《初高中数学衔接预习教材（共19讲）：第18讲 指数函数与对数函数、函数的零点、函数的应用（必修1第四章）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初高中数学衔接预习教材（共19讲）：第18讲 指数函数与对数函数、函数的零点、函数的应用（必修1第四章）.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、指数与指数幂的运算（1） 知识点 1：根式的概念及运算根式的概念及运算 考察： ，那么就叫 4 的 ；，那么 3 就叫 27 的 ； 2 ( 2)42 3 327 ，那么就叫做的 .依此类推，若，那么叫做的 . 4 ( 3)81381 n xaxa 新知：一般地，若,那么叫做的次方根，其中,.简记：. n xaxan1n n n a 反思：当 n 为奇数时, n 次方根情况如何？ 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根情况？ 强调：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，即.00 n 新知：像的式子就叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数. n a 试试：计算、. 22 ( 3)
2、33 4( 2)n n 结论：. 当是奇数时，；当是偶数时，.()n n aan nn aan (0) | (0) nn aa aa aa 例 1 求下类各式的值： （1） ； （2） ； （3）； （4） （）. 3 3 ()a 4 4 ( 7) 6 6 (3) 2 2 ()abab 变式：计算或化简下列各式. （1）； （2）. 5 32 36 a 【相应训练题】 1. 化简或计算：（1） （2） （3） （4） 510 a 39 7 6 6 ()ab 33 (5) 2. 的值是（ ）. A. 3 B. 3 C. 3 D. 81 4 4 ( 3) 3. 625 的 4 次方根是（ ）. A
3、. 5 B. 5 C. 5 D. 25 4. 化简是（ ）. A. B. C. D. 22 ()bbbb 1 b 指数与指数幂的运算（2） 知识点 1：分数指数幂分数指数幂 引例：a0 时，则类似可得 ； 10 510252 55 ()aaaa 312 a ，类似可得 . 22 3 323 33 ()aaaa 新知：规定分数指数幂如下 ； . * (0,1) m nm n aaam nNn * 11 (0,1) m n m nm n aam nNn a a 【相应训练题】 （1）将下列根式写成分数指数幂形式： = ； = ； = . 25 3 34 5 m a(0,)amN （2）求值：； ；
4、 ； . 2 3 8 2 5 5 4 3 6 5 2 a 知识点 2：指数幂的运算性质： （）0,0,abr sQ ； ； r a sr s aa () rsrs aa ()r rr aba a 例 1 求值：； ； ； . 2 3 27 3 4 16 3 3 ( ) 5 3 2 25 () 49 例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）； （2）； （3）.(0)b 2 bb 533 bb 34 b b 例 3 计算（式中字母均正）：（1）； （2）. 211511 336622 (3)( 8)( 6)a ba ba b 31 16 84 ()m n 例 4 计算： （1） ；（2）
5、； （3）. 3 34 a aa (0)a 31 2103 6 52 (2)()m nm n ( ,)m nN 344 ( 1632)64 【相应训练题】 1. 把化成分数指数幂. 8 51 32 3 xx 2. 计算：（1） （2） （3）. 344 3327 3 4 6 3 8 () 125 a b 2 3 27 3. 若，且为整数，则下列各式中正确的是（ ）.0a ,m n A. B. C. D. m mn n aaa mnmn aaa n mm n aa 0 1 nn aa 4. 化简的结果是（ ）. A. 5 B. 15 C. 25 D. 125 3 2 25 5. 计算的结果是（
6、）. A B D 1 2 2 2 22 2 2 2 2 6. 若，则= .102, 104 mn 3 2 10 m n 指数与指数幂的运算（综合训练） 例 1 已知=3，求下列各式的值： 11 22 aa （1）； （2）； （3） 1 aa 22 aa 33 22 11 22 aa aa 【补充：立方和差公式.】 3322 ()()abab aabb 变式：已知，求值： （1）； （2）. 11 22 3aa 11 22 aa 33 22 aa 【相应训练题】 1. 化简：. 1111 2244 ()()xyxy 2. 已知 x+x-1=3，求下列各式的值. （1）； （2）. 11 22
7、xx 33 22 xx 3. 的值为（ ）. A. B. C. 3 D. 729 3 2 933 3 4. 下列各式中成立的是（ ）. A B C D 1 77 7 () n n m m 43 12( 3) 3 3 33 44 ()xyxy 33 93 5. 化简= . 3 2 25 () 4 6. 化简= . 211511 336622 1 ()( 3)() 3 a ba ba b 指数函数及其性质（1） 知识点 1：指数函数模型思想及指数函数概念指数函数模型思想及指数函数概念 实例： A细胞分裂时，第一次由 1 个分裂成 2 个，第 2 次由 2 个分裂成 4 个，第 3 次由 4 个分裂
8、成 8 个，如 此下去，如果第 x 次分裂得到 y 个细胞，那么细胞个数 y 与次数 x 的函数关系式是什么？ B一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的 84，那么以时间 x 年为自变量，残 留量 y 的函数关系式是什么？ 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？ 新知：一般地，函数叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R.(0,1) x yaaa且 知识点 2：指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： ， 1 ( ) 2 x y 2xy 新知：根据图象归纳指数函数的性质. a100,a1)的图象恒过
9、定点（ ）. 2 1 x a A. B. C. D. (0,1)(0,2)(2,1)(2,2) 5. 指数函数，满足不等式 ，则它们的图象是（ ）.( ) x f xm( ) x g xn01mn 6. 比较大小： . 2 3 ( 2.5) 4 5 ( 2.5) 7. 函数的定义域为 . 1 ( )1 9 x y 对数与对数运算（1） 知识点 1：对数的概念对数的概念 问题：截止到 1999 年底，我国人口约 13 亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%，那么多少年后人口数 可达到 18 亿，20 亿，30 亿？ 讨论：（1）问题具有怎样的共性？ （2）已知底数和幂的值，求指数 怎样求
10、呢？例如：由，求 x.1.01xm 1、一般地，如果，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的_. x aN(0,1)aa 记作 _，其中 a 叫做对数的_，N 叫做_ 2、我们通常将以 10 为底的对数叫做_，并把常用对数简记为_ 在科学技术中常 10 logN 使用以无理数 e=2.71828为底的对数，以 e 为底的对数叫_，并把自然对数简记作_ logeN 反思： （1）指数与对数间的关系？ 时， .0,1aa x aN （2）负数与零是否有对数？为什么？ （3）对数的性质： ， .log 1 a logaa 例 1 下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1） ； （2）； （3）；
11、 （4） ； 3 5125 7 1 2 128 327 a 2 100.01 （5）； （6）lg0.001=； （7）ln100=4.606. 1 2 log 325 3 变式： lg0.001=？ 1 2 log 32? 例 2 求下列各式中 x 的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 64 2 log 3 x log 86 x lg4x 3 lnex 【相应训练题】 1. 求下列各式的值. （1） ； （2） ； （3） 10000. 5 log 25 2 1 log 16 lg 2. 探究 log? n aa log ? aN a 3. 若，则（ ）. A. 4 B. 6 C.
12、 8 D. 9 2 log3x x 4. = （ ）. A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 (1) log(1) nn nn 5. 对数式中，实数 a 的取值范围是（ ）. 2 log(5) a ab A B(2,5) C D (,5)(2,)(2,3)(3,5) 6. 计算： . 2 1 log(32 2) 7. 若，则 x=_，若，则 y=_.log ( 21)1 x 2 log8y 8. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式. （1）； （2）； （3）； （4）； 5 3243 5 1 2 32 1 2 log 164 2 log 1287 9. 计算： （1）； （2）； （
13、3）； 9 log 27 3 log 243 43 log81 对数与对数运算（2） 知识点 1：对数运算性质对数运算性质 如果 a 0，a 1，M 0， N 0 ，则 （1）；（2）；（3） .log ()loglog aaa MNMNlogloglog aaa M MN N loglog() n aa MnMnR 例 1 用, , 表示下列各式： （1）； （2） .logaxlogaylogaz 2 loga xy z 3 5 loga xy z 例 2 计算： （1）； （2）； （3）； （4）lg. 5 log 25 0.4 log1 85 2 log (42 ) 9100 探究：
14、根据对数的定义推导换底公式（，且；，且；） log log log c a c b b a 0a 1a 0c 1c 0b 【相应训练题】 1. 设,，试用、表示.lg2alg3bab 5 log 12 2. 运用换底公式推导下列结论. （1）；（2）.loglog m n a a n bb m 1 log log a b b a 3. 计算：（1）； （2）. 7 lg142lglg7lg18 3 lg243 lg9 知识拓展： 对数的换底公式； 对数的倒数公式. log log log b a b N N a 1 log log a b b a 对数恒等式：，.loglog n n a a
15、NNloglog m n a a n NN m logloglog1 abc bca 【相应训练题】【相应训练题】 1. 下列等式成立的是（ ） A B 222 log (35)log 3log 5 2 22 log ( 10)2log ( 10) C D 222 log (35)log 3 log 5 33 22 log ( 5)log 5 2. 如果 lgx=lga+3lgb5lgc，那么（ ）. Ax=a+3bc B C Dx=a+b3c3 3 5 ab x c 3 5 ab x c 3. 若，那么（ ）.2lg2lglgyxxy A BC Dyx2yx3yx4yx 4. 计算：（1）
16、；（2） . 99 log 3log 27 21 2 1 loglog 2 2 5. 计算： . 315 lglg 523 6. 计算：（1）； （2）. lg27lg83lg 10 lg1.2 2 lg 2lg2 lg5lg5 对数函数及其性质（1） 知识点 1：对数函数的概念对数函数的概念 一般地，当 a0 且 a1 时，函数叫做_，自变量是 x； 函数的定义域是_;logayx 知识点 2：对数函数的图象和性质对数函数的图象和性质 （1）根据图象，你能归纳出对数函数的性质： a101 时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）. x yalogayx 4. 函数的值域为（ ）. 2 2lo
17、g(1)yx x A. B. C. D. (2,)(,2)2,3, 5. 不等式的解集是（ ）. A. B. C. D. 4 1 log 2 x (2,)(0,2) 1 ( ,) 2 1 (0, ) 2 6. 比大小：（1）log 67 log 7 6 ； （2）log 31.5 log 2 0.8. 7. 函数的定义域是 . ( -1) log(3- ) x yx 8. 已知下列不等式，比较正数 m、n 的大小： （1）mn ； （2）mn； （3）mn (a1) 3 log 3 log 0.3 log 0.3 loglogaloga 9. 求下列函数的定义域： （1）； （2）. 2 lo
18、g (35)yx 0.5 log(43)yx 对数函数及其性质（2） 知识点 1：反函数反函数 问题：如何由求出 x？2xy 思考 1：在同一平面直角坐标系中，画出指数函数及其反函数图象，发现什么性质？2xy 2 logyx 思考 2：（1）如果在函数的图象上，那么 P0关于直线的对称点在函数的图象上 000 (,)P xy2xy yx 2 logyx 吗？为什么？ （2）由上述过程可以得到结论：互为反函数的两个函数的图象关于 对称. 例 1、求函数的反函数.3xy 【相应训练题】 1. 己知函数的图象过点（1，3）其反函数的图象过点（2，0） ，求的表达式.( ) x f xak f x 2
19、. 求下列函数的反函数. （1） y= (xR)； （2）y=x (a0,a1,x0)( 2)xloga 3. 函数的反函数是（ ）. 0.5 logyx A. B. C. D. 0.5 logyx 2 logyx2xy 1 ( ) 2 x y 4. 函数的反函数的单调性是（ ）.2xy A. 在 R 上单调递增 B. 在 R 上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减(0,)(0,) 5. 函数的反函数的图象过点，则 a 的值为 . x ya(9,2) 方程的根与函数的零点 复习 1：一元二次方程+bx+c=0 (a0)的解法. 2 ax 判别式= . 当 0，方程有两根，为 ； 1
20、,2 x 当 0，方程有一根，为 ； 0 x 当 0，方程无实根. 复习 2：方程+bx+c=0 (a0)的根与二次函数 y=ax +bx+c (a0)的图象之间有什么关系？ 2 ax 2 判别式一元二次方程二次函数图象 0 0 0 知识点 1：函数零点与方程的根的关系函数零点与方程的根的关系 对于函数，我们把使的实数 x 叫做函数的零点.( )yf x( )0f x ( )yf x 【相应训练题】【相应训练题】 （1）函数的零点为 ； 2 44yxx （2）函数的零点为 . 2 43yxx 小结：方程有实数根函数的图象与 x 轴有交点函数有零点.( )0f x ( )yf x( )yf x
21、知识点 2：零点存在性定理零点存在性定理 问题： 作出的图象，求的值，观察和的符号 2 43yxx(2),(1),(0)fff(2)f(0)f 观察下面函数的图象，( )yf x 在区间上 零点； 0； , a b( )( )f af b 在区间上 零点； 0； , b c( )( )f bf c 在区间上 零点； 0. , c d( )( )f cf d 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0，那么，函数( )yf x , a b( )( )f af b( )yf x 在区间内有零点，即存在，使得，这个 c 也就是方程的根.( , )a b( , )ca b( )0f c (
22、)0f x 例 1 求函数的零点的个数.( )ln26f xxx 变式：求函数的零点所在区间.( )ln2f xxx 小结：函数零点的求法. 代数法：求方程的实数根；( )0f x 几何法 ： 对于不能用求根公式的方程， 可以将它与函数的图象联系起来， 并利用函数的性质找出零点( )yf x 【相应训练题】【相应训练题】 1. 求下列函数的零点： （1）； （2）. 2 54yxx 2 (1)(31)yxxx 2. 求函数的零点所在的大致区间.23 x y 3. 函数的零点个数为（ ）. 22 ( )(2)(32)f xxxx A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.若函数在上连续，且有则
23、函数在上（ ）.( )f x, a b( )( )0f af b ( )f x, a b A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点 C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定 5. 函数的零点所在区间为（ ）. 1 ( )44 x f xex A. B. C. D. ( 1,0)(0,1)(1,2)(2,3) 6. 函数的零点为 . 2 20yxx 7. 若 函 数为 定 义 域 是 R 的 奇 函 数 ， 且在上 有 一 个 零 点 则的 零 点 个 数( )f x( )f x(0,)( )f x 为 . 8. 已知函数. 2 ( )2(1)421f xmxmxm （1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；mx （2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求值.m