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1、课时提升作业 五课时提升作业 五 充要条件的应用充要条件的应用 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2015安徽高考)设 p:x4 是 x34,但是 x24x2 或 x8 或 x31 且 y1,q:实数 x,y 满足 x+y2,则 p 是 q 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解题指南】根据不等式的性质及充分必要条件的定义求解. 【解析】选 A.由题意,x1 且 y1,则 x+y2,而当 x+y2 时不能得出 x1 且 y1,例如 x=0,y=3,故 p 是 q 的 充分不必要条
2、件. 5.(2016宁德高二检测)函数 f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是 ( ) A.m=-2B.m=2 C.m=-1D.m=1 【解题指南】利用二次函数的图象特点来判断. 【解析】选 A.当 m=-2 时,f(x)=x2-2x+1,其图象关于直线 x=1 对称,反之也成立,所以 f(x)=x2+mx+1 的图象 关于直线 x=1 对称的充要条件是 m=-2. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.下列命题中是假命题的是 .(填序号) (1)x2 且 y3 是 x+y5 的充要条件 (2)“x1”是“|x|0
3、”的充分不必要条件 (3)b2-4ac2 且 y3x+y5, x+y5x2 且 y3, 故 x2 且 y3 是 x+y5 的充分不必要条件. (2)若 x1,则|x|0 成立,若|x|0,则 x0,不一定大于 1,故“x1”是“|x|0”的充分不必要条件. (3)因 b2-4ac0 是 f(x)0 在0,1上恒成立的 条 件. 【解析】由 所以 a+2b0. 而仅有 a+2b0,无法推出 f(0)0 和 f(1)0 同时成立. 答案:必要不充分 【补偿训练】设an是等比数列,则“a10,q1 或 a1d”和“abef”,那么“cd”是“ef”的 ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件
4、D.既不充分也不必要条件 【解析】选 B.因为 abcd,abef,所以 efcd.但是 cd 不一定推出 ef, 故“cd”是“ef”的必要条件. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2016 温 州 高 二 检 测 )已 知 条 件 p:k=;条 件 q:直 线 y=kx+2 与 圆 x2+y2=1 相 切 ,则 p 是 q 的 .(填“充分不必要条件” “必要不充分条件” “充要条件”或“既不充分也不必要条件”) 【解题指南】化简条件 q 中的 k 值,再确定 p 与 q 的关系. 【解析】因为直线 y=kx+2 与圆 x2+y2=
5、1 相切, 所以=1,解得 k=,即条件 q:k=. 若 p 成立,则 q 成立;反之,若 q 成立,推不出 p 成立.所以 p 是 q 的充分不必要条件. 答案:充分不必要条件 4.(2016焦作高二检测)“a= ”是“对任意的正数 x,均有 x+ 1”的 条件. 【解析】 当a= 时,对任意的正数x,x+ =x+2=1,而对任意的正数x,要使x+ 1,只需f(x)=x+ 的最小值大于或等于 1 即可,而在 a 为正数的情况下,f(x)=x+ 的最小值为 f()=21,得 a ,故 为充分不必要条件. 答案:充分不必要 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)三、解答题(每小题 10 分
6、,共 20 分) 5.已知集合 M=x|x5,P=x|(x-a)(x-8)0. (1)求实数 a 的取值范围,使它成为 MP=x|5x8的充要条件. (2)求实数 a 的一个值,使它成为 MP=x|5x8的一个充分但不必要条件. (3)求实数 a 的取值范围,使它成为 MP=x|5x8的一个必要但不充分条件. 【解题指南】用数轴表示两个集合,把条件的充要性转化为集合间的关系解决. 【解析】由 MP=x|5x8知,a8. (1)MP=x|5x8的充要条件是-3a5. (2)MP=x|5x8的充分但不必要条件,显然,a 在-3,5中任取一个值都可. (3)若 a=-5,显然 MP=-5,-3)(5
7、,8是 MP=x|5x8的必要但不充分条件. 故 a-3 时为必要不充分条件. 6.(2016益阳高二检测)证明“0a”是“函数 f(x)=ax2+2(a-1)x+2 在区间(-,4上为减函数”的 充分不必要条件. 【证明】充分性:由已知 0a , 对于函数 f(x)=ax2+2(a-1)x+2, 当 a=0 时,f(x)=-2x+2,显然在(-,4上是减函数.当 a0 时,由已知 0a ,得 6. 二次函数 f(x)=ax2+2(a-1)x+2 图象是抛物线,其开口向上, 对称轴方程为 x= -16-1=5. 所以二次函数 f(x)在(-,4上是减函数. 非必要性:当 a0 时,二次函数 f
8、(x)=ax2+2(a-1)x+2 的图象是抛物线,其对称轴为 x= -1. 因为二次函数 f(x)在(-,4上是减函数, 所以0a . 显然,函数 f(x)=ax2+2(a-1)x+2 在(-,4上是减函数时,也有 a=0. 由于,所以 0a 不是函数 f(x)=ax2+2(a-1)x+2 在区间(-,4上为减函数的必要条件. 综上所述,命题成立. 【补偿训练】 已知数列an的前 n 项和 Sn=pn+q(p0 且 p1),求证:数列an为等比数列的充要条件为 q=-1. 【证明】充分性:当 q=-1 时,a1=p-1. 当 n2 时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).当 n=1 时,上式也成立. 于是=p,即数列an为等比数列.必要性:当 n=1 时,a1=S1=p+q. 当 n2 时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1). 因为 p0 且 p1, 所以=p. 因为an为等比数列, 所以=p=,所以 q=-1. 所以数列an为等比数列的充要条件为 q=-1.