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1、第4.2节 正态总体均值与方差的 假设检验,一、 t 检验,二、 检验,三、F 检验,四、单边检验,一、t 检验,例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:,假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变化, 试问该机工作是否正常?,解,查表得,定理1.13,根据第一章1.3定理1.13知,上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法. 此检验的势函数为: (略),如果在例1中只假定切割的长度服从正态分布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化?,解,查表得,t分布表,例2(p121
2、例4.5),利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设.,定理1.14,根据第1章1.3定理1.14知,其拒绝域的形式为,第一类错误的概率为：,解,即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异.,补充：方差已知但不相等时，两个正态总体 均值是否相等的检验,有时为了比较两种产品，两种仪器或两种试验方法等的差异，我们常常在相同的条件下做对比试验，得到一批成对（配对）的观测值，然后对观测数据进行分析。作出推断，这种方法常称为配对分析法。,例4 比较甲乙两种橡胶轮胎的耐磨性，今从甲乙两种轮胎中各随机地抽取8个，其中各取一个组成一对。再随机选择8架飞机，将8对轮胎随机地搭配给8架飞机, 做耐磨性实
3、验.飞行一段时间的起落后，测得轮胎磨损,4、基于配对数据的检验（t检验）,量（单位：mg）数据如下：,轮胎甲：4900，5220，5500，6020 6340，7660，8650，4870 轮胎乙；4930，4900，5140，5700 6110，6880，7930，5010,试问 这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？,解：用X及Y分别表示甲乙两种轮胎的磨损量,假定 ，其中 欲检验假设,下面分两种情况讨论：,（1）实验数据配对分析：记 ，则 ，由正 态分布的可加性知，Z服从正态分布 。 于是，对 与 是否相等的检验,就变为对 的检验，这时我们可采用关于一个正态总体均值的T 检验法。将甲，乙两种轮胎
4、的数据对应相减得Z的样本值为：,-30，320，360，320，230, 780，720，-140,计算得样本均值,对给定 ，查自由度为 的 分布 表得临界值 ，由于 因而否定 ，即认为这种轮胎的耐磨性有显著差异。,（2）实验数据不配对分析：将两种轮胎的数 据看作来自两个总体的样本观测值，这种方 法称为不配对分析法。欲检验假设,我们选择统计量,由样本数据及 可得,对给定的,，查自由度为16-2=14的t分布,表，得临界值,由于,，因而接受,，即认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。,以上是在同一检验水平,的分析结果，方法不同所得结果也比一致，到底哪个结果正确呢？下面作一简要分析。因为我们将8对轮胎
5、随机地搭配给8架飞机作轮胎耐磨性试验，两种轮胎不仅对试验数据产生影响，而且不同的飞机也对试验数据产生干扰，因此试验数据配对分析，消除了飞机本身对数据的干扰，突出了比较两种轮胎之间耐磨性的差异。,下采用不同方法,对试验数据不做配对分析，轮胎之间和飞机之间对数据的影响交织在一起， 因此，用两个独立正态总体的t检验法是不合适的。 由本例看出，对同一批试验数据，采用配对分析还是不配对分析方法，要根据抽样方法而定。,二、 检验,(1) 要求检验假设:,根据第一章1.3,指它们的和集,为了计算方便, 习惯上取,拒绝域为:,解,例5 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差 =5000 (小时2)
6、 的正态分布, 现有一批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的修正样本方差为9200 (小时2). 问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?,拒绝域为:,即认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化.,例6(p124例4.7)美国民政部门对某住宅区住户的消费情况进行的调查报告中，抽出9户为样本，每年开支除去税款和住宅等费用外, 依次为: 4.9, 5.3, 6.5, 5.2, 7.4, 5.4, 6.8, 5.4, 6.3（单位k元）. 假定住户消费数据服从正态分布，当给定=0.05,问所有住户消费数据的总体方
7、差为0.3是否可信?,解,查表得,即认为所有住户消费数据的总体方差为0.3不可信,三、F 检验,需要检验假设:,定理1.15,根据第一章1.3定理1.15知,检验的拒绝域为,上述检验法称为F检验法.,例7(p125例4.8),为了考察温度对某物体断裂强,力的影响，在70度和80度分别重复做了8次试验，,测得的断裂强力的数据如下(单位Pa):,70度：20.5, 18.8, 19.8, 20.9, 21.5, 19.5, 21.0, 21.2,80度：17.7, 20.3, 20.0, 18.8, 19.0, 20.1, 20.2, 19.1,解,所以两总体方差无显著差异.,例8 分别用两个不同
8、的计算机系统检索10个资料, 测得平均检索时间及方差(单位:秒)如下:,解,假定检索时间服从正态分布, 问这两系统检索资料有无明显差别?,根据题中条件, 首先应检验方差的齐性.,认为两系统检索资料时间无明显差别.,四、单边检验,1. 右边检验与左边检验,右边检验与左边检验统称为单边检验.在一个假设检验中，若备选假设给出的参数域在原假设给出的参数域的某一侧，则称这样的检验为单侧假设检验.,下面通过一个实例来说明双边检验与单边检验 的区别与联系.,某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态分布 均未知. 现测得16只元件的寿命如下:,问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)?,例9,解,依题
9、意需检验假设,查表得,由上述例子可以看到：两种检验使用的统计量一致，区别在于拒绝域. 双边检验与单边检验的拒绝域分别为：,因为单边检验与双边检验有密切关系，因而仅举一例说明。,2. 单边检验拒绝域的计算,利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均值差的单边假设.,定理1.14,根据第一章1.3定理1.14知,其拒绝域的形式为,又由于原假设成立时,例10 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平炉上进行的. 每炼一炉钢时除操作方法外, 其它条件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一炉, 然后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行, 各炼了10炉, 其得率分别
10、为 (1) 标准方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法: 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1,77.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总体,问建议的新操作方法能否提高得率?,解,分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差:,即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.,查表5.2知其拒绝域为,五、小结,本节学习的正态总体均值的假设检验有:,正态总体均值、方差的检验法见下表,表4.2,再 见,第一章1.3定理1.14与1.15,第一章1.3定理1.13,表4.2,3,2,1,t分布表a,2.1448,