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1、-1- 第2 2课时 圆与圆的位置关系 -2- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 -3- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 1.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种,分别为相离、外切、相交、内切、内 含. 2.圆与圆的位置关系的判断 (1)代数法:设两圆方程分别为 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: -4- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JI
2、ANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 (2)几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则两圆的 位置关系的判断方法如下: -5- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 【做一做1】 圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为( ) A.内切B.相交 C.外切D.相离 解析:两圆圆心分别为O1(-2,0),O2(2,1),半径分别为r1=2,r2=3. 答案:B -6- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTA
3、NG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 【做一做2】 若圆x2+y2=9与圆(x-4)2+(y+3)2=r有3条公切线,则 实数r的值为( ) A.8B.64C.2D.4 解析:两圆有3条公切线,即两圆外切, 答案:D -7- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打 “”. (1)若两圆只有一个公共点,则这两圆外切. ( ) (2)若两圆无公共点,则两圆相离. ( ) (3)两个半径不相等的同心圆从两圆
4、位置关系上来说为内含. ( ) (4)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交 点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1, 且R),此圆系方程涵盖了过圆C1与圆C2的交点的所有圆的方程. ( ) -8- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 探究一判断两圆的位置关系探究一判断两圆的位置关系 【例1】 已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0与圆C2:x2
5、+y2+2x=0. (1)当m=1时,圆C1与圆C2是什么关系? (2)若两圆有三条公切线,求实数m的值. (3)是否存在m使得圆C1与圆C2内含? 分析:(1)参数m的值已知,求解时可先找出圆心及半径,然后比较 两圆的圆心距d与r1+r2,|r1-r2|的大小关系.(2)两圆有三条公切线即 两圆相外切,由此建立关于m的等式求解.(3)假设存在m使得圆C1与 圆C2内含,则圆心距d0,b0. 圆B的圆心恰在圆C上,要想两圆无公共点, 答案:(1)C (2)b-100 -12- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI
6、 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 【例2】 已知圆O:x2+y2=25和圆C:x2+y2-4x-2y-20=0相交于A,B两 点. (1)求线段AB的垂直平分线的方程; (2)求AB所在直线的方程; (3)求公共弦AB的长度. 分析:(1)线段AB的垂直平分线即两圆圆心的连线;(2)两圆方程相 减即得AB所在直线的方程;(3)利用几何法根据勾股定理求AB的长. 探究二两圆的公共弦探究二两圆的公共弦问题问题 -13- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 解:
7、(1)因为两圆相交于A,B两点,所以线段AB的垂直平分线就是两 圆的圆心的连线. 又圆O:x2+y2=25的圆心O(0,0),圆C:(x-2)2+(y-1)2=25的圆心C(2,1), 所以kOC= ,由点斜式得y= x,即x-2y=0.故AB的垂直平分线的方 程为x-2y=0. (2)将两圆方程相减即得公共弦AB所在直线的方程为4x+2y-5=0. -14- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 反思感悟1.两圆相交时,公共弦所在的直线方程的求法 若圆C1:x2+y2
8、+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交, 则两圆公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,即两 圆方程相减可得公共弦所在的直线方程. 2.公共弦长的求法 (1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离 公式求出弦长. (2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、 弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解. 3.(1)当两圆内切时,两圆方程相减所得直线方程即为两圆的公切 线方程;当两圆外切时,两圆方程相减所得直线方程为两圆的内公 切线的方程. (2)当两圆相离时,两圆方程相减也能得一条直线方程
9、,但这条直 线方程不是两圆的公共弦所在的直线方程. -15- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 变式训练变式训练2已知圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y- 24=0相交于A,B两点. (1)求公共弦AB所在直线的方程; (2)求圆心在直线y=-x上,且经过A,B两点的圆的方程. -并整理得公共弦AB所在直线的方程为x-2y+4=0. -16- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE
10、 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 (2)由(1)得x=2y-4,将其代入x2+y2+2x+2y-8=0中并整理得y2-2y=0, 圆心在直线y=-x上, 设圆心为M(x,-x). 则|MA|=|MB|, 解得x=-3,即M(-3,3). 圆M的方程为(x+3)2+(y-3)2=10. -17- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 探究探究三与两圆相切有关的问题与两圆相切有关的问题 【例3】已知点F(0,1),一动圆过点F且与
11、圆x2+(y+1)2=8内切,求动 圆圆心的轨迹方程. 分析:解答本题的关键是通过内切建立等量关系,解题时应注意 半径间的关系. -18- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 反思感悟涉及与圆相关的轨迹求法: (1)建立适当的坐标系; (2)利用圆与圆的位置关系建立等量关系; (3)对上述等量关系进行化简; (4)明确曲线形式,并验证范围的有效性. -19- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOX
12、UEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 变式训练变式训练3若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对 称,过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程为( ) A.y2-4x+4y+8=0 B.y2+2x-2y+2=0 C.y2+4x-4y+8=0 D.y2-2x-y-1=0 解析:由圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称可 知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y=x-1上.故可得a=2, 即点C(-2,2),所以过点C(-2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程 为(x+2)2+(y-2)2=x2,
13、整理得y2+4x-4y+8=0. 答案:C -20- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 忽略了两圆内切的情况而致误 【典例】 求半径为4,与圆A:x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0 相切的圆C的方程. 错解由题意知所求的圆与直线y=0相切,且半径为4, 设其圆心C的坐标为(a,4), 则其方程为(x-a)2+(y-4)2=42. 圆A的方程可整理为(x-2)2+(y-1)2=32, 所以其圆心为A(2,1),半径为3. 由两圆相切得|CA|=3+4=
14、7, -21- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 正解:由题意设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为C. 因为圆C与直线y=0相切且半径为4, 所以圆心C的坐标为(a,4)或(a,-4). 依题可知圆A:x2+y2-4x-2y-4=0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3. 若两圆相切,则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1. 当圆心C的坐标为C(a,4)时, 当圆心C的坐标为(a,-4)时, -22- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYU
15、XI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三易错辨析 纠错心得1.当圆和直线y=0相切时,圆心可能在直线y=0的上方, 也可能在直线y=0的下方,圆与圆相切有外切和内切两种情况,考虑 问题应全面. 2.错解只考虑了圆心在直线y=0上方的情形,同时只考虑了两圆 外切的情况. -23- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 123456 1.圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4与圆C2:(x+2)2+(y+2)2=9的位置关系是(
16、 ) A.相离 B.外切C.相交D.内切 则d=r1+r2,即两圆外切. 答案:B -24- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 123456 2.已知圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则公共弦AB 的垂直平分线的方程为( ) A.x+y+3=0B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0 解析:由题意知,公共弦AB的垂直平分线即为两圆圆心连线所在直 线. 两圆的圆心分别为(2,-3),(3,0). 直线方程为3x-y-9=0. 答案:C -
17、25- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 123456 3.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为( ) A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x4)2+(y-6)2=6 C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x4)2+(y-6)2=36 解析:由题意知,设所求圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=36, 又与圆x2+(y-3)2=1内切, a2=16.a=4.选D. 答案:D -26- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DAN
18、GTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 123456 4.过两圆C1:(x-4)2+(y-5)2=10,C2:(x+2)2+(y-7)2=12的交点的直线方 程为 . 解析:将两圆方程化为一般式并联立得 两式相减得12x-4y+10=0,即6x-2y+5=0. 答案:6x-2y+5=0 -27- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 123456 5.以(4,-3)为圆心,且与圆x2+y2=1外切的圆的方程为 . 得r=4. 故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3
19、)2=16. 答案:(x-4)2+(y+3)2=16 -28- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 6.如图,圆O1与圆O2的半径都等于1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1、 圆O2的切线PM,PN(M,N为切点),使得|PM|= |PN|.建立适当的平 面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程. 123456 -29- 第2课时 圆与圆的位置关系ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 123456 解:以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴,O1O2的中垂线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 则O1(-2,0),O2(2,0). 又因为两圆的半径均为1, 所以|PO1|2-1=2(|PO2|2-1). 设点P为(x,y),则(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1, 即(x-6)2+y2=33,故所求动点P的轨迹方程为x2+y2-12x+3=0.