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1、2-9 函数模型及应用2-9 函数模型及应用 课时规范练课时规范练 (授课提示：对应学生用书第 233 页) A 组 基础对点练 1(2017开封质检)用长度为 24 米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的 面积最大，则隔墙的长度为( A ) A3 米 B4 米 C6 米 D12 米 2某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间加油量/升加油时的累计里程/千米 2017 年 5 月 1 日1235 000 2017 年 5 月 15 日4835 600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为(
2、 B ) A6 升 B8 升 C10 升 D12 升 3(2017辽宁期末)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速 漏出，t min 后剩余的细沙量为yaebt(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子， 则再经过( )min，容器中的沙子只有开始时的八分之一( B ) A8 B16 C24 D32 解析：依题意有aeb8a，b， 1 2 ln 2 8 若容器中只有开始时的 时，则有aa，解得t24. 1 8 1 8 再经过 24816 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一故选 B. 4(2017镜湖区校级期中)有一组实验数据如表所示： x1234
3、5 y1.55.913.424.137 下列所给函数模型较适合的是( C ) Ayloga x(a1) Byaxb(a1) Cyax2b(a0) Dyloga xb(a1) 解析：通过所给数据可知y随x的增大而增大，其增长速度越来越快，而 A，D 中的函数增 长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选 C. 5在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表： x0.500.992.013.98 y0.990.010.982.00 则对x，y最适合的拟合函数是( D ) Ay2x Byx21 Cy2x2 Dylog2x 6某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件 3 元，且销
4、售单价与日均销售量的关系 如表所示： 销售单价/元45678910 日均销售量/件400360320280240200160 请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应 为( C ) A4 B5.5 C8.5 D10 7(2017山东济南模拟)某种动物的繁殖量y只与时间x年的关系为yalog3(x1)，设 这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们将发展到( A ) A200 只 B300 只 C400 只 D500 只 8(2017广西模拟)某市用 37 辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直 达灾区， 已知某市到灾区公路线
5、长 400 km， 为了安全起见， 两辆汽车的间距不得小于 ( v 20) 2km， 那么这批物资全部到达灾区的最少时间是 12 h(车身长度不计) 解析：设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了 km 所用的时间，因此，t12，当且仅当， (36 ( v 20) 2400) 36 ( v 20) 2400 v 36v 400 400 v 即v时取“” 200 3 故这些汽车以 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为 12 h. 200 3 9(2018沙市区一模)九章算术是我国古代数学成就的杰出代表其中方田章给 出计算弧田面积所用的经验公式为：弧
6、田面积 (弦矢矢 2)弧田由圆弧和其所对弦 1 2 所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差按照 上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差现有圆心角为 ，弦长等于 9 2 3 米的弧田 按照 九章算术 中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积比实际面积少 9 m2. 27 3 2 27 8 解析：扇形半径r3 m，扇形面积等于 (3)29(m2)3 1 2 2 3 3 弧田实际面积9r2sin m2.圆心到弦的距离等于r，所以矢长为r. 1 2 2 3(9 27 3 4) 1 2 1 2 按照上述弧田面积经验公式计算得 (弦矢矢 2) . 1 2 1 2
7、(9 3 3 2 27 4) 27 4( 3 1 2) 99. 27 3 4 27 4( 3 1 2) 27 3 2 27 8 按照弧田面积经验公式计算结果比实际少 m2. (9 27 3 2 27 8) 10某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高 为h米， 体积为V立方米 假设建造成本仅与表面积有关， 侧面的建造成本为 100 元/平方米， 底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元( 为圆周率) (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积
8、最大 解析 ： (1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh元， 底面的总成本为 160r2元， 所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又据题意知 200rh160r212 000， 所以h(3004r2)， 1 5r 从而V(r)r2h(300r4r3) 5 因r0，又由h0 可得r5，3 故函数V(r)的定义域为(0,5)3 (2)因V(r)(300r4r3)， 故V(r)(30012r2) 令V(r)0， 解得r15，r2 5 5 5(因r25 不在定义域内，舍去) 当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，3 故V(
9、r)在(5,5)上为减函数3 由此可知，V(r)在r5 处取得最大值，此时h8.即当r5，h8 时，该蓄水池的体积最 大 B 组 能力提升练 1 (2018西城区期末)在标准温度和大气压下， 人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位 mol/L，记作H)和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位 mol/L，记作OH)的乘积等于常 数 1014.已知 pH 值的定义为 pHlgH，健康人体血液的 pH 值保持在 7.357.45，那 么健康人体血液中的可以为(参考数据：lg 20.30，lg 30.48)( C ) H OH A. B 1 2 1 3 C. D 1 6 1 10 解析：由题意可得 pHl
10、gH(7.35,7.45)，且HOH1014， lglgH2142lgH14， H OH 7.35lgH7.45， 7.45lgH7.35， 0.92lgH140.7， 即0.9lg0.7， H OH lg lg 20.30，故 A 错误， 1 2 lg lg 30.48，故 B 错误， 1 3 lg lg 6(lg 2lg 3)0.78，故 C 正确，lg1，故 D 错误，故选 C. 1 6 1 10 2汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆 汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是( D ) A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B
11、以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D某城市机动车最高限速 80 千米/小时相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 3有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相 同已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉 刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位： 元)是( B ) Aaxbycz Bazbycx Caybzcx Daybxcz 4国家规定个人稿费纳税办法是：不超过 800 元的不纳税；超过
12、800 元而不超过 4 000 元 的按超过 800 元部分的 14%纳税；超过 4 000 元的按全部稿酬的 11.2%纳税，已知某人出版 一本书共纳税 420 元，则这个人应得稿费(扣税前)为( C ) A2 800 元 B3 000 元 C3 800 元 D3 818 元 5(2018海淀区校级期中)某商品的价格在近 4 年中不断波动，前两年每年递增 20%，后 两年每年递减 20%，则最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是( D ) A不增不减 B约增 1.4% C约减 9.2% D约减 7.8% 解析 ： 设原来的价格为x，则最后一年的价格为x(120%)2(120%)2x 20
13、.9216x. ( 24 25) 故约减 7.8%. 6(2017黄冈期末)中国古代数学名著九章算术中的“引葭赴岸”是一道名题根据 该问题我们拓展改编一题：今有边长为 12 尺的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的 部分为2尺， 将芦苇牵引向池岸， 恰巧与水岸齐接 如图， 记正方形水池的剖面图为矩形ABCD， 芦苇根部O为池底AB的中点，顶端为P(注 ： 芦苇与水面垂直)，在牵引顶端P向水岸边点D 的过程中，当芦苇经过DF的三等分点E(靠近D点)时，设芦苇的顶端为Q，则点Q在水面上 的投影离水岸边点D的距离为 153 尺(注 ：2.236，1.732，精确到 0.01 尺)53 解析：设水深
14、为x尺，则x262(x2)2，解得，x8. 水深为 8 尺，芦苇长为 10 尺， 以AB所在的直线为x轴，芦苇所在的直线为y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，在牵引过程中，点P的轨迹是以O为圆心，半径为 10 的 圆弧，其方程为x2y2100(6x0,8y10)， E点的坐标为(4,8)， OE所在的直线方程为y2x， 设点Q坐标为(x，y)，由联立解得x2.5 故点Q在水面上的投影离水岸边点D的距离为 621.53 尺5 7为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层体育馆要建造可使用 20 年的隔热 层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用C(万元)与隔热层
15、厚度x(厘米)满足关系 ：C(x)(0x10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗 k 3x5 费用为 8 万元设f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和 (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值 解析：(1)当x0 时，C8，k40， C(x). 40 3x5 f(x)6x6x(0x10) 20 40 3x5 800 3x5 (2)f(x)2(3x5)10， 800 3x5 设 3x5t，t5,35， y2t1021070， 800 t 2t800 t 当且仅当 2t，即t20 时等号成立，这时x5，f(x)的最小值为 7
16、0， 800 t 即隔热层修建 5 cm 厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为 70 万元 8(2017重庆巴蜀中学模拟)某市近郊有一块大约 500 米500 米的接近正方形的荒地， 地方政府准备在此建一个综合性休闲广场， 要建设如图所示的一个总面积为 3 000 平方米的 矩形场地，其中阴影部分为通道，通道宽度为 2 米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作 为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米 (1)分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域； (2)怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值 解析：(1)由已知xy3 000，得y，其定义域是(6,500) 3 000 x S(x4)a(x6)a(2x10)a， 2a6y，a 33， y 2 1 500 x S(2x10)3 030，其定义域是(6,500) ( 1 500 x 3) ( 15 000 x 6x) (2)S3 0303 03023 03023002 430， ( 15 000 x 6x)6x15 000 x 当且仅当6x，即x50(6,500)时，等号成立， 15 000 x 此时，x50，y60，Smax2 430. 设计x50 米，y60 米，a27 米时，运动场地面积最大，最大值为 2 430 米