无限深方阱问题.ppt

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1、1,近代量子力学及疑难问题 专题讲座,张 永 德 中国科学技术大学近代物理系,2,前 言,近廿余年来，量子理论不仅深入应用于物理学许多 分支、而且迅速广泛地应用到了化学、生物学、材料科 学、信息科学等重要领域。这些应用极大地促进了这些 学科的发展，改变了它们的面貌，形成众多的科学研究 热点；与此相同步，量子理论本身也得到了极大的丰富 和发展。 为了活跃学生物理思想、提高学习近代量子理论的 兴趣，本着总结、深入、提高、面向未来的精神，结合 个人科研教学心得，以系列专题的形式介绍量子力学中 的一些疑难争议问题和著名的新问题。阐述方式是，起点 较低，只需要普通的量子力学；终点则联系近代有关文 献和个

2、人体会，分析基础中疑难争议问题，讲述近代文 献中部分热点问题，或是open问题。讲解重点在于阐述 和分析物理概念，明确近代量子理论当前的认知边界。,3,第 三 讲 无限深方阱中粒子动量波函数的争论,4,前言,为了活跃学生的物理思想、提高学习近代量子理论的兴趣，本着总结、深入、提高、面向未来的精神，结合个人科研教学的心得体会，以提纲形式阐述量子力学基础中的疑点、难点和未解决的问题。阐述重点在于分析物理概念，以及明确近代量子理论当前认知的边界。 应当指出，在量子理论发展史中还有许多名著一时的量子佯谬，曾经引起过热烈的争论，也可算是一些疑难热点问题。这些著名的佯谬是：单光子干涉实验、延迟选择实验、德

3、布罗意胶片问题、负能问题、克来因佯谬、傀态、算符厄密性问题、薛定格猫态、EPR悖论等等。但是，除了后面两个问题依然保持着旺盛生命力之外，多数由于已经了解清楚，加上时过境迁，失去了往昔的神秘感和吸引力。所以这里也就相应地作了省略。,5,目 录 一，Pauli 和 Landau 的矛盾“量子力学的 数学是错的”？！ 二，无限深方阱模型及基态动量波函数 1）无限深方阱模型 2）两种基态动量波函数表达式 三，矛盾分析与结论 四，设想实验的佐证 五，问题的根源 附录,6,一， Pauli 和 Landau 的矛盾 “量子力学的数学是错的”？ ！,最简单的势阱束缚态模型，一种近似数学模写： 势能不可能真为

4、无限大，也不会严格的阶跃。 此模型的动量波函数先由Pauli，后由Landau等人给出了 不同的结果。此后，这个模型动量波函数及其衍生问题先在国 外少数学者中有过讨论，接着被引进国内。近数年有过不大不 小的争论，并还导致严重误解： “中国数学家挑战物理学 量子力学逻辑自相矛盾” “文汇报”1997年12月10日，头版重要通讯报导。 以及不少文章、著作对量子力学的否定或曲解。,7,8,二，无限深方阱模型及基态动量波函数 1）无限深方阱模型 相应的一维Schrdinger方程， Schrdinger方程应当定义在整个 x 轴上。分为三个区域 ： 第 I 、 III 区 V(x)=+。边界条件(x)

5、0 (|x|a) ； 求解坐标波函数只需对第 II 区进行。 有时这种边界条件被简单地写为(x)0 (|x|=a)。这时对 阱外情况未作规定，提法含混。矛盾即源生于此处： 坐标波函数边条件这两种不同提法，不影响求 解阱内坐标波函数，但却影响阱内粒子动量波函数！,9,阱中粒子能级和波函数为 将正弦波函数n(x)用复指数表示，并近似配以exp(-iEnt/h) 仅就阱内说，阱中粒子波函数是两个反向传播的de Broglie行 波叠加而成的驻波，类似于两端固定的一段弦振动。 但这种说法虽然形象却是近似的！ 因为这两个行波仅仅 存在于有限区间-a, a内，并不严格单色。 有限长度光波波列不会是严格单色

6、波*。 *也见Fermi 于1954年所写的量子力学讲稿，罗吉庭译，西交大 出版社，1984， p.60-61。,10,2）两种基态动量波函数表达式 坐标波函数边界条件设定的分歧 Landau 和Pauli 等人给出了不同结果。由此引发了混乱。 Pauli 等人求解（*）。求解基态粒子的动量波函数1(p) 时，直接采用前面n=1基态两个“单色波”的两个“动量”。 表明：阱中粒子动量谱是两个（此式实际对应全实轴相向运 动的）单色de Broglie波叠加而成的驻波。 *W. Pauli:Handbuch der Physik, eds. by H. Geiger and K. Scheel, V

7、ol. 24/1, Springer, Berlin, 1933。 中译本波动力学（第五卷）。他于1956- 1958年在苏黎世联邦工业大学物理学位课程两次授课中，依然如此讲。 也见L.N.Cooper,物理世界（上、下），第184页，杨基方等译，海洋 出版社，1984。,11,L.D.Landau 等人做法（*）：将上面定义在全实轴上的 基态坐标波函数作富里叶积分变换，便得到无限深方阱中粒 子的动量波函数1(p)： 代入1(x)表达式，注意阱外1(x)为零，即得阱中粒子动量 概率是连续分布 两种结果很不同！ 那个正确？！ 两个都对？ 两个都错？ 按几年来文献讨论情况，4种观点全有表述，分歧明

8、显、争 论热烈 。,12,* .朗道，E.M.栗弗席茨，非相对论量子力 学（俄文第一版是1947年）； 也见 E.费米于1954年所写的量子力学手稿。 部分文章：国内自1983.6开始。一维无限深势 阱内粒子的动量分布有两篇文章， 1994，7；关于同一问题的不同解法；编者的 话；谈谈量子力学中的动量算符；也谈正 则动量算符之争；编者的话； 也谈一维无 限深势阱内粒子（基态）的动量概率分布， 1998，7； 关于量子力学基础的一个质疑，光 子学报，1997，9；也谈量子力学的基础，光子 学报，1998，4；。,13,三，矛盾分析与结论 按QM基本原理，波函数、动量算符及Schrdinger方程

9、 都应当定义在整个（空间）实轴上，而不是只定义在（有限 空间的）势阱内。事实上， 正确的边界条件应当是 (x)0(|x|a)； 而不是 (x)0(|x|=a)。 如果相反，认为边界条件可以用后者，并认为物理量算符 可以“只”定义在势阱|x|a 内，这不仅会给QM基本原理解 释以及很多算符（比如，动量算符及相关的动能算符、轨道 角动量算符等）厄密性、完备性带来许多不必要的混乱和麻 烦，理论处理很烦琐；而且动量波函数的解有两种了结果！ 边界条件的两种不同提法，对求解阱内坐标波函数没甚么 影响，因为阱内坐标波函数是定域解； 但对求解阱内粒子的 动量波函数却有影响。,14,问题的关键是： 不象坐标波函

10、数是定域的， 动量波函数是非定域的！ 即 阱内动量波函数分布不仅仅依赖于阱 内坐标波函数的形状，而且依赖于阱外 坐标波函数的形状。换句话说，它还取 决于对阱外坐标波函数的处理坐标 波函数边界条件的正确拟定。,15,Pauli 错误处理了阱外坐标波函数：由于并不影响阱内坐 标波函数求解，含糊的“两端点为零”边界条件被下意识地推 广为“周期零点”边界条件，得到了坐标波函数的周期解。 Pauli解正是此周期解的动量分布这等于将阱内坐标波函 数向全实轴作了周期性延拓。此周期解的阱外部分显然不符合 现在阱外要求，其动量分布当然也就不符合阱内现在问题。 可证（见后面附录）： 当比值 很大（或n很大）向经典

11、趋近时， Landau 解将逐渐演变为Pauli 解。这充分说明 Pauli 解是对大阱宽、高激发态时的近似解。 显然，指数上的量nh/2a 也不是严格的物理动量（特别 当a 或n 较小时）。,16,四，设想实验的佐证 一块无穷大并足够厚的 平板，取厚度方向为z轴，板 上沿y方向开一条无限长的缝， 沿x轴的缝宽为2a。电子束由 板的下方入射。分离掉电子 在y和z方向的自由运动，单 就电子在x方向运动而言， 便是一个（沿x方向）无限深方阱问题。在板上方放一接收 电子的探测屏，观察狭缝穿出的电子在此探测屏上沿x方向 的偏转，偏转大小将和电子在x方向的动量 px 数值有关。由 此知： 如a 值较小，

12、必定是一个单缝衍射分布。 只当a值较大向宏观过渡时，分布才逐渐过渡到两条（平行y 轴的）细线。,17,五，问题的根源 无限深阱问题只是个模型而已。此模型中用到势的 突变和无穷高势垒等假设。其实，物理学中许多常用的 数学和物理概念，如：质点、无头无尾巴的平面波、其 小无内的点、其大无外的，等等，都只是一些人为抽 象出来的、理想化的、绝对化的概念。虽然用起来时常 是简便的，但其实它们在自然界中并不真实存在，有时 甚至还会惹出麻烦。 Henri Poincare 说：几何点其实是人的幻想。甚至 说：“几何学不是真实的，但是有用的。” （“科学与假设” 科学出版社，1989年，第63、65页）。,18,按照他对几何学的深刻认识，我们也可以说： V = 不是真实的，但是有用的。 从思想方法来说，全部困惑的根源正在此处：将势 垒V = 这件事看成是物理真实的了。对它过度的 执着干扰了我们对实际物理问题的认识，并且带来 许多不必要的困惑和烦恼。 所以，每当遇到由数学简单化、绝对化带来问 题的时候，注重物理、返回自然界的物理真实，再 行考察。记住这点有时是很重要的。 也正如文小刚量子多体理论P.19中说的： 理论物理中的很多概念并不代表真实。,19,附录 当 时，Landau结果趋近于Pauli结果 证：利用 -函数的一个表达式： 由Landau结果出发(注意最后极限时 )：,20,谢谢！,