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1、考试时间：5月6日(周五)9:50 地点： Z2108教室,定理17.6:是格L到格S的一一对应, 则是同构映射,当且仅当:对任何a,bL,ab当且仅当(a)(b)。 证明:(1)是格L到格S的同构映射,对任何a,bL,ab当且仅当(a)(b) 由定理17.5知是保序映射,因此对任何a,bL, 当ab,必有(a)(b). 若对任何a,bL,有(a)(b),则由定义知(a)(b)=(b), 因为同构,故有(ab)=(b) 且ab=b, 因此由定义得ab,(2) 是格L到格S的一一对应, 且对任何a,bL,ab当且仅当(a)(b) 主要证明是同态映射,即 (ab)=(a)(b), (ab)=(a)
2、(b) 分别证明(ab)(a)(b) (a)(b)(ab),2 有补格及分配格,一、有补格 定义17.8:一个具有最大元1和最小元0的格L;,称为有界格。 定理17.8:L;,为有界格, 则任aL有:a1=1; a0=0;a1=a;a0=a。,定义17.8:L;,为有界格,对aL,如果存在bL,使ab=1,ab=0,则称b为a的补元,记b为a。若L中的每个元有补元, 则称L为有补格。 例:S=1,2,3,4,5,其偏序关系由下图所示,则S是有界格,且为有补格.,由此可知补元不唯一. 二、分配格 定理(习题17.9)：对任意格成立分配不等式, 即格L;,中任a,b,cL,有: (1)a(bc)(
3、ab)(ac); (2)(ab)(ac)a(bc)。 但等式不一定成立。,例:如下图所示的格分配等式不成立.,例：S,P(S);,满足分配等式。 分配格 定义17.9:L;,为格,当对其任意元a,b,cL成立分配律,即 (1)a(bc)=(ab)(ac); (2)(ab)(ac)=a(bc)。 则称该格为分配格。,定理：设S是分配格，a,x,yS,若ax=ay,且ax=ay，则x=y。 L1L4,上述两个图所代表的格都不是分配格 可以证明对于任意的格，若|L|4,则一定是分配格。而所有非分配格，一定含有子格是与M5或N5同构的。,定理17.9:L;,为任意格, 则下述条件等价: (1)对任意a
4、,b,cL,有 a(bc)=(ab)(ac) (2)对任意a,b,cL,有 a(bc)=(ab)(ac) (3)对任意a,b,cL,有 (ab)(ac)(bc)=(ab)(ac)(bc) (4)不含与M5或N5同构的子格。,(1) (2) (1),(2)(3) 左=(ab)(bc)(ac) =(a(bc)(b(bc)(ca) =(a(bc)b)(ca) =(ab)(ac)b)(ca) =(b(ab)(ac)(ca) =(b(ac)(ca),(3)(1) 1.ca时,必有 a(bc)=?(ab)(ac)=(ab)c 2.一般情况 利用ca时的结论 (1),(2)(4) (4)(1) 反证,若L不
5、是分配格,推出存在与M5或N5同构的子格 约定:ab,且ab,记为ab 基本设想是在L中构造5个元素的子格,使其与M5或N5同构,a,e,d,b,0是M5,分两种情况 1.存在a,b,cL,当ca时,有 (ab)c=(ab)(ac)a(bc) u=a(bc),v=(ab)c,vu vb=ub vb=ub u,v,b,vb,ub, 2.对任意a,b,cL,当ca时,有 (ab)c=(ab)(ac)=a(bc) 关键是构造M5,N5 由此定理可以判定一个格是否为分配格.,3 布尔格与布尔代数,一、布尔代数 定义17.10:有补分配格称为布尔(Boole)格, 习惯上写成(B;)。 有补格：有界(有
6、最大元1和最小元0)，且每个元素有补元 b是a的补元：ab=1,ab=0,定理17.10:布尔格(B;)中任a,bB,有: (1)a的补元是唯一的。 (2)(ab)=ab,(ab)=ab。 (3)ab=0ab。 (4)(a)=a 由(B;)定义了,运算，而a的补元a也是B中的元素，且分配格补元唯一 看作为B上的一元运算。 B;,为代数系统，又称为布尔代数。,作业P356 : 14,15,16,17, 18(2)(3) 考试时间：5月6日(周五)9:50 地点： Z2108教室,L1幂等律:aa=a,aa=a; L2交换律:ab=ba,ab=ba; L3结合律:a(bc)=(ab)c, a(bc)=(ab)c; L4吸收律:a(ab)=a, a(ab)=a。,定理17.5:格L;,与格S;,同态,为其同态映射,则是保序映射, 即对任a, bL,当ab时,(a)(b)。,