2020版高考理科数学（人教版）一轮复习课时跟踪检测：（二十七） 解三角形的实际应用 Word版含解析.pdf

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1、课时跟踪检测课时跟踪检测(二十七二十七) 解三角形的实际应用 解三角形的实际应用 一、题点全面练一、题点全面练 1.如图，两座灯塔如图，两座灯塔 A 和和 B 与河岸观察站与河岸观察站 C 的距离相等，灯塔的距离相等，灯塔 A 在观 察站南偏西 在观 察站南偏西 40，灯 塔，灯 塔 B 在观察站南偏东在观察站南偏东 60， 则灯塔， 则灯塔 A 在灯塔在灯塔 B 的的( ) A北偏东北偏东 10 B北偏西北偏西 10 C南偏东南偏东 80 D南偏西南偏西 80 解析：选解析：选 D 由条件及题图可知， 由条件及题图可知，AB40，又，又BCD60，所以，所以CBD30， 所以 ， 所以DBA

2、10，因此灯塔，因此灯塔 A 在灯塔在灯塔 B 南偏西南偏西 80 . 2如图，从气球如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为的俯角分别为 75，30，此时气球 的高是 ，此时气球 的高是 60 m，则河流的宽度，则河流的宽度 BC 等于等于( ) A240(1)m B180(1)m32 C120(1)m D30(1)m33 解析：选解析：选 C tan 15tan(6045 )2，BC60tan 60 tan 60tan 45 1tan 60tan 45 3 60tan 15120(1)(m)3 3一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量

3、喷水柱喷出的水柱的高度，某人 在喷水柱正西方向的点 一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人 在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为测得水柱顶端的仰角为45， 沿点， 沿点A向北偏东向北偏东30前进前进100 m到达点到达点B， 在 ， 在 B 点测得水柱顶端的仰角为点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是，则水柱的高度是( ) A50 m B100 m C120 m D150 m 解析 ： 选解析 ： 选A 作出示意图如图所示， 设水柱高度是 作出示意图如图所示， 设水柱高度是h m， 水柱底端为， 水柱底端为C，则 在 ，则 在RtBCD中，中，B

4、Ch，在，在ABC中，中，A60，ACh，AB100，根据余弦，根据余弦3 定 理得， 定 理得，(h)2h210022h100cos 60， 即， 即h250h5 0000， 即， 即(h3 50)(h100)0， 即， 即h50， 故水柱的高度是， 故水柱的高度是 50 m. 4地面上有两座相距地面上有两座相距 120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为 ，在高塔塔底望矮 塔塔顶的仰角为 ， 且在两塔底连线的中点 ，在高塔塔底望矮 塔塔顶的仰角为 ， 且在两塔底连线的中点 O 处望两塔塔顶的仰角互为余角， 则两塔的高度分处望两塔塔顶的仰角互为余角， 则

5、两塔的高度分 2 别为别为( ) A50 m,100 m B40 m,90 m C40 m,50 m D30 m,40 m 解析：选解析：选 B 设高塔高 设高塔高 H m，矮塔高，矮塔高 h m，在，在 O 点望高塔塔顶的仰角为点望高塔塔顶的仰角为 . 则则 tan ，tan ， H 120 2 h 120 根据三角函数的倍角公式有根据三角函数的倍角公式有. H 120 2 h 120 1 ( ( h 120) ) 2 因为在两塔底连线的中点因为在两塔底连线的中点 O 望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在 O 点望矮塔塔顶的仰角 为 点望矮塔塔顶的仰角 为 ， 2

6、 由由 tan ，tan， H 60 ( ( 2 ) ) h 60 得得. H 60 60 h 联立解得联立解得 H90，h40. 即两座塔的高度分别为即两座塔的高度分别为 40 m,90 m. 5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形的扇形 AOB，C 是该 小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 是该 小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路的小路CD.已知某人从已知某人从O 沿沿 OD 走到走到 D 用了用了 2 min，从，从D沿着沿着DC走到走到C用了用了3 min.若此人步行的速度为若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的

7、半径的长度为，则该扇形的半径的长度为 ( ) A50 m B50 m57 C50 m D50 m1119 解析：选解析：选 B 设该扇形的半径为 设该扇形的半径为 r(m)，连接，连接 CO，如图所示，如图所示 由题意，得由题意，得 CD150(m)，OD100(m)，CDO60， 在在CDO 中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得 CD2OD22CDODcos 60OC2， 即即 150210022150100 r2， 1 2 解得解得 r50(m)7 6.如图，为了测量河对岸电视塔如图，为了测量河对岸电视塔 CD 的高度，小王在点的高度，小王在点 A 处测得塔顶处测得塔顶 D 的仰角为的仰角

8、为 30，塔 底 ，塔 底 C 与与 A 的连线同河岸成的连线同河岸成 15角，小王向前走了角，小王向前走了 1 200 m 到达到达 M 处，测得塔底处，测得塔底 C 与与 M 的连线 同河岸成 的连线 同河岸成 60角，则电视塔角，则电视塔 CD 的高度为的高度为_m. 解析：在解析：在ACM 中，中，MCA601545，AMC18060120，由正弦定理 得，即，解得 ，由正弦定理 得，即，解得 AC600. AM sinMCA AC sinAMC 1 200 2 2 AC 3 2 6 在在ACD 中，中，tanDAC， DC AC 3 3 DC600600.6 3 3 2 答案：答案：

9、600 2 7.如图， 为了测量河对岸如图， 为了测量河对岸 A， B 两点之间的距离， 观察者找到一个点两点之间的距离， 观察者找到一个点 C， 从 ， 从 C 点可以观察到点点可以观察到点 A，B； 找到一个点； 找到一个点 D，从，从 D 点可以观察到点点可以观察到点 A，C； 找到一个点 ； 找到一个点 E，从，从 E 点可以观察到点点可以观察到点 B， C.测量得到 ：测量得到 ： CD2， CE2， ， D3 45， ， ACD105， ， ACB48.19， ， BCE75， ， E60， 则， 则 A， B 两点 之间的距离为 两点 之间的距离为_. ( ( 取取cos 48.

10、192 3) ) 解析 ： 依题意知， 在解析 ： 依题意知， 在ACD中， 中， DAC30， 由正弦定理得， 由正弦定理得AC2， 在， 在BCE CDsin 45 sin 30 2 中， 中， CBE45， 由正弦定理得， 由正弦定理得 BC3.在在ABC 中， 由余弦定理得中， 由余弦定理得 AB2AC2 CEsin 60 sin 45 2 BC22ACBCcosACB10，解得，解得 AB.10 答案：答案： 10 8.如图所示， 在一个坡度一定的山坡如图所示， 在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为的顶上有一高度为 25 m 的建 筑物 的建 筑物 CD， 为了测量该山坡相对

11、于水平地面的坡角， 为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ， 在山坡的， 在山坡的 A 处测得处测得 DAC15，沿山坡前进，沿山坡前进50 m到达到达B处，又测得处，又测得DBC45， 根据以上数据可 得 ， 根据以上数据可 得 cos _. 解析：由解析：由DAC15，DBC45，可得，可得DBA135，ADB30 . 在在ABD 中，根据正弦定理可得，中，根据正弦定理可得， AB sinADB BD sinBAD 即，即， 50 sin 30 BD sin 15 所以所以 BD100sin 15100sin(4530 )25()62 在在BCD 中，由正弦定理得，中，由正弦定理得， CD

12、sinDBC BD sinBCD 即，即， 25 sin 45 25 6 2 sinBCD 解得解得 sinBCD1.3 所以所以 cos cos(BCD90 )sinBCD1.3 答案：答案：13 9如图所示，在一条海防警戒线上的点如图所示，在一条海防警戒线上的点 A，B，C 处各有一个水 声 监测点， 处各有一个水 声 监测点， B， C 两点到点两点到点A的距离分别为的距离分别为20 km和和50 km.某时刻，某时刻， B收到 发自静止目标 收到 发自静止目标P的一个声波信号，的一个声波信号， 8 s后后A， C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播 速度是 同时接收到该声波信号

13、，已知声波在水中的传播 速度是 1.5 km/s. (1)设设 A 到到 P 的距离为的距离为 x km，用，用 x 表示表示 B，C 到到 P 的距离，并求的距离，并求 x 的值；的值； (2)求静止目标求静止目标 P 到海防警戒线到海防警戒线 AC 的距离的距离 解：解：(1)依题意，有依题意，有 PAPCx， PBx1.58x12. 在在PAB 中，中，AB20，cosPAB. PA2AB2PB2 2PAAB x2202 x 12 2 2x20 3x 32 5x 同理，在同理，在PAC 中，中，AC50， cosPAC. PA2AC2PC2 2PAAC x2502x2 2x50 25 x

14、 因为因为 cosPABcosPAC， 所以，解得所以，解得 x31. 3x 32 5x 25 x (2)作作 PDAC 于点于点 D(图略图略)，在，在ADP 中，中， 由由 cosPAD， 25 31 得得 sinPAD，1cos2PAD 4 21 31 所以所以 PDPAsinPAD314(km) 4 21 31 21 故静止目标故静止目标 P 到海防警戒线到海防警戒线 AC 的距离为的距离为 4 km.21 10.已知在东西方向上有已知在东西方向上有 M， N 两座小山， 山顶各有一座发射塔两座小山， 山顶各有一座发射塔 A， B， 塔顶 ， 塔顶 A，B 的海拔高度分别为的海拔高度分

15、别为 AM100 m 和和 BN200 m，一测量车在 小山 ，一测量车在 小山 M 的正南方向的点的正南方向的点 P 处测得发射塔顶处测得发射塔顶 A 的仰角为的仰角为 30，该测量车 向北偏西 ，该测量车 向北偏西 60方向行驶了方向行驶了 100 m 后到达点后到达点 Q，在点，在点 Q 处测得发射塔处测得发射塔3 顶顶 B 处的仰角为处的仰角为 ，且，且BQA，经测量，经测量 tan 2，求两发射塔顶，求两发射塔顶 A，B 之间的距离之间的距离 解：在解：在 RtAMP 中，中，APM30，AM100，PM100 . 3 连接连接 QM(图略图略)，在，在PQM 中，中，QPM60，P

16、Q100，3 PQM 为等边三角形，为等边三角形，QM100 . 3 在在 RtAMQ 中，由中，由 AQ2AM2QM2，得，得 AQ200. 在在 RtBNQ 中，中，tan 2，BN200， BQ100，cos .5 5 5 在在BQA 中，中，BA2BQ2AQ22BQAQcos (100)2，5 BA100 . 5 即两发射塔顶即两发射塔顶 A，B 之间的距离是之间的距离是 100 m.5 二、专项培优练二、专项培优练 (一一)易错专练易错专练不丢怨枉分不丢怨枉分 1一船自西向东匀速航行，上午一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达灯塔时到达灯塔 P 的南偏西的南偏西 75，距灯塔，距灯

17、塔 68 n mile 的的 M 处，下午处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则此船航行的速度为处，则此船航行的速度为_n mile/h. 解析：如图，由题意知解析：如图，由题意知MPN7545120，PNM45 . 在在PMN 中，中， MN sin 120 PM sin 45 MN6834 n mile. 3 2 2 2 6 又由又由 M 到到 N 所用的时间为所用的时间为 14104 小时，小时， 此船的航行速度此船的航行速度 v n mile/h. 34 6 4 17 6 2 答案：答案：17 6 2 2.如图，一位同学从如图，一位同学从 P1处

18、观测塔顶处观测塔顶 B 及旗杆顶及旗杆顶 A，得仰角分别为，得仰角分别为 和和 90.后退后退 l m 至点至点 P2 处再观测塔顶处再观测塔顶 B，仰角变为原来的一半，设塔，仰角变为原来的一半，设塔 CB 和旗杆和旗杆 BA 都垂直于地面，且都垂直于地面，且 C，P1，P2三 点在同一条水平线上， 则塔 三 点在同一条水平线上， 则塔 BC 的高为的高为_m； 旗杆； 旗杆 BA 的高为的高为_m (用含有用含有 l 和和 的式子表示的式子表示) 解析：在解析：在 RtBCP1中，中，BP1C， 在在 RtP2BC 中，中，P2 . 2 BP1CP1BP2P2， P1BP2 ，即 ，即P1B

19、P2为等腰三角形，为等腰三角形，BP1P1P2l， 2 BClsin . 在在 RtACP1中，中，tan(90)，AC，则，则 BAACBC AC CP1 AC lcos lcos2 sin lcos2 sin lsin . l cos2sin2 sin lcos 2 sin 答案：答案：lsin lcos 2 sin (二二)素养专练素养专练学会更学通学会更学通 3.直观想象、数学建模为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器 科研单位研究出一种新的 “弹射型” 气象仪器，这种仪器可以弹射到空中 进行气象观测如图所示， 直观想象、数学建模为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器 科研单位研究出一

20、种新的 “弹射型” 气象仪器，这种仪器可以弹射到空中 进行气象观测如图所示，A， B， C 三地位于同一水平面上，这种仪器在三地位于同一水平面上，这种仪器在 C 地进行弹射实验， 观 测点 地进行弹射实验， 观 测点 A， B 两地相距两地相距 100 米， 米， BAC60 .在在 A 地听到弹射声音的时间比地听到弹射声音的时间比 B 地晚秒在地晚秒在 A 地地 2 17 测得该仪器至最高点测得该仪器至最高点 H 处的仰角为处的仰角为 30 (已知声音的传播速度为已知声音的传播速度为 340 米米/秒秒) (1)求求 A，C 两地的距离；两地的距离； (2)求这种仪器的垂直弹射高度求这种仪器

21、的垂直弹射高度 HC. 解：解：(1)由题意，设由题意，设 ACx，因为在，因为在 A 地听到弹射声音的时间比地听到弹射声音的时间比 B 地晚秒，地晚秒， 2 17 所以所以 BCx340x40， 2 17 在在ABC 内，由余弦定理得内，由余弦定理得 BC2AC2BA22BAACcosBAC， 即即(x40)2x210 000100x，解得，解得 x420. 故故 A，C 两地的距离为两地的距离为 420 米米 (2)在在 RtACH 中，中，AC420，CAH30， 所以所以 CHACtanCAH140米米3 故该仪器的垂直弹射高度故该仪器的垂直弹射高度 CH 为为 140米米3 4.数学

22、建模如图所示，经过村庄数学建模如图所示，经过村庄 A 有两条夹角为有两条夹角为 60的公路的公路 AB， AC，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂，根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂 P， 分别在两条公路， 分别在两条公路 边上建两个仓库边上建两个仓库 M， N(异于村庄异于村庄 A)， 要求， 要求 PMPNMN2(单位：千米单位：千米)记记AMN. (1)将将 AN，AM 用含用含 的关系式表示出来；的关系式表示出来； (2)如何设计如何设计(即即 AN，AM 为多长时为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村 庄的距离 即工

23、厂与村 庄的距离 AP 最大最大)? 解：解：(1)AMN， 在在AMN 中，由正弦定理，得，中，由正弦定理，得， MN sin 60 AN sin AM sin 120 所以所以 ANsin ，AMsin(120) 4 3 3 4 3 3 (2)在在APM 中，由余弦定理，中，由余弦定理， 得得 AP2AM2PM22AMPMcosAMP sin2(60 )4sin(60 )cos(60 ) 16 3 16 3 3 1cos(2120) 1cos(2120)sin(2120 )4 8 3 8 3 3 sin(2120 )cos(2120 ) 8 3 3 20 3 sin(2150 )， 0120 (其中利用诱导公式可知其中利用诱导公式可知 sin(120)sin(60 )， 20 3 16 3 当且仅当当且仅当 2150270，即，即 60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时 AN AM2 千米千米