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1、线性连续系统的描述及其响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分,第二章 连续系统的时域分析,2.1 线性连续系统的描述及其响应,2.1.1 系统的描述 描述线性非时变连续系统的数学模型是线性常系数微分方程。对于电系统，列写数学模型的基本依据有如下两方面。 1. 元件约束VAR 在电流、电压取关联参考方向条件下： (1)电阻R，uR(t)=RiR(t)；,(2)电感L， (3)电容C， (4)互感(同、异名端连接)、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。,2. 结构约束KCL与KVL 下面举例说明。 例21 图2.1所示电路，输入激励是电流源iS(t),试列出电流iL(t)及R1上电压u1(t)为输出
2、响应变量的方程式。,解 由KVL，列出电压方程,对上式求导，考虑到,根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而 u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t),整理上式后，可得,从上面例子可得到两点结论： (1)解得的数学模型，即求得的微分方程的阶数与动态电路的阶数(即独立动态元件的个数)是一致的。 (2)输出响应无论是iL(t)、u1(t)，或是uC(t)、i1(t)，还是其它别的变量，它们的齐次方程都相同。 这表明，同一系统当它的元件参数确定不变时，它的自由频率是唯一的。,2.1.2 微分方程的经典解 我们将上面两个例子推广到一般，如果单输入、单输出线性非时变的激励为
3、f(t)，其全响应为y(t)，则描述线性非时变系统的激励f(t)与响应y(t)之间关系的是n阶常系数线性微分方程，它可写为 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1 f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t) 式中an-1，a1，a0和bm， bm-1，b1，b0均为常数。该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次方程的解即为齐次解，用yh(t)表示。非齐次方程的特解用yp(t)表示。即有 y(t)=yh(t)+yp(t),1.齐次解 齐次解满足齐次微分方程 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1
4、)(t)+a0y(t)=0 由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征方程为 n+a n-1n-1+a1+a0=0,(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同(即无重根)，则微分方程的齐次解 (2) 特征根有重根。若1是特征方程的重根，即有1=2=3=，而其余(n-)个根+1，+2，n都是单根，则微分方程的齐次解,(3)特征根有一对单复根。即1, 2=ajb，则微分方程的齐次解 yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt (4)特征根有一对m重复根。即共有m重1,2=ajb的复根，则微分方程的齐次解,2.特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关。下表列出了几种类型的激励函数f(
5、t)及其所对应的特征解yp(t)。选定特解后，将它代入到原微分方程，求出其待定系数Pi，就可得出特解。,激励函数及所对应的解,3.完全解 根据上节所讲，完全解是齐次解与特解之和，如果微分方程的特征根全为单根，则微分方程的全解为,当特征根中1为重根，而其余(n-)个根均为单根时，方程的全解为,如果微分方程的特征根都是单根，则方程的完全解为上式，将给定的初始条件分别代入到式上及其各阶导数，可得方程组 y(0)=c1+c2+cn+yp(0) y(0)=1c1+2c2+ncn+yp(0) y(n-1)(0)=n-1 1c1+ n-1 2c2+n-1 ncn+y(n-1)p(0),2.1.3 零输入响应
6、和零状态响应 线性非时变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态x(0)所引起的响应，用yx(t)表示；零状态响应是系统的初始状态为零(即系统的初始储能为零)时，仅由输入信号所引起的响应，用yf(t)表示。这样，线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和，即 y(t)=yx(t)+yf(t),在零输入条件下，式(27)等式右端均为零，化为齐次方程。若其特征根全为单根，则其零输入响应 式中cxi为待定常数。 若系统的初始储能为零，亦即初始状态为零，这时式(27)仍为非齐次方程。若其特征根均为单根，则其零状态响应,式中cfi为待定常数。 系
7、统的完全响应即可分解为自由响应和强迫响应，也可分解为零输入响应和零状态响应，它们的关系为：,式中,在电路分析中，为确定初始条件，常常利用系统内部储能的连续性，即电容上电荷的连续性和电感中磁链的连续性。这就是动态电路中的换路定理。若换路发生在t=t0时刻，有,2.2 冲激响应和阶跃响应,2.2.1 冲激响应 一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激信号(t)所引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号(t)时，系统的零状态响应。其示意图如下图所示。,冲激响应示意图,1.冲激平衡法 冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等，方程式
8、两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲激响应h(t)。 例： 已知某线性非时变系统的动态方程式为,试求系统的冲激响应h(t)。,解 根据系统冲激响应h(t)的定义，当f(t)=(t)时，即为h(t)，即原动态方程式为 由于动态方程式右侧存在冲激信号(t)，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧也必须含有(t)。这样冲激响应h(t)必为Aetu(t)的形式。考虑到该动态方程的特征方程为,特征根1=-3，因此可设h(t)=Ae-3tu(t)，式中A为待定系数，将h(t)代入原方程式有,即,解得A=2，因此，系统的冲激响应为,求导后，对含有(t)的项利用冲激信号(t
9、)的取 样特性进行化简，即,2.等效初始条件法 系统冲激响应h(t)的求解还有另一种方法，称为等效初始条件法。冲激响应h(t)是系统在零状态条件下，受单位冲激信号(t)激励所产生的响应，它属于零状态响应。 例： 已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为 y(t)+3y(t)=2f(t)t0 试求系统的冲激响应h(t)。 解 冲激响应h(t)满足动态方程式 h(t)+3h(t)=2(t)t0,由于动态方程式右边最高次为(t)，故方程左边的最高次h(t)中必含有(t)，故设 h(t)=A(t)+Bu(t) 因而有 h(t)=Au(t) 将h(t)与h(t)分别代入原动态方程有 A(t)+Bu(
10、t)+3Au(t)=2(t) A(t)+(B+3A)u(t)=2(t) 解得 A=2，B=-6,3.其它方法 系统的冲激响应h(t)反映的是系统的特性，只与系统的内部结构和元件参数有关，而与系统的外部激励无关。但系统的冲激响应h(t)可以由冲激信号(t)作用于系统而求得。在以上两种求解系统冲激响应h(t)的过程中，都是已知系统的动态方程。,2.2.2 阶跃响应 一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数u(t)时，系统的零状态响应，如图2.17所示。,阶跃响应示意图,如果描述系统的微分方程是式
11、 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1 f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t) ， 将f(t)=u(t)代入，可求得其特解 上的特征根i(i=1，2，n)均为单根，则系统的阶跃响应的一般形式(nm)为,2.3 卷积积分,2.3.1 信号分解为冲激信号序列 在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰。信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。,信号分解为冲激序列,从上图可见，将任
12、意信号f(t)分解成许多小矩形，间隔为，各矩形的高度就是信号f(t)在该点的函数值。根据函数积分原理，当很小时，可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信号来近似表示信号f(t)；而当0时，可以用这些小矩形来精确表达信号f(t)。即,上式只是近似表示信号f(t),且越小，其误差越小。当0时，可以用上式精确地表示信号f(t)。由于当0时，k，d，且,故式在0时，有,2.3.2 卷积积分法求解零状态响应 在求解系统的零状态响应yf(t)时，将任意信号f(t)都分解为冲激信号序列，然后充分利用线性非时变系统的特性，从而解得系统在任意信号f(t)激励下的零状态响应yf(t)。 由上式可得,上式表明,任意信号f(
13、t)可以分解为无限多个冲激序列的叠加。不同的信号f(t)只是冲激信号(t-k)前的系数f(k)不同(系数亦即是该冲激信号的强度)。这样，任一信号f(t)作用于系统产生的响应yf(t)可由诸(t-k)产生的响应叠加而成。对于线性非时变系统，若系统的冲激响应为h(t)，则有下列关系式成立。,系统的零状态响应yf(t)为输入激励f(t)与系统的冲激响应h(t)的卷积积分，为,2.3.3卷积积分的性质 1.卷积积分的代数性质 卷积积分是一种线性运算，它具有以下基本特征。 1)交换律,由上式说明两信号的卷积积分与次序无关。即系统输入信号f(t)与系统的冲激响应h(t)可以互相调换，其零状态响应不变。,系
14、统级联满足交换律,2) 分配律 (f1(t)+f2(t)*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t) 上式的实际意义如下图所示，表明两个信号f1(t)与f2(t)叠加后通过某系统h(t)将等于两个信号分别通过此系统h(t)后再叠加。,卷积分配律示意图,3)结合律 设有u(t)，v(t)，w(t)三函数，则有 u(t)*(v(t)*w(t)=(u(t)*v(t)*w(t) 由于,此时积分变量为,此时积分变量为，而从上式来看，对变量而言，无异于一常数。可引入新积分变量x=+，则有=x-,d=dx。将这些关系代入上式右边括号内，则有,交换积分次序，并根据卷积定义，即可得,4)卷积的微分特性
15、 设 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 则 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t),证明,5) 卷积的积分特性 设 y(t)=y(t)*h(t)=h(t)*f(t) 则 y(-1)(t)=f(-1)(t)*h(t)=h(-1)(t)*f(t) 式中y(-1)(t)，f(-1)(t)及h(-1)(t)分别表示y(t)，f(t)及h(t)对时间t的一次积分。,6) 卷积的等效特性 设 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 则 y(t)=f(-1)(t)*h(t)=f(t)*h(-1)(t) 证明卷积微分特性，有 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)
16、 将上式对时间t积分，即可证明式 y(t)=f(-1)(t)*h(t)=f(t)*h(-1)(t),上式说明，通过激励信号f(t)的导数与冲激响应h(t)的积分的卷积，或激励信号f(t)的积分与冲激响应h(t)的导数的卷积，同样可以求得系统的零状态响应。这一关系为计算系统的零状态响应提供了一条新途径。 上述性质4)、5)、6)可以进一步推广，其一般形式如下： 设 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 则 y(i+j)(t)=f(i)(t)*h(j)(t)=h(j)(t)*f(i)(t),7) 卷积的延时特性 若 f(t)*h(t)=y(t) 则有 f(t-t1)*h(t-t2)=y
17、(t-t1-t2),2. 奇异信号的卷积特性 含奇异信号的卷积积分具有以下特性。 1)延时特性 f(t)*k(t-t0)=kf(t-t0),理想延时器及其冲激响应,同理，如果一个系统的冲激响应h(t)为(t)，则此系统称为理想放大器，其中k称为放大器的增益或放大系数，如图所示。当信号f(t)通过该放大器时，其输出为 y(t)=f(t)*k(t)=kf(t) 即输出是输入信号f(t)的k倍。,理想放大器及其冲激响应,2) 微分特性 f(t)*(t)=f(t) 即，任意信号f(t)与冲激偶信号(t)卷积，其结果为信号f(t)的一阶导数。 如果一个系统的冲激响应为冲激偶信号(t)，则此系统称为微分器
18、，如下图所示。,微分器及其冲激响应,3) 积分特性 即，任意信号f(t)与阶跃信号u(t)卷积，其结果为信号f(t)本身对时间的积分。如果一个系统的冲激响应为阶跃信号u(t)，则此系统称为积分器，如下图所示。,积分器及其冲激响应,2.3.4 卷积积分的计算 1.解析计算 参与卷积的两个信号f1(t)与f2(t)都可以用解析函数式表达，可以直接按照卷积的积分定义进行计算。 例： 已知f1(t)=e-3t u(t)， f2(t)=e-5t u(t)，试计算两信号的卷积f1(t)*f2(t)。 解 根据卷积积分的定义，可得,在利用卷积的定义通过信号的函数解析式进行卷积时，对于一些基本信号可以通过查卷
19、积积分表直接得到，避免卷积积分过程中重复与繁杂的计算。卷积积分表如下表所示。当然，在利用解析式进行求解信号卷积时，可以利用卷积的一些特性来简化运算。,卷积积分常用公式表,2. 图解计算 对于一些较简单的函数符号，如方波、三角波等，可以利用图解方式来计算。而且，熟练掌握图解卷积的方法，对理解卷积的运算过程是有帮助的。下面通过例题来介绍图解卷积的具体步骤。,例： 已知 分别如下图(a)，(b)所示。试用图解法求两信号的卷积y(t)=f(t)*h(t)。,综合各段结果，有：,3.数值近似计算 卷积积分实际上是一个定积分，是计算f()h(t-)的面积，如果两卷积信号的函数形式复杂，我们在具体计算时又会遇到数学上的困难。有时激励信号不能用基本函数来表示，可能只是一条曲线或者一组测试数据。因此有必要在时域中进行近似的数值计算。 若两个信号f(t)与h(t)都是有始单边信号，则有 ,卷积的数值计算示意图,卷积积分值可以近似地用两块矩形面积(f0h2+f1h1)T来表示。按此过程，随着参变量t的不断增加，f()与h(t-)的重叠面积随之而不断变化，用相应的矩形面积近似代表f()h(t-)的积分。 上述数值近似计算的卷积积分可写成一般表达式，为,