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1、三、 无穷大,四 、 无穷小与无穷大的关系,一、 无穷小,1.6 无穷小与无穷大,二、 无穷小的运算性质,一、 无穷小,定义1 极限为0的变量（函数）称为无穷小.,当,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,时为无穷小.,注意:,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的常数.,3.无穷小是相对自变量的某一变化趋势而言。,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,因为,当,时,显然 C 只能是 0 !,C,C,其中 为,时的无穷小量 .,定理 1 ( 无穷小与函数极限的关系 ),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证 .,
2、机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 无穷小的运算性质,定理2,有限个无穷小之和还是无穷小.,定理3,有界函数与无穷小的乘积还是无穷小.,推论1,常数与无穷小的乘积还是无穷小.,推论2,有限个无穷小的乘积还是无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时, 有,定理2 有限个无穷小之和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,定理3 有界
3、函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例题1 求,解:,利用定理 3 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、 无穷大,定义2 . 若任给 M 0 ,一切满足不等式,的 x , 总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X ) ,记作,总存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,1. 无穷大不是很大的数
4、, 它是描述函数的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如, 函数,当,但,不是无穷大 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 . 证明,证: 任给正数 M ,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x , 有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线 .,渐近线,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,(自证),据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理4. 在自变量的同一变化过程中,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 无穷小与无穷大的定义,2. 无穷小与函数极限的关系,Th1,4. 无穷小与无穷大的关系,Th4,作业 P46 6,3. 无穷小的运算性质,Th2,Th3,