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1、第一章,二、 无穷大,三 、 无穷小与无穷大的关系,一、 无穷小,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无穷小与无穷大,一、 无穷小,定义1 . 若,时 , 函数,则称函数,为,时的无穷小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、 无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,无穷小是变量，不是很小的常数!,无穷小是指变量的绝对值无限地变小！,“无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达它的变化状态的！,定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,当,时,有,二、 无穷小运算法则,定理2. 有限
2、个无穷小的代数和还是无穷小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,证明,证明,推论 3 . 无穷小与以非零常数为极限的函数 之商是无穷小 .,时, 有,定理2 的证明,证: 只考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,返回,定理3 的证明,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,返回,说明: 无限个无穷小之和（积）不一定是无穷小 !,例如，,机动 目录 上页 下页 返回 结束
3、,例 求,解:,利用定理 2 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、 无穷大,定义2 . 若任给 M 0 ,当,时 , 总有,则称函数f(x)为当,时的无穷大量,使,(正数 X ) ,记作,总存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,正无穷大与负无穷大,说明,2. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,3. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 . 证明,若,则直线,为曲线,的垂直渐近线 .,渐近线,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理4. 在自变量的同一变化过程中,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 无穷小与无穷大的定义,2. 无穷小与函数极限的关系,Th1,4. 无穷小与无穷大的关系,Th4,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,3. 无穷小运算法则,Th2、Th3,