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1、课时跟踪检测课时跟踪检测(三十九三十九) 基本不等式 基本不等式 一、题点全面练一、题点全面练 1已知已知 f(x)，则，则 f(x)在上的最小值为在上的最小值为( ) x22x1 x 1 2， ，3 A. B. 1 2 4 3 C1 D0 解析：选解析：选 D f(x)x 2220， x22x1 x 1 x 当且仅当当且仅当 x ，即 ，即 x1 时取等号又时取等号又 1， 1 x 1 2， ，3 所以所以 f(x)在上的最小值是在上的最小值是 0. 1 2， ，3 2(2018哈尔滨二模哈尔滨二模)若若 2x2y1，则，则 xy 的取值范围是的取值范围是( ) A0,20,2 B2,02,
2、0 C2，) D(，22，) D(，2 解析：选解析：选 D 由 由 12x2y2，变形为，变形为 2x y ，即 ，即 xy2，当且仅当，当且仅当 xy 时时2x2y 1 4 取等号则取等号则 xy 的取值范围是的取值范围是(，2 3若实数若实数 a，b 满足 ，则满足 ，则 ab 的最小值为的最小值为( ) 1 a 2 b ab A. B22 C2 D42 解析：选解析：选 C 因为 ，所以 因为 ，所以 a0，b0， 1 a 2 b ab 由 由 2 2 ，ab 1 a 2 b 1 a 2 b 2 ab 所以所以 ab2(当且仅当当且仅当 b2a 时取等号时取等号)，2 所以所以 ab
3、的最小值为的最小值为 2 . 2 4已知已知 a0，b0，若不等式 恒成立，则，若不等式 恒成立，则 m 的最大值为的最大值为( ) 3 a 1 b m a 3b A9 B12 C18 D24 解析：选解析：选 B 由 ， 由 ， 3 a 1 b m a 3b 得得 m(a3b) 6. ( ( 3 a 1 b) ) 9b a a b 又 又 62612， 9b a a b 9 ， ( ( 当当且且仅仅当当9b a a b， ，即 即a3b时时等等号号成成立立 ) ) m12，m 的最大值为的最大值为 12. 5正数正数 a，b 满足 满足 1，若不等式，若不等式 abx24x18m 对任意实数
4、对任意实数 x 恒成立，则恒成立，则 1 a 9 b 实数实数 m 的取值范围是的取值范围是( ) A3，) B(，33，) B(，3 C(，6 D6，) 解析：选解析：选 D 因为 因为 a0，b0， ， 1， 1 a 9 b 所以所以 ab(ab)10 10216， 当且仅当 ， 即， 当且仅当 ， 即 a4， b12 时，时， ( ( 1 a 9 b) ) b a 9a b 9 b a 9a b 等号成立由题意，得等号成立由题意，得 16x24x18m， 即即 x24x2m 对任意实数对任意实数 x 恒成立，恒成立， 令令 f(x)x24x2(x2)26， 所以所以 f(x)的最小值为的
5、最小值为6， 所以所以6m，即，即 m6. 6 (2019青岛模拟青岛模拟)已知已知 x0， y0， (lg 2)x(lg 8)ylg 2， 则 的最小值是， 则 的最小值是_ 1 x 1 3y 解析 ： 因为解析 ： 因为(lg 2)x(lg 8)ylg 2， 所以， 所以x3y1， 则 ， 则 (x3y)24， 1 x 1 3y ( ( 1 x 1 3y) ) 3y x x 3y 当且仅当，即当且仅当，即 x ， ，y 时取等号，故 的最小值为 时取等号，故 的最小值为 4. 3y x x 3y 1 2 1 6 1 x 1 3y 答案：答案：4 7若正数若正数 x，y 满足满足 4x29y
6、23xy30，则，则 xy 的最大值为的最大值为_ 解析：解析：304x29y23xy23xy，36x2y2 即即 3015xy，所以，所以 xy2， 当且仅当当且仅当 4x29y2，即，即 x，y时等号成立时等号成立3 2 3 3 故故 xy 的最大值为的最大值为 2. 答案：答案：2 8规定：“”表示一种运算，即规定：“”表示一种运算，即 a bab(a，b 为正实数为正实数)若若 1 k3，则，则 k 的的ab 值为值为_，此时函数，此时函数 f(x)的最小值为的最小值为_ k x x 解析：由题意得解析：由题意得 1 k1k3，即，即 k20，kk 解得解得1 或或2(舍去舍去)，所以
7、，所以 k1，故，故 k 的值为的值为 1.kk 又又 f(x)1123， 1 x x xx1 x x 1 x 当且仅当，即当且仅当，即 x1 时取等号，时取等号，x 1 x 故函数故函数 f(x)的最小值为的最小值为 3. 答案：答案：1 3 9已知已知 x0，y0，且，且 2x8yxy0，求：，求： (1)xy 的最小值；的最小值； (2)xy 的最小值的最小值 解：解：(1)由由 2x8yxy0，得 ，得 1. 8 x 2 y 又又 x0，y0， 则则 1 2 ，得，得 xy64， 8 x 2 y 8 x 2 y 8 xy 当且仅当 ，即当且仅当 ，即 x16 且且 y4 时，等号成立时
8、，等号成立 8 x 2 y 所以所以 xy 的最小值为的最小值为 64. (2)由由 2x8yxy0，得 ，得 1， 8 x 2 y 则则 xy(xy) ( ( 8 x 2 y) ) 10102 18. 2x y 8y x 2x y 8y x 当且仅当，即当且仅当，即 x12 且且 y6 时等号成立，时等号成立， 2x y 8y x 所以所以 xy 的最小值为的最小值为 18. 10(1)当当 x 时，求函数 时，求函数 yx的最大值；的最大值； 3 2 8 2x 3 (2)设设 0x2，求函数，求函数 y的最大值的最大值x 4 2x 解：解：(1)y (2x3) 1 2 8 2x 3 3 2
9、 . ( ( 3 2x 2 8 3 2x) ) 3 2 当当 x 时，有 时，有 32x0， 3 2 2 4， 3 2x 2 8 3 2x 3 2x 2 8 3 2x 当且仅当，即当且仅当，即 x 时取等号 时取等号 3 2x 2 8 3 2x 1 2 于是于是 y4 ，故函数的最大值为 ，故函数的最大值为 . 3 2 5 2 5 2 (2)0x2，2x0， y ，x 4 2x 2x 2 x 2 x2 x 2 2 当且仅当当且仅当 x2x，即，即 x1 时取等号，时取等号， 当当 x1 时，函数时，函数 y的最大值为的最大值为.x 4 2x 2 二、专项培优练二、专项培优练 (一一)易错专练易
10、错专练不丢怨枉分不丢怨枉分 1已知已知 ab1，且，且 2logab3logba7，则，则 a的最小值为的最小值为( ) 1 b21 A3 B. 3 C2 D. 2 解析 ： 选解析 ： 选 A 令 令logabt， 由， 由 ab1得得 0t1,2logab3logba2t 7， 得， 得t ， 即 ， 即 logab 3 t 1 2 ， ，ab2，所以，所以 aa11213，当且仅当，当且仅当 a2 时取等时取等 1 2 1 b21 1 a 1 a 1 1 a 1 号故号故 a的最小值为的最小值为 3. 1 b21 2若正数若正数 a，b 满足： 满足： 1，则的最小值为，则的最小值为(
11、) 1 a 2 b 2 a 1 1 b 2 A2 B. 3 2 2 C. D1 5 2 3 2 4 解析：选解析：选 A 由 由 a，b 为正数，且 为正数，且 1，得，得 b0，所以，所以 a10， 1 a 2 b 2a a 1 所以所以 2 a 1 1 b 2 2 a 1 1 2a a 1 2 2 a 1 a 1 2 2 2， 2 a 1 a 1 2 当且仅当和 当且仅当和 1 同时成立，同时成立， 2 a 1 a 1 2 1 a 2 b 即即 ab3 时等号成立，时等号成立， 所以的最小值为所以的最小值为 2. 2 a 1 1 b 2 3函数函数 y12x (x0)的值域为的值域为_ 3
12、 x 解析：解析：x0，y12x 1(2x)12 12，当且仅，当且仅 3 x ( ( 3 x) ) 2x 3 x 6 当当 x时取等号，故函数时取等号，故函数 y12x (x0)的值域为的值域为12，) 6 2 3 x 6 答案：答案：12，)6 (二二)交汇专练交汇专练融会巧迁移融会巧迁移 4 与函数交汇已知函数 与函数交汇已知函数 f(x)loga(x4)1(a0 且且 a1)的图象恒过定点的图象恒过定点 A， 若直线 ， 若直线 x m 2(m0，n0)也经过点也经过点 A，则，则 3mn 的最小值为的最小值为( ) y n A16 B8 C12 D14 解析：选解析：选 B 由题意，
13、函数 由题意，函数 f(x)loga(x4)1(a0 且且 a1)， 令令 x41，可得，可得 x3，代入可得，代入可得 y1， 图象恒过定点图象恒过定点 A(3，1) 直线 直线 2(m0，n0)也经过点也经过点 A， x m y n 2，即，即1. 3 m 1 n 3 2m 1 2n 3mn(3mn) 2 58(当且仅当当且仅当 nm2 时，时， ( ( 3 2m 1 2n) ) 9 2 1 2 3n 2m 3m 2n 3n 2m 3m 2n 取等号取等号) 3mn 的最小值为的最小值为 8. 5与数列交汇已知首项与公比相等的等比数列与数列交汇已知首项与公比相等的等比数列an中，若中，若
14、m，nN*，满足，满足 ama a ， 2 n2 4 则 的最小值为则 的最小值为( ) 2 m 1 n A1 B.3 2 C2 D.9 2 解析：选解析：选 A 根据题意，设 根据题意，设an的公比为的公比为 q， 则则 amqm，anqn，a4q4. 由由 ama a 得得 qm 2n q8， 2 n2 4 m2n8，1. m 2n 8 又又 m，nN*， ， 2 1， 2 m 1 n 2 m 2n 8m m 2n 8n 1 4 n 2m m 8n 1 4 1 2 1 16 当且仅当，即当且仅当，即 m2n4 时取“” ，时取“” ， n 2m m 8n 的最小值为 的最小值为 1. 2
15、m 1 n 6与解析几何交汇若直线与解析几何交汇若直线 mxny20(m0，n0)被圆被圆(x3)2(y1)21 所截得 的弦长为 所截得 的弦长为 2，则 的最小值为，则 的最小值为( ) 1 m 3 n A4 B6 C12 D16 解析：选解析：选 B 圆心坐标为 圆心坐标为(3，1)，半径为，半径为 1，又直线被圆截得的弦长为，又直线被圆截得的弦长为 2，所以直线 过圆心，所以 ，所以直线 过圆心，所以3mn20，3mn2，所以 ，所以 (3mn) 1 m 3 n 1 2 ( ( 1 m 3 n) ) 1 2( (6 n m 9m n ) ) 1 2 6，当且仅当 时取等号，因此 的最小
16、值为，当且仅当 时取等号，因此 的最小值为 6，故选，故选 B. ( 6 2 n m 9m n ) n m 9m n 1 m 3 n 7 与线性规划交汇已知 与线性规划交汇已知x， y满足满足Error!Error!z2xy的最大值为的最大值为m， 若正数， 若正数a， b满足满足abm， 则 的最小值为 ， 则 的最小值为_ 1 a 4 b 解析：画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，解析：画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示， z2xy 的几何意义为直线的几何意义为直线 2xyz0 在在 y 轴上的截距，由图可知，当直线过点轴上的截距，由图可知，当直线过点 M 时， 直线 时， 直线2xyz0在在y轴上的截距最大， 即目标函数轴上的截距最大， 即目标函数z2xy取得最大值， 由取得最大值， 由Error!Error!解得解得M(3,0)， 所以 ， 所以 z 的最大值为的最大值为 2306， 即， 即 m6， 所以， 所以 ab6， 故 ， 故 (ab) 1 a 4 b 1 6( ( 1 a 4 b) ) 1 6( (5 b a 4a b ) ) ，当且仅当 ，即 ，当且仅当 ，即 b4，a2 时等号成立时等号成立 1 6(5 2 b a 4a b ) 3 2 b a 4a b 答案：答案：3 2