《2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第四章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第四章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 Word版含答案.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第五节第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)sin()sin cos cos sin (异名相乘、加减一致异名相乘、加减一致)； (2)cos( )cos cos sin sin (同名相乘、加减相反同名相乘、加减相反)； (3)tan()(两式相除、上同下异两式相除、上同下异) tan tan 1 tan tan (1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中 的特殊情况的特殊情况 (2)二倍角是相对的，如 ： 是 的二倍角是相对的，如 ： 是
2、的 2 倍，倍，3 是的是的 2 倍倍.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式 2 4 3 2 (1)sin 22sin cos ； (2)cos 2cos2sin2 2cos2112sin2； (3)tan 2. 2tan 1 tan2 熟记常用结论熟记常用结论 1 公式的常用变式 ： 公式的常用变式 ： tan tan tan()(1 tan tan )； tan tan 1 tan tan tan 1. tan tan tan 2降幂公式：降幂公式：sin2；cos2；sin cos sin 2. 1cos 2 2 1cos 2 2 1 2 3升幂公式：升幂公式：1
3、cos 2cos2；1cos 2sin2；1sin 2； ；1sin 2 2 ( ( sin 2 cos 2) ) 2. ( ( sin 2 cos 2) ) 4 常用拆角、 拼角技巧 ： 例如， 常用拆角、 拼角技巧 ： 例如， 2()()； ()()； 2 (2)()；()()；154530； ； 等 等 2 4 2 ( ( 4 ) ) 5 辅助角公式 ： 一般地， 函数 辅助角公式 ： 一般地， 函数 f()asin bcos (a， b 为常数为常数)可以化为可以化为 f()sin(a2b2 )或或 f()cos(). ( ( 其其中中tan b a) ) a2b2 ( ( 其其中中t
4、an a b) ) 小题查验基础小题查验基础 一、判断题一、判断题(对的打“” ，错的打“”对的打“” ，错的打“”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意的是任意的( ) (2)存在实数存在实数 ，使等式，使等式 sin()sin sin 成立成立( ) (3)公式公式 tan()可以变形为可以变形为 tan tan tan()(1tan tan )，且，且 tan tan 1tan tan 对任意角对任意角 ， 都成立都成立( ) (4)存在实数存在实数 ，使，使 tan 22tan .( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 二、选
5、填题二、选填题 1cos 18 cos 42cos 72 sin 42( ) A B. 3 2 3 2 C D. 1 2 1 2 解析：选解析：选 D 原式 原式cos 18 cos 42sin 18 sin 42cos(1842 )cos 60 . 1 2 2若若 cos ， ， 是第三象限的角，则是第三象限的角，则 sin等于等于( ) 4 5 ( ( 4) ) A B. 2 10 2 10 C D. 7 2 10 7 2 10 解析：选解析：选 C 是第三象限角，是第三象限角， sin ， ，1cos2 3 5 sin . ( ( 4) ) 3 5 2 2 ( ( 4 5) ) 2 2
6、7 2 10 3已知已知 tan 2，所以，所以 tan( ) ( ( 4) ) A. B. 1 4 1 3 C. D3 1 2 解析：选解析：选 B tan 2，tan . ( ( 4) ) tan 1 1tan 1 3 4已知已知 cos x ，则 ，则 cos 2x_. 3 4 解析：解析：cos x ， ，cos 2x2cos2x1 . 3 4 1 8 答案：答案：1 8 5若若 tan ， ，tan() ，则 ，则 tan _. 1 3 1 2 解析：解析：tan tan()() tan tan 1tan tan . 1 2 1 3 11 2 1 3 1 7 答案：答案：1 7 考点
7、一公式的直接应用基础自学过关考点一公式的直接应用基础自学过关 题组练透 题组练透 1已知已知 sin ， ，tan() ，则 ，则 tan()的值为的值为( ) 3 5 ( ( 2， ，) ) 1 2 A B. 2 11 2 11 C. D 11 2 11 2 解析：选解析：选 A 因为 因为 sin ， ， 3 5 ( ( 2， ，) ) 所以所以 cos ， ，1sin2 4 5 所以所以 tan . sin cos 3 4 因为因为 tan() tan ，所以，所以 tan ， ， 1 2 1 2 则则 tan(). tan tan 1tan tan 2 11 2已知已知 sin cos
8、 ，且，且 ，则的值为，则的值为( ) 1 3 ( ( 0， ， 2) ) cos 2 sin ( ( 4) ) A B. 2 3 2 3 C D. 1 3 1 3 解析：选解析：选 A 因为 因为 sin cos ，即，即 sin cos ， ， 1 3 1 3 所以所以 cos 2 sin ( ( 4) ) cos2sin2 sin cos 4 cos sin 4 ，故选，故选 A. cos sin cos sin 2 2 sin cos 1 3 2 2 2 3 3设设 sin 2sin ，则，则 tan 2 的值是的值是_ ( ( 2， ，) ) 解析：解析：sin 22sin cos
9、sin ， ( ( 2， ，) ) cos ， ，sin ，tan ， 1 2 3 2 3 tan 2. 2tan 1 tan2 2 3 1 3 2 3 答案：答案： 3 4已知已知 cos，x. ( ( x 4) ) 2 10 ( ( 2， ， 3 4 ) ) (1)求求 sin x 的值；的值； (2)求求 cos的值的值 ( ( 2x 3) ) 解：解：(1)因为因为 x， ( ( 2， ， 3 4 ) ) 所以所以 x ， ， 4 ( ( 4， ， 2) ) sin . ( ( x 4) ) 1 cos2( ( x 4) ) 7 2 10 sin xsinsincos cossin .
10、 ( ( x 4) ) 4 ( ( x 4) ) 4 ( ( x 4) ) 4 7 2 10 2 2 2 10 2 2 4 5 (2)因为因为 x， ( ( 2， ， 3 4 ) ) 故故 cos x ， ，1sin2x1 ( ( 4 5) ) 2 3 5 sin 2x2sin xcos x，cos 2x2cos2x1. 24 25 7 25 所以所以 coscos 2xcos sin 2xsin . ( ( 2x 3) ) 3 3 7 25 1 2 24 25 3 2 24 37 50 名师微点名师微点 三角函数公式的应用策略三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要
11、记住公式的结构特征使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征 (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值 考点二三角函数公式的逆用与变形用师生共研过关考点二三角函数公式的逆用与变形用师生共研过关 典例精析典例精析 (1)在在ABC 中，若中，若 tan Atan Btan Atan B1，则，则 cos C_. (2)_. sin 10 1 3tan 10 (3)化简化简_. sin2351 2 cos 10cos 80 解析 解析 (1)由由 tan Atan Btan Atan B1， 可得可得1， tan A
12、tan B 1tan Atan B 即即 tan(AB)1，又因为，又因为 AB(0，)， 所以所以 AB，则，则 C ， ，cos C. 3 4 4 2 2 (2) sin 10 1 3tan 10 sin 10cos 10 cos 10 3sin 10 . 2sin 10cos 10 4 ( ( 1 2cos 10 3 2 sin 10) ) sin 20 4sin 30 10 1 4 (3) sin2351 2 cos 10cos 80 1cos 70 2 1 2 cos 10sin 10 1. 1 2cos 70 1 2sin 20 答案 答案 (1) (2) (3)1 2 2 1 4
13、 解题技法解题技法 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式 (2)和差角公式变形：和差角公式变形： sin sin cos()cos cos ， cos sin sin()sin cos ， tan tan tan()(1 tan tan ) (3)倍角公式变形：降幂公式倍角公式变形：降幂公式 提醒 提醒 tan tan ，tan tan (或或 tan tan )，tan()(或或 tan()三者中可以知 二求一，且常与一元
14、二次方程根与系数的关系结合命题 三者中可以知 二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题 过关训练过关训练 1(2019西安模拟西安模拟)已知已知 sin 2 ，则 ，则 cos2( ) 2 3 ( ( 4) ) A. B 1 6 1 6 C. D. 1 2 2 3 解析 ： 选解析 ： 选 A cos2，sin 2 ， ，cos2 ( ( 4) ) 1cos 2 ( ( 4) ) 2 1sin 2 2 2 3 ( ( 4) ) 12 3 2 . 1 6 2(2018益阳模拟益阳模拟)已知已知 cossin ，则，则 sin_. ( ( 6) ) 4 3 5 ( ( 7 6 ) ) 解析
15、：由解析：由 cossin ， ( ( 6) ) 4 3 5 可得可得cos sin sin ， 3 2 1 2 4 3 5 即即 sin cos ， 3 2 3 2 4 3 5 sin，即，即 sin ， ，3 ( ( 6) ) 4 3 5 ( ( 6) ) 4 5 sinsin . ( ( 7 6 ) )( ( 6) ) 4 5 答案：答案：4 5 考点三公式的灵活应用全析考法过关考点三公式的灵活应用全析考法过关 考法全析考法全析 考法考法(一一) 角的变换 角的变换 例 1 例 1 (1)(2019开封模拟开封模拟)已知已知 cos ，则 ，则 cos xcos( ) ( ( x 6)
16、) 1 3 ( ( x 3) ) A. B. 3 2 3 C. D. 1 2 3 3 (2)(2019南昌模拟南昌模拟)设设 为锐角，若为锐角，若 cos ，则 ，则 sin的值为的值为( ) ( ( 6) ) 1 3 ( ( 2 12) ) A. B. 7 25 7 2 8 18 C D. 17 2 50 2 5 解析 解析 (1)cos xcoscoscos2coscos . ( ( x 3) ) ( ( x 6) ) 6 ( ( x 6) ) 6 ( ( x 6) ) 6 3 3 (2) 为锐角， 为锐角， 0 ， ， ， 设 ， 设 ， 由 ， 由 cos ， 得 ， 得 sin ，
17、2 6 6 2 3 6 ( ( 6) ) 1 3 2 2 3 sin 22sin cos ，cos 22cos21 ， ， 4 2 9 7 9 sin sin sin sin 2cos cos 2sin ( ( 2 12) ) ( ( 2 3 4) ) ( ( 2 4) ) 4 4 ( ( 4 2 9 ) ) 2 2 . ( ( 7 9) ) 2 2 7 2 8 18 答案 答案 (1)D (2)B 考法考法(二二) 三角函数式的变化 三角函数式的变化 例 2 例 2 (1)化简：化简：(0) 1 sin cos ( ( sin 2 cos 2) ) 22cos (2)求值：求值：sin 10
18、 . 1cos 20 2sin 20 ( ( 1 tan 5 tan 5 ) ) 解 解 (1)由由 (0，)，得，得 0 ， ，cos 0， 2 2 2 2cos .22cos 4cos2 2 2 又又(1sin cos ) ( ( sin 2 cos 2) ) ( ( 2sin 2cos 2 2cos2 2) )( (sin 2 cos 2) ) 2cos 2( (sin 2 2 cos2 2) ) 2cos cos ， 2 故原式故原式cos . 2cos 2cos 2cos 2 (2)原式原式sin 10 2cos210 2 2sin 10cos 10 ( ( cos 5 sin 5
19、sin 5 cos 5) ) sin 10 cos 10 2sin 10 cos25sin25 sin 5cos 5 sin 10 cos 10 2sin 10 cos 10 1 2sin 10 2cos 10 cos 10 2sin 10 cos 10 2sin 20 2sin 10 cos 10 2sin 30 10 2sin 10 cos 102 ( ( 1 2cos 10 3 2 sin 10) ) 2sin 10 . 3sin 10 2sin 10 3 2 规律探求规律探求 看个性看个性 考法考法(一一)是考查角的变换，解决此类问题应明确各个角之间的关系是考查角的变换，解决此类问题应
20、明确各个角之间的关系(包括非特 殊角与特殊角、已知角与未知角 包括非特 殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互 转化，如： ，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互 转化，如：2()()，()()，406020， ， ， ， 2 等 等 ( ( 4 ) ) ( ( 4 ) ) 2 2 4 考法考法(二二)是三角函数式的变化， 解决此类问题应明确各个三角函数名称之间的 联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切 化为正弦、余弦 是三角函数式的变化， 解决此类问题应明确各个三角函数名称之间的 联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切
21、，或者把正切 化为正弦、余弦 找共性找共性 转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、 函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化 转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、 函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化 过关训练过关训练 1已知已知 tan 4，则，则 cos2( ) 1 tan ( ( 4) ) A. B. 1 2 1 3 C. D. 1 4 1 5 解析：选解析：选 C 由 由 tan 4，得，得4，即，即4，sin cos 1 tan sin cos cos sin sin2cos2 sin cos ，c
22、os2 . 1 4 ( ( 4) ) 1 cos ( ( 2 2) ) 2 1sin 2 2 12sin cos 2 12 1 4 2 1 4 2(2018济南一模济南一模)若若 sin，A，则，则 sin A 的值为的值为( ) ( ( A 4) ) 7 2 10 ( ( 4， ，) ) A. B. 3 5 4 5 C. 或或 D. 3 5 4 5 3 4 解析：选解析：选 B A，A ， ， ( ( 4， ，) ) 4 ( ( 2， ， 5 4 ) ) cos ， ( ( A 4) ) 1 sin2( ( A 4) ) 2 10 sin Asin ( ( A 4) ) 4 sincos cossin . ( ( A 4) ) 4 ( ( A 4) ) 4 4 5