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1、-1- 6 6 平面向量数量积的坐标表示 -2- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 -3- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 一二三四五 一、平面向量数量积的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2. 这就是说,两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和. 【做一做1】 若a=(5,y),b=(-6,-4),且ab=-2,则y等于( ) A.-5B.-7C.
2、5D.7 解析:ab=-2, -30-4y=-2,即4y=-28,y=-7,故选B. 答案:B -4- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 一二三四五 二、向量的模 答案:10 -5- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 一二三四五 三、向量的夹角 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为, 【做一做3】 已知非零向量a,b的夹角为,若a+b=(3,-6),a-b=(3
3、,- 2),则cos = . 解析:a+b=(3,-6),a-b=(3,-2), a=(3,-4),b=(0,-2). -6- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 一二三四五 四、两个向量垂直 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abab=0x1x2+y1y2=0. 则-4+2m-4=0, 即m=4. 答案:4 -7- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 一二三四五 五、直线的
4、方向向量 由解析几何知,给定斜率为k的直线l,则向量m=(1,k)与直线l共线, 我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量. 【做一做5】 直线y=3x+1与直线x+3y-7=0的方向向量分别是 和 ,这两条直线的位置关系是 . 解析:直线y=3x+1的方向向量是(1,3), -8- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 一二三四五 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. (2)对任意向量a,总有a2=|a|2. ( ) (3)直线Ax+By+C=
5、0(A,B不同时为0)的一个方向向量为(A,B). ( ) (4)要使|ab|a|b|中等号成立,则需使a与b共线且同向. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) -9- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 数量积的坐标运算数量积的坐标运算 【例1】 (1)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)c=30, 则x=( ) A.6B.5C.4D.3 (2)在矩形ABCD中,AB=2,BC=6,点M在AD上,且AM=2M
6、D,点N是 CD的中点,求 思路分析:(1)可直接套用数量积的坐标运算公式求解;(2)有两种 思路:一是建立坐标系用坐标运算求解;二是用基底表示 后再展开计算. (1)解析:8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3). 由(8a-b)c=30,得63+3x=30,x=4. 答案:C -10- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 (2)解:(方法一)以点B为原点,以BC,AB所在直线分别为x轴、y轴, 建立如图所示的坐标系. 则B(0,0),M(4,2
7、),N(6,1), -11- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 变式训练变式训练1(1)若a=(2,-3),b=(x,2x),且ab=4,则x的值为 . (2)已知向量ab,b=(1,2),|ab|=10. 求向量a的坐标; 若a,b同向,c=(2,-1),求(bc)a,(ab)c. (1)答案:-1 (2)解:因为ab, 所以设a=b(R),所以a=(,2), 所以|ab|=|+4|=10,所以=2, 所以a=(2,4)或a=(-2,-4). 因为a
8、,b同向,所以a=(2,4), 所以(bc)a=12+2(-1)a=0a=0. (ab)c=(2+24)c=10(2,-1)=(20,-10). -12- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 用坐标运算求向量的模用坐标运算求向量的模 【例2】 已知向量a=(1,2),b=(3,-1). (1)求|a-2b|; (2)求与a垂直的单位向量; (3)求与b平行的单位向量. -13- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG
9、JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 解:(1)(方法1)因为a=(1,2),b=(3,-1),所以a-2b=(-5,4), -14- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 反思感悟1.求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量 与向量的数量积的问题. -15- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JI
10、ANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 变式训练变式训练2若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为( ) 解析:因为a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1), 所以a+b=(2x-1,3-x)+(1-x,2x-1)=(x,x+2), 答案:C -16- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 用坐标运算求向量的夹角用坐标运算求向量的夹角 【例3】 若向
11、量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于( ) 思路分析:先求出2a+b与a-b的坐标,再用夹角公式求解. 解析:2a+b=(3,3),a-b=(0,3),设2a+b与a-b的夹角为, 答案:C -17- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 反思感悟1.设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为,则cos = .这样利用向量的坐标来求其夹角,可使向量的 几何属性代数化,从而有利于解决问题. 2.求向量a与b的夹角
12、的步骤是:(1)求出ab,|a|,|b|;(2)代入夹角公 式求cos ;(3)结合的范围确定. -18- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 A.30 B.60 C.120D.150 又0180,故夹角=120. 答案:C -19- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 用坐标运算解决向量的垂直用坐标运算解决向量的
13、垂直问题问题 -20- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 反思感悟利用向量数量积的坐标表示,可以使两个向量垂直的条 件更加代数化,因而其判定方法也更加简洁,在以后解题中要注意 应用. -21- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 变式变式训练训练4若a=(5,-7),b=(-1,2),且(a+b)b,则实数的值为
14、 . 解析:由(a+b)b,得(a+b)b=0, 即ab+|b|2=0, -22- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 直线的方向向量及其应用直线的方向向量及其应用 【例5】 已知直线l1:3x+y-2=0与直线l2:mx-y+1=0的夹角为45, 求实数m的值. 解:直线l1,l2的方程分别为3x+y-2=0与mx-y+1=0, 向量a=(1,-3),b=(1,m)分别为l1,l2的方向向量. -23- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI
15、自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 反思感悟1.利用直线的方向向量主要解决两类问题:(1)利用直线 的方向向量求直线的斜率,从而求直线的方程;(2)利用直线的方向 向量确定两条直线的夹角. 2.当两条直线的夹角为45时,两条直线方向向量的夹角应该是 45或135两种可能,因此,在列方程时应注意到这一点,否则将会丢 解. -24- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨
16、析 变式变式训练训练5直线y=2与直线x+y-2=0的夹角是( ) 解析:任取直线y=2的一个方向向量(1,0),直线x+y-2=0的一个方 向向量为(1,-1), 答案:A -25- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 因忽略向量夹角的范围而致误 【典例】 已知向量a=(2cos ,2sin ), ,b=(0,-1),则a与b的 夹角为( ) 答案:A -26- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE
17、当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二探究三探究四探究五易错辨析 纠错心得1.首先要明确向量a与b夹角的范围为0,.所有的向量 夹角不能超越这个范围; 的范围,因此必须再次使用诱导公式进行转化. -27- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 1.已知a=(1,2),b=(-1,3),则|a+b|=( ) 解析:a+b=(0,5),|a+b|=5. 答案:C -28- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂
18、检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 2.若向量a,b满足a+b=(2,-1),且a=(1,2),则向量a与b的夹角等于( ) A.45B.60 C.120D.135 解析:由题意,得b=(1,-3). 设a与b的夹角为, 又0180, 故a与b的夹角为135. 答案:D -29- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 3.已知a=(1,m)与b=(n,-4)共线,且c=(2,3)与b垂直,则m+n的值为( ) 解析:a,b共线mn=-4,cb2n-12=0, 答案
19、:A -30- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 4.已知向量a是直线x+2y-3=0的方向向量,且|a|=2 ,则a= . 所以a=(4,-2)或(-4,2). 答案:(4,-2)或(-4,2) -31- 6 平面向量数量积的坐标表示ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 12345 5.已知a=(m+1,3),b=(1,m-1),且a与b的夹角为钝角.若(2a+b)与(a-3b) 垂直,求a与b夹角的余弦值. 解:(2a+b)(a-3b), 2a2-5ab-3b2=0, 即2(m+1)2+9-5m+1+3(m-1)-31+(m-1)2=0, 整理得m2+10m-24=0, 解得m=2或m=-12. a与b的夹角为钝角, ab=m+1+3(m-1)=4m-20, m ,m=-12. 设a与b夹角为,