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1、中三數學第三學期課程,第十章 三角學的應用,第十一章 簡易概率,第十章 三角學的應用,重溫sin, cos ,tan 的定義,斜坡上的斜率,請按以下其中一個章節,仰角與俯角,方位角的應用,第十章 三角學的應用,(1) 中二的三角函數 sin, cos , tan 的重溫,(i) 認識直角三角形的斜邊,鄰邊和對邊,例一: 寫出下列直角三角形中,對於角 的斜邊, 鄰邊, 對邊的長度,(1),(2),(a) 斜邊 =,(b) 鄰邊 =,(c) 對邊 =,(a) 斜邊 =,(b) 鄰邊 =,(c) 對邊 =,5,4,3,13,5,12,(ii) 直角三角形中的 sin, cos, tan,註: sin
2、,cos,tan 為直角三角形中 指定兩邊的比例,(1) sin = 對邊 / 斜邊,(2) cos = 鄰邊 / 斜邊,(3) tan = 對邊 / 鄰邊,例二:,寫出下面直角三角形中sin,cos,tan的值,(1),(2),(a) sin =,(b) cos =,(c) tan =,24/25,7/25,24/7,12/13,5/13,12/5,(a) sin =,(b) cos =,(c) tan =,例三:,寫出題目中的比例所代表的三角函數 (即sin,cos或tan),(1),(2),15,8,17,(a) 4/5 =,(b) 4/3 =,(c) 3/5 =,sin,tan,cos
3、,(a) 15/8 =,(b) 8/17 =,(c) 15/17 =,tan,cos,sin,利用sin, cos, tan求直角三角形的未知角,例四: 求下圖中的直角三角形中的未知角,步驟一:選取適當的函數 (即sin,cos或tan),cos =,4/5,步驟二:按計算機求出 未知角的值, =,36.9,按計數機的次序: 4 ab/c 5 shift cos,例五: 求下圖中的直角三角形中的未知角,(1),(2),sin =,24/25, =,73.7 ,按計數機的次序: 24 ab/c 25 shift sin,tan =,12/5, =,67.4 ,按計數機的次序: 12 ab/c 5
4、 shift tan,(iv) 利用sin, cos, tan求直角三角形的未知邊,例六: 求下圖中的直角三角形中的未知邊a,步驟一:選取適當的函數 (即sin,cos或tan),步驟二: 移項,步驟三:按計算機求出 未知邊a的值,cos30 =,a/5,5cos30 =,a,a,= 4.33,按計數機的次序: 5 30 cos =,例七: 求下圖中的直角三角形中的未知邊b,tan40 =,12/b,=12/tan40,b,b,=14.3,按計數機的次序: 12 40 tan =,回主頁,第十章 三角學的應用,(2) 斜率,現在非典型肺炎肆虐, 大家聽過 1:99嗎?,M,一比九十九 清潔好幫
5、手,在一個斜坡上, 1:99又是甚麼意思呢?,你見過右面的道路標誌嗎?,這是斜坡上一個交通道路標誌,1:10是道路的斜率, 它代表,例8: 若一直線的斜坡AB的上升100m, 平移距離 = 500m, 求AB的斜率 （以 1 : n 表示),= 1 : 5,斜坡的傾角,(2) 斜率 = tan ,例9: 若一直線的斜坡AB的上升100m, 平移距離 = 500m, 求AB的傾斜角, = 11.3,例10: 若一直線的斜坡 AB 的傾斜角=5, 求AB的斜率(以1:n表示,n須捨入為整數),AB的斜率 = tan 5,= 0.0875,按 5 tan,按 1 / x,= 1:11,例11: 若一
6、直線的斜坡 AB的斜率 = 1/8, 若平移距離為400m, 求上升距離(x m),AB的斜率 = x / 400,交叉相乘,x = 50,8x = 400,回主頁,完成書本p.73課堂練習(1-6)於筆記簿上請列式,第十章 三角學的應用,(3) 仰角與俯角,通常在觀看物件時, 都會向上望或向下望.,M,例如:,水平線,A,B,(i) 由A測B的仰角 =,a,b,c,d,a,(ii) 由B測A的俯角 =,d,仰角與俯角, 是水平線與視線相交的角呀!,例12: 由B點測A點的俯角為30, 若兩點的垂直距離相距100m, 則兩點的水平距離相距多少?, = 30,tan30 = 100/x,x =
7、100 / tan30 ,x = 173 m,例13: 若兩點的垂直距離相距100m, 則兩點的水平距離相距75m, 求由B點測A點的俯角.,tan = 100/ 75, = 53.1,由B點測A點的俯角 = 53.1,例14: 若一座大廈的頂點A測另外一大廈的頂點B的 仰角為30,而測該大廈的底部C點的俯角為45, 若兩座大廈相距100m,求兩座大廈的高度.,30,45,100m,tan45 =,x / 100,x,= 100 tan45 = 100,tan30 =,y / 100,y,= 100 tan30 = 57.7,兩座大廈的高度為100m 及 (100+57.7)m,即157.7m
8、,A,B,C,100m,例15: 由一座大廈AD(高100m)的頂點A測B點的俯角為 60,而測C點的俯角為45(如圖),求BC的距離.,A,B,C,60,45,D,b,c,100m,c,= 45,tan 45 ,= 100 / CD,CD = 100 / tan45 = 100,b,= 60,tan 60 ,= 100 / BD,BD = 100 / tan60 = 57.7,BC = 100 57.7 = 42.3m,?,一些較艱深的例子,例16:由B點測一座大廈AD的頂點A的仰角為60,而由C點 測A點的仰角為45(如圖),若BC=100m,求大廈的高度(AD),A,B,C,D,45,6
9、0,100m,tan 60 = h / BD,BD = h / tan 60 ,tan 45 = h / CD,CD = h / tan 45 ,(h / tan60) + (h/tan45) = 100,h ( 1/ tan60 + 1/tan45) = 100,以h表示 BD及CD,因為 BD+CD =100,抽 h 呀!,h ( 1.577) = 100,h = 63.4m,例17:由B點測一座大廈AD的頂點A的仰角為60,而由C點 測A點的仰角為45(如圖),若BC=100m,求大廈的高度(AD),A,60,45,100m,B,C,D,tan 45 = h / 100+x,tan45(
10、100+x) = h,x,tan 60 = h / x,xtan60 = h,因為(1)=(2),tan45(100+x)= xtan60,100+x = 1.732x,100 = 0.732x,x = 136.6m,代入(2),h = 136.6 x tan60 ,h = 237m,回主頁,第十章 三角學的應用,(4) 方位角,當由一點測量另一地點時,除了要知道兩點的距離外, 還要知道所測地點的方位,例(1): 飛機在山的東面,例(2): 船在山的西北面,(i) 方位角(或真方位角),(1) 認識不同的方位角,例: 香港天文台發出 2003 年 05 月 02 日 0700 協調世界時 的機
11、場天氣報告：,北,機場,A,150 o,使用方位角, 要由正北開始, 並按順時針方向 量度有關角度, 並以三位數表示,由機場測A點的方位是150o,北,O,A,80 o,50 o,70 o,100 o,B,C,D,(1) 由O點測A點 的方位是_,(2) 由O點測B點 的方位是_,(3) 由O點測C點 的方位是_,(4) 由O點測D點 的方位是_,050o,130o,200o,300o,方位角是三位數字,50+80,50+80+70,50+80 +70+100,例18:,(ii) 象限角(或 羅盤方位角),象限角是另外一個量度方位角的方法,步驟一 : 認定方位角在那一個象限,在數學上, 我們將
12、平面分成4個象限,N,留意:,北 - North,東 - East,南 - South,西 - West,E,S,W,N _ E,S _ E,S _ W,N _ W,在象限角, 一定要由北(N), 或南(S)開始,N,O,80 o,50 o,B,例19:,(1) 由O點測A點 的方位是_ (以象限角表示),步驟二 : 要由北或南開始寫出方向和角度,A,(2) 由O點測B點 的方位是_ (以象限角表示),N _ E,N 50 E,S _ E,180-50-80 = 50,S 50 E,有關方位角及象限角的例子,例20:,以方位角表示下列象限角所代表的方位,類型一: 方位角與象限角的轉換,(a)
13、N30E,(b) N30W,答:,30 o,30 o,N,(a),(b),(a) 方位角= 030,(b) 因為 =360 30 = 330 方位角 = 330,例21:,以象限角表示下列方位角所代表的方位,(a) 130,(b) 230,130 o,230 o,(b),a,答:,(a),(a) 因為 a =180 130 = 50 象限角 = S 50E,b,(b) 因為 b =230 180 = 50 象限角 = S 50W,N,例22:,類型二: 互相測量的方位角的關係,若A點測B點的方位角是080, 則由B點測A點的方位角是多少?,80 o,由B點測A點的方位角是 180 + 80 =
14、 260,錯角,例23:,若A點測B點的方位角是 S80E, 則由B點測A點的方位角是多少?,80 o,W,由B點測A點的方位角是 N 80 W,類型三: 與方位有關的三角問題,例24:,一艘輪船由O港出發, 向南走了200km,再向西走了300km到達B港, 求從O點測B點的方位,O,N,A,B,200km,300km,答:,tan,=300/200, = 56.3,從O點測B點的方位 = 180 + 56.3,= 236.3,例25:,A點在O點的西面50km, 而由O點測B點的方位為330, 若B點在A點的正北方, 求AB的距離,答:, = 330270 = 60,tan 60 = AB
15、 / 50,50tan 60 = AB,AB = 86.6 km,例26:,由O點沿S50E的方位步行5km到達A點,再沿N40E的方位步行3km到達B點,求 (i) 由O點測B點的方位 ; (ii) OB的距離,答(i):, = 50(錯角),OAB = 50+ 40 = 90,tan,= 3/5, = 31.0,由O點測B點的方位 = S(50+31)E = S 81E,答(ii):,OB =,或 5.83km,要先說明OAB是一直角,書本練習中較深題目的提示,在某些題目上, 要加上一條直線, 才容易找到適當的直角三角形, 以便計算未知的距離或方位,以下為一些題目的提示:,EX.10D#5,x,y,求 x 及 y,EX.10D#6,求 x 及 ,EX.10D#7,可參考例16/ EX10C#15的計算方法,EX.10D#8,求 x, y 及 ,EX.10D#10,a,b,c,d,求 a, b, c, d 及 ,紅色直線為 附加直線,回主頁,