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1、1,第一章 线性系统的状态空间分析法,掌握状态变量的选取和状态空间模型的建立。,2,1 引言,一 经典控制论与现代控制论： 二 状态空间的基本概念 1 状态和状态变量 状态：表征系统运动的信息。 状态变量：确定系统状态的一组独立的变量。 2 状态向量: x(t)=x1(t),xn(t)T 3 状态空间:以n个状态向量x(t)的各个分量x1,x2,xn做轴构成的n维空间称。 4 状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系。,3,2 线性定常系统的状态空间描述,一状态变量选取 u1 x1 y1 输入 状态变量 系统输出 ur xn yn u1 x1 y1 u2 x2 y2 U= X= Y
2、= ur xn yn,被控过程,输出装置,4,例： 列写电路方程： R i(t)+L + /c = e 电路输出量：y=ec= /c 设状态变量 x1=i x2= /c=ec 状态方程：x1=-Rx1/L-X2/L+e/L X2=X1/C 输出方程：y=x2,5,向量矩阵形式： X1 -R/L -1/L X1 1/L X2 = 1/C 0 X2 + 0 e x1 y=0 1 x2 简写：x=Ax+Be y=Cx,6,二 状态空间表达式 基于系统微分方程 系统输入量不含导数项 y(n)+a1y(n-1) +a2y(n-2) +an-1y(1) +any= 0U 方法:正确选取状态变量 定义: x
3、1=y x2=y(1) xn=y(n-1),7,其状态空间表达式为,X1 X2 Xn-1 Xn,X=,0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -an -an-1 -an-2 -a1,A=,1 0 0 0,C=,0 0 0 0,B=,8,2.系统输入量含有导数项,y(n)+a1y(n-1) +a2y(n-2) +an-1y(1) +any= b0U(n)+ b1U(n-1)+ bn-1U(1) + bnU 定义: x1=y-0U y= x1+0U x2=y(1) -0U(1)-1U=x1(1) -1U xn=xn-1(1) n-1U -(*),9,在上式中对 定义: 0=b0 1=b1-
4、a10 2=b2-a11-a20 n=bn-a1n-1-a2n-2 -an-11-an0,10,其状态空间表达式为,X1 X2 Xn-1 Xn,X=,0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -an -an-1 -an-2 -a1,A=,1 0 0 0,C=,1 2 n-1 n,B=,d=0=b0,11,将下面的三阶线形系统表示成标准的状态空间表达式,答案,12,X1 X2 X3,X=,0 1 0 0 0 1 -4 8 -6,A=,1 0 0,C=,0 2 -5,B=,d=0=0,13,线性系统的解析解,一.状态转移矩阵eAt 1.Sylvester无重根定理: 如果P(A)是方阵A的任
5、意多项式,且i是方阵A的的n个不同特征值之一,则有,其中I为与A维数相同的对角矩阵,14,2.Sylvester重根定理: 如果P(A)是方阵A的任意多项式,且方阵A具有s个相同特征值,则有:,15,求下列矩阵的矩阵指数。,16,eAt的一些性质,问:如果=-t,17,二.对状态方程求解,18,只有一个状态变量Aa,且有X(0)=X0 X(t)= eat X0 推广到多个变量,n个 X(t)= eAt X0,19,20,线性系统的离散化,计算机仿真中采用两种方法 线性系统解析解的离散化 适用于任意系统的数字积分方法,21,线性系统离散化的目的: 将线性系统的连续状态方程描述转化为离散形式.,22,求G、H的值,23,例：设LTI系统的状态方程： 求它的离散状态方程,24,1 0,G=,其中：,H=,