《2020版高考理科数学（人教版）一轮复习课时跟踪检测：（十八） 导数与函数的零点问题 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考理科数学（人教版）一轮复习课时跟踪检测：（十八） 导数与函数的零点问题 Word版含解析.pdf（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、课时跟踪检测课时跟踪检测(十八十八) 导数与函数的零点问题 导数与函数的零点问题 1设设 a 为实数，函数为实数，函数 f(x)x33xa. (1)求求 f(x)的极值；的极值； (2)是否存在实数是否存在实数 a，使得方程，使得方程 f(x)0 恰好有两个实数根？若存在，求出实数恰好有两个实数根？若存在，求出实数 a 的值；若 不存在，请说明理由 的值；若 不存在，请说明理由 解：解：(1)f(x)3x23，令，令 f(x)0，得，得 x1 或或 x1. 当当 x(， ， 1)时，时， f(x)0； 当； 当 x(1,1)时，时， f(x)0； 当； 当 x(1， ， )时，时， f(x)
2、0， f(x)在在(，1)，(1，)上单调递减，在上单调递减，在(1,1)上单调递增上单调递增 f(x)的极小值为的极小值为 f(1)a2，极大值为，极大值为 f(1)a2. (2)方程方程 f(x)0 恰好有两个实数根，等价于直线恰好有两个实数根，等价于直线 ya 与函数与函数 yx33x 的图象有两个交 点 的图象有两个交 点yx33x，y3x23.令令 y0，解得，解得 x1 或或 x1； 令； 令 y0，解得，解得1x1. yx33x 在在(1,1)上为减函数， 在上为减函数， 在(1， ， )和和(， ， 1)上为增函数 当上为增函数 当 x1 时，时， y 极大值极大值 2；当；当
3、 x1 时，时，y极小值 极小值 2.yx33x 的大致图象如图所示的大致图象如图所示 ya 表示平行于表示平行于 x 轴的一条直线，由图象知，当轴的一条直线，由图象知，当 a2 或或 a2 时，时，ya 与与 yx33x 有两个交点有两个交点 故当故当 a2 或或 a2 时，方程时，方程 f(x)0 恰好有两个实数根恰好有两个实数根 2(2019锦州联考锦州联考)已知函数已知函数 f(x)exaxa(aR 且且 a0) (1)若函数若函数 f(x)在在 x0 处取得极值，求实数处取得极值，求实数 a 的值，并求此时的值，并求此时 f(x)在2,1上的最大值；在2,1上的最大值； (2)若函数
4、若函数 f(x)不存在零点，求实数不存在零点，求实数 a 的取值范围的取值范围 解 ：解 ： (1)由由f(x)exaxa， 得， 得f(x)exa.函数函数f(x)在在x0处取得极值， 处取得极值， f(0)e0a 0，a1.f(x)exx1，f(x)ex1.当当 x(，0)时，时，f(x)0，f(x)单调递 减；当 单调递 减；当 x(0，)时，时，f(x)0，f(x)单调递增易知单调递增易知 f(x)在2,0)上单调递减，在(0,1上 单调递增，且 在2,0)上单调递减，在(0,1上 单调递增，且 f(2) 3，f(1)e，f(2)f(1)， 1 e2 f(x)在2,1上的最大值是 在2
5、,1上的最大值是 3. 1 e2 (2)f(x)exa. 当当 a0 时，时，f(x)0，f(x)在在 R 上单调递增，且当上单调递增，且当 x1 时，时，f(x)exa(x1)0； 当当 x0 时，取时，取 x ，则 ，则 f1aa0，函数，函数 f(x)存在零点，不满足存在零点，不满足 1 a ( ( 1 a) ) ( ( 1 a 1 ) ) 题意题意 当当 a0 时，令时，令 f(x)exa0，则，则 xln(a) 当当 x(，ln(a)时，时，f(x)0，f(x)单调递减；单调递减； 当当 x(ln(a)，)时，时，f(x)0 ，f(x)单调递增，单调递增， 当当 xln(a)时，时，
6、f(x)取得极小值，也是最小值取得极小值，也是最小值 函数函数 f(x)不存在零点，等价于不存在零点，等价于 f(ln(a)eln( a) aln(a)a2aaln(a)0，解得 ，解得 e2a0. 综上所述，所求实数综上所述，所求实数 a 的取值范围是的取值范围是(e2,0) 3(2018郑州第一次质量预测郑州第一次质量预测)已知函数已知函数 f(x)ln x (aR 且且 a0) 1 ax 1 a (1)讨论函数讨论函数 f(x)的单调性；的单调性； (2)当当 x时，试判断函数时，试判断函数 g(x)(ln x1)exxm 的零点个数的零点个数 1 e， ，e 解：解：(1)f(x)(x
7、0)， ax 1 ax2 当当 a0 时，时，f(x)0 恒成立，函数恒成立，函数 f(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； 当当 a0 时，由时，由 f(x)0，得，得 x ， ， ax 1 ax2 1 a 由由 f(x)0，得，得 0x ， ， ax 1 ax2 1 a 函数函数 f(x)在上单调递增，在上单调递减在上单调递增，在上单调递减 ( ( 1 a， ， ) )( ( 0， ，1 a) ) 综上所述，当综上所述，当 a0 时，函数时，函数 f(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； 当当 a0 时，函数时，函数 f(x)在上单调递增，在上单调递减在上单调递增，在上单调递减 (
8、 ( 1 a， ， ) )( ( 0， ，1 a) ) (2)当当 x时， 函数时， 函数 g(x)(ln x1)exxm 的零点个数， 等价于方程的零点个数， 等价于方程(ln x1)exx 1 e， ，e m 的根的个数的根的个数 令令 h(x)(ln x1)exx， 则则 h(x)ex1. ( ( 1 x ln x1 ) ) 由由(1)知当知当 a1 时，时，f(x)ln x 1 在上单调递减，在在上单调递减，在(1，e)上单调递增，上单调递增， 1 x ( ( 1 e， ，1) ) 当当 x时，时，f(x)f(1)0. 1 e， ，e ln x10 在在 x上恒成立上恒成立 1 x 1
9、 e， ，e h(x)ex1010， ( ( 1 x ln x1 ) ) h(x)(ln x1)exx 在在 x上单调递增，上单调递增， 1 e， ，e h(x)minh2e ， ，h(x)maxh(e)e. ( ( 1 e) ) 1 e 1 e 当当 m2e 或 或 me 时，函数时，函数 g(x)在上没有零点；在上没有零点； 1 e 1 e 1 e， ，e 当当2e me 时，函数时，函数 g(x)在上有一个零点在上有一个零点 1 e 1 e 1 e， ，e 4(2019益阳、湘潭调研益阳、湘潭调研)已知函数已知函数 f(x)ln xax2x，aR. (1)当当 a0 时，求曲线时，求曲线
10、 yf(x)在点在点(e，f(e)处的切线方程；处的切线方程； (2)讨论讨论 f(x)的单调性；的单调性； (3)若若 f(x)有两个零点，求有两个零点，求 a 的取值范围的取值范围 解 ：解 ： (1)当当 a0 时，时，f(x)ln xx，f(e)e1，f(x) 1，f(e)1 ，曲线 ，曲线 yf(x) 1 x 1 e 在点在点(e，f(e)处的切线方程为处的切线方程为 y(e1)(xe)，即，即 yx. ( ( 11 e) ) ( ( 1 e 1 ) ) (2)f(x)(x0)， 2ax2x1 x 当当 a0 时，显然时，显然 f(x)0，f(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增；
11、 当当 a0 时，令时，令 f(x)0，则，则2ax2x10，易知，易知 0 恒成立恒成立 2ax2x1 x 设方程的两根分别为设方程的两根分别为 x1，x2(x1x2)，则，则 x1x20，x10x2， 1 2a f(x)(x0) 2ax2x1 x 2a xx1 x x2 x 由由 f(x)0 得得 x(0，x2)，由，由 f(x)0 得得 x(x2，)，其中，其中 x2， 1 8a 1 4a 函数函数 f(x)在上单调递增，在上单调递减在上单调递增，在上单调递减 ( ( 0， ，1 8a 1 4a ) )( ( 1 8a 1 4a ， ， ) ) (3)函数函数 f(x)有两个零点，等价于
12、方程有两个零点，等价于方程 a有两解有两解 ln x x x2 令令 g(x)(x0)，则，则 g(x). ln x x x2 12ln x x x3 由由 g(x)0，得，得 2ln xx1，解得，解得 0x1， 12ln x x x3 g(x)在在(0,1)单调递增，在单调递增，在(1，)单调递减，单调递减， 又当又当 x1 时，时，g(x)0，当，当 x0 时，时，g(x)，当，当 x时，时，g(x)0， 作出函数作出函数 g(x)的大致图象如图，结合函数值的变化趋势猜想：当的大致图象如图，结合函数值的变化趋势猜想：当 a(0,1)时符合题意时符合题意 下面给出证明：下面给出证明： 当当 a1 时，时，ag(x)max，方程至多一解，不符合题意；，方程至多一解，不符合题意； 当当 a0 时，方程至多一解，不符合题意；时，方程至多一解，不符合题意； 当当 a(0,1)时，时，g0，ga0， ( ( 1 e) ) ( ( 1 e) ) ga， ( ( 2 a) ) a2 4( (ln 2 a 2 a) ) a2 4( ( 2 a 2 a) ) ga0. ( ( 2 a) ) 方程在与上各有一个根，方程在与上各有一个根， ( ( 1 e， ，1) ) ( (1， ， 2 a) ) 若若 f(x)有两个零点，有两个零点，a 的取值范围为的取值范围为(0,1)