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1、课时提升作业 二十五课时提升作业 二十五 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2016杭州高二检测)炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时,原油 温度(单位:)为 f(x)= x3-x2+8(0x5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是 ( ) A.8B.C.-1D.-8 【解析】 选 C.原油温度的瞬时变化率为 f(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0x5),所以当 x=1 时,原油温度的瞬时 变化率取得最小值-1. 2.(2016西安高二检测)要做一个圆锥形
2、的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则高为 ( ) A.cmB.cm C.cmD.cm 【解析】选 D.设圆锥的高为 xcm,则底面半径为cm,其体积为 V= x(202-x2)(00;当0;当0; 当 x300 时,P0),令l=-+2=0,解得 y=16(另一负根舍去),当 016 时, l0,所以当 y=16 时,函数取得极小值,也就是最小值,此时 x=32. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2016大连高二检测)某商品一件的成本为 30 元,在某段时间内,若以每件 x 元出售,可卖出(200-x)件, 则当每件商品的
3、定价为 元时,利润最大. 【解析】利润 s(x)=(x-30)(200-x)=-x2+230x-6000,s(x)=-2x+230. 由 s(x)=0,得 x=115,这时利润最大. 答案:115 7.(2016洛阳高二检测)某公司一年购买某种货物 400 吨,每次购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储 费为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则 x 为 吨. 【解析】设该公司一年内总共购买 n 次货物,则 n=,所以总运费与总存储费之和 f(x)=4n+4x= +4x, 令 f(x)=4-=0,解得 x=20(-20 舍去), 当00,所以 x=20是函数f(x)的极
4、小值点,也是最小值点,故当 x=20 时,运费与总存储费之和最小. 答案:20 8.某厂生产某种产品 x 件的总成本 C(x)=1200+x3,产品单价的平方与产品件数 x 成反比,生产 100 件这 样的产品的单价为 50 元,总利润最大时,产量应定为 . 【解析】 设产品单价为a元,产品单价的平方与产品件数x成反比,即a2x=250000,a=.总利润y=500- x3-1200(x0),y=-x2,由 y=0 得 x=25.当 x(0,25)时,y0,当 x(25,+)时,y20 时,q0, 所以当 v=20 时,q 取得最小值. 即当速度为 20 千米/小时时,航行 1 千米所需费用总
5、和最少. 10.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 13 万元/辆.本年度为适应 市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车的投入成本增加的比例为 x(00,f(x)是增函数; 当 x时,f(x)0,当R0),贷款的利率为 4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为 x(x (0,4.8%),则使银行获得最大收益的存款利率为 . 【解析】 依题意知,存款额是 kx2,银行应支付的存款利息是 kx3,银行应获得的贷款利息是 0.048kx2,所以银 行的收益是 y=0.048kx2-kx3(00; 当 0.0320),则 f(x)=1-, 由 f(x)=0 得 x=2. 当 02 时,f(x)0, 所以 f(x)在 x=2 处取得极小值 4,也是最小值. 所以 Tmin=80+204=160. 答案:160 【补偿训练】(2016亳州高二检测)某超市中秋前 30 天,月饼销售总量 f(t)与时间 t(00,得 t2,令 g(t)0,h(x)是增函数. 所以当 x=80 时,h(x)取到极小值 h(80)=11.25(升). 因为 h(x)在(0,120上只有一个极值,所以 11.25 是最小值. 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升.