题的总体积(总空间总空间)以及事件的体积以及事件的体积(事 件空间 事 件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解 找找 共共 性性 建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并 加以度量 建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并 加以度量. (

27、1)若一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，则只需把这个变量放在数轴上即可；若一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，则只需把这个变量放在数轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个连续变量来描述，则可用这两个变量组成的有序实数对 来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系即可建立与面积有关的几何概型； 若一个随机事件需要用两个连续变量来描述，则可用这两个变量组成的有序实数对 来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系即可建立与面积有关的几何概型； (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来 表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型 若

28、一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来 表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型 过关训练过关训练 1.(2019豫东名校联考豫东名校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是是AB的中点，一只 蝴蝶在几何体 的中点，一只 蝴蝶在几何体 ADFBCE 内自由飞翔，则它飞入几何体内自由飞翔，则它飞入几何体 FAMCD 内的概率为内的概率为( ) A. B. 3 4 2 3 C.D. 1 3 1 2 解析：选解析：选 D 由题图可知 由题图可知 VFAMCD S四边形 四边形 AMCD DF a3，VA

29、DFBCE a3， 1 3 1 4 1 2 所以它飞入几何体所以它飞入几何体 FAMCD 内的概率内的概率 P . 1 4a 3 1 2a 3 1 2 2.在区间0，上随机取一个数在区间0，上随机取一个数 x，则事件“，则事件“sin xcos x”发生的概率为”发生的概率为_. 2 2 解析：由题意可得解析：由题意可得Error!Error! 即即Error!Error!解得解得 0x， 7 12 故所求的概率为故所求的概率为. 7 12 7 12 答案：答案： 7 12 3.(2018唐山模拟唐山模拟)向圆向圆(x2)2(y)24 内随机投掷一点，则该点落在内随机投掷一点，则该点落在 x 轴下方的概轴下方的概3 率为率为_. 解析：如图，连接解析：如图，连接 CA，CB，依题意，圆心，依题意，圆心 C 到到 x 轴的距离为，所轴的距离为，所3 以弦以弦 AB 的长为的长为 2.又圆的半径为又圆的半径为 2， 所以弓形， 所以弓形 ADB 的面积为 的面积为 2 1 2 2 3 1 2 2 ， 所以向圆， 所以向圆(x2)2(y)24 内随机投掷一点，则该点内随机投掷一点，则该点3 2 3 33 落在落在 x 轴下方的概率轴下方的概率 P . 1 6 3 4 答案： 答案： 1 6 3 4