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1、第7章 统计假设检验和区间估计,统计假设检验概要,单正态总体的统计检验,两正态总体的统计检验,需要说明的问题,正态总体的区间估计,(1)小概率原理(实际推断原理)认为概率很小的事件在一次试验中实际上不会出现,并且小概率事件在一次试验中出现了,就被认为是不合理的.,(2)基本思想 先对总体的参数或分布函数的表达式做出某种假设,然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小的(条件)小概率事件.如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现了, 表明原来的假设有问题,应予以否定,即拒绝这个假设.若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现,就没有理由否定这个假设, 可以接受原来的假设.,1.统计检验的基本思想,统
2、计检验概要,利用样本检验统计假设真伪的过程叫做 统计检验(假设检验),小概率原理中,关于“小概率”的值通常根据实际问题的要求而定,如取=0.1,0.05,0.01等, 为检验的显著性水平(检验水平).,(3) 显著性水平与否定域,/2,/2,接受域,P(|Z|z1-/2)=,否定域的大小,依赖于显著性水平的取值, 一般说来,显著性水平越高,即越小,否定域也越小,这时原假设就越难否定.,注意:,否定域,否定域,z1-/2,- z1-/2,(1) 提出待检验的原假设 和备则假设 ;,(2) 选择检验统计量,并找出在假设 成立条件下,该统计量所服从的分布;,(3) 根据所要求的显著性水平 和所选取的
3、统计量,确定一个合理的拒绝H0的条件;,(4) 由样本观察值计算出统计检验量的值,若该值落入否定域,则拒绝原假设 ,否则接受原假设,注 若H1位于H0的两侧,称之为双侧检验; 若H1位于H0的一侧,称之为单侧检验.,2.统计检验的实施程序,另一方面,当原假设不成立时,却作出接受原假设的结论,造成犯“取伪”的错误,称为第二类错误,就是犯第一类错误的概率的最大允许值.,一般用 表示犯第二类错误的概率.,根据小概率原理否定原假设,有可能把本来客观上正确的假设否定了,造成犯“弃真”的错误,称为第一类错误,弃真 取伪,当样本容量 一定时, 小, 就大,反之, 小, 就大.,另外,一般,3.两类错误,增大
4、样本容量n时,可以使和同时减小.,注意:,2) 确定检验统计量:,设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，,(1) 总体方差2已知时, H0:=0(已知); H1:0,1) 提出原假设和备择假设:,H0:=0; H1:0,3) 对给定,由原假设成立时P(|Z| z1-/2)=得 拒绝条件为|Z| z1-/2,其中,1.期望的检验,单正态总体的统计检验,/2,/2,接受域,P(|Z|z1-/2)=,否定域,否定域,z1-/2,- z1-/2,双侧统计检验,Z检验,例:用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气体含量 服从正态分布N(23,22),现用一简便方法测量6次得一组数据23,2
5、1,19,24,18,18(单位:十万分之一),若用简便方法测得有害气体含量的方差不变,问用该方法测得有害气体含量的均值是否有系统偏差?,分析 用简便方法测得有害气体含量XN(,22),若H0成立,则,若取=0.05,则,P|Z|z1-/2=a,即: P|Z|1.96=0.05,在假设成立的条件下,|Z|1.96为概率很小事件,一般认为:小概率事件在一次实验中是不会发生的,将样本观测值代入Z得,|Z|1.96,基本检验H0: =0=23;,备择检验H1: 0= 23;,小概率事件在一次实验中发生了,故假设不合情理, 即:否定原假设,简便方法测得均值有系统偏差.,2) 选择检验统计量：,1) 提
6、出原假设和备择假设:,H0:=0; H1:0,3) 对给定,拒绝条件为 |T| t1-/2(n-1),/2,/2,接受域,否定域,否定域,(T检验）,(2) 2未知,的检验,例：从电话公司每月长途电话的帐单中, 随机抽取37张, 计算平均费用为33.15元, 标准差为21.21元. 假定费用服从正态分布 , 未知, 要检验假设 ,解:取检验统计量,依样本计算检验统计量的值为,说明样本支持原假设,故要接受原假设.,接受域,2) 选择检验统计量:,1) 提出原假设和备择假设:,3) 给定,取,H0: 2 = 02; H1: 2 02,/2,/2,1,2,否定域,否定域,设总体XN(,2), X1,
7、X2,Xn 为一组样本，,(1) 2的检验（ 未知）,有P(1 2)=1-,所以,拒绝条件为,2. 方差2的检验,例：在正常的生产条件下, 某产品的测试指标 总体XN(0,02),其中0=0.23.后来改变生产工艺,出了新产品,假设新产品的测试指标总体仍为X,且XN(,2). 从新产品中随机地抽取10件, 测得样本值为x1,x2,x10,计算得到样本标准差S=0.33. 试在检验水平=0.05的情况下检验: 方差2有没有显著变化?,解,建立假设,新产品指标的方差与正常情况下产品指标的方差比较没有显著变化 .,2.718.5319.023,接受,接受域,否定域,z1-,单侧（右侧）统计检验,P(
8、 z1-),原假设的确定一般应遵循以下原则 要把等号放在原假设里.,2) 对统计量:,设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，,1) 提出原假设和备择假设:,H0:0; H1:0,3) 故 拒绝条件为Z z1-,其中,对给定的有,在H0下有,所以, H0:0(已知); H1:0,2) 选择统计量:,1) 提出原假设和备择假设:,H0:0; H1:0,3) 对给定, 否定域为Z- z1-, 其中, H0:0(已知); H1:0,2) 选择检验统计量：,1) 提出原假设和备择假设:,H0:=0; H1:0,3) 对给定,拒绝条件为 |T|,/2,/2,接受域,否定域,否定域,(T检验）
9、,(2) 2未知,的检验,类似可得:,2未知,期望的单侧统计检验,H0:0; H1:0的拒绝条件为,统计检验,H0:0; H1:0的拒绝条件为,统计检验,接受域,2) 选择检验统计量:,1) 提出原假设和备择假设:,3) 给定,取,H0: 2 = 02; H1: 2 02,/2,/2,1,2,否定域,否定域,设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，,(1) 2的检验（ 未知）,有P(1 2)=1-,所以,拒绝条件为,2. 方差2的检验,1) 提出原假设和备择假设:,H0: 2 02; H1: 2 02,2) 选择统计量,则在H0下,对给定的,有,即,3) 所以,拒绝条件为,总体期望
10、未知时，2的单侧假设检验,接受域,否定域,单侧假设检验,H0: 2 02; H1: 2 02,类似对单侧假设,拒绝H0: 2 02 的条件为,接受域,否定域,例 在正常的生产条件下, 某产品的测试指标 总体XN(0,02),其中0=0.23.后来改变生产工艺,出了新产品,假设新产品的测试指标总体仍为X,且XN(,2). 从新产品中随机地抽取10件, 测得样本值为x1,x2,x10,计算得到样本标准差S=0.33. 试在检验水平=0.05的情况下检验: 方差2是否变大?,解,建立假设,新产品指标的方差比正常情况下产品指标方差显著地变大 .,18.5316.919,拒绝,例 某地区高考负责人从某年
11、来自A市中学考生和来自B市中学考生中抽样获得如下资料:,已知两地考生成绩服从正态分布，方差大致相同,由以上资料能不能说某年来自A市中学考生的平均成绩比来自B市中学考生的平均成绩高.,设A市考生成绩XN(1,12), B市考生成绩Y N(2,22),假设检验,A市中学考生: B市中学考生:,两个正态总体的统计检验,设总体XN(1,12),总体Y N(2,22),从中分别取相互独立的容量为n1,n2的两组样本X1, 和Y1, , 样本均值和样本方差分别记为,(1) 12, 22已知,选择检验统计量:,对于给定的显著性水平:,1.两总体均值差的检验,选择检验统计量:,对于给定的显著性水平:,H0:1
12、=2的拒绝条件为,:1 2的拒绝条件为,:1 2的拒绝条件为,(2) 12=22=2, 2未知,例 从两个教学班各随机选取14名学生进行数学测验, 第一教学班与第二教学班测验结果分别由图中的A列与B列单元格所示, 已知两教学班数学成绩的方差分别为57与53, 在显著性水平0.05下, 可否认为这两个教学班学生的数学测验成绩有差异?,解 设第一个教学班数学成绩XN(1,57), 第二个教学班数学成绩YN(2,53),建立假设,H0:1-2=0; H1:1-2 0,选择检验统计量:,接受H0:1=2,对于给定的显著性水平=0.05,例某地区高考负责人想知道能不能说某年来 自城市中学考生的平均成绩比
13、来自农村中学考生的平均成绩高, 已知总体服从正态分布且方差大致相同, 由抽样获得资料如图A列和B列:,选择检验统计量:,:1 2,拒绝1 2,12=22=2, 2未知,解: 建立假设H0:1-20; H1:1-2 0,设总体XN(1,12),总体Y N(2,22),从中取相互独立的容量分别为n1,n2的样本X1, 和Y1, , 样本均值和样本方差分别记为,选择检验统计量:,H0:12=22; H1: 12 22,对于给定的显著性水平:,所以拒绝条件为,3. 两总体方差比的检验,类似可得,的拒绝条件为,的拒绝条件为,例 假定分别抽选男生与女生各14名进行英语测验 (成绩如下), 假定男生与女生的
14、英语测验成绩分别服从 正态分布 和 , 试以0.05的显著性水平检验,选择检验统计量:,H0:12=22; H1: 12 22,对于给定的显著性水平=0.05:,例:任选19名工人分成两组,让他们每人做同样的 工作,测得他们完工时间(单位:分钟)如下:,问饮酒对工作能力是否有显著响?(显著水平 ),拒绝H0:1=2 , 故饮酒对工作能力有影响.,设总体分布中含有未知参数 ,根据来自该总体的s.r.s , 如果能够找到两个统计量 ,使得随机区间 包含 达到一定的把握,那么,便称该随机区间为未知参 数的区间估计.即 当 成立时, 称概率 为置信度或置信水平; 称区间 是 的置信度为 的置信区间;
15、分别称为置信下限和置信上限.,区间估计的定义, 选择包含的分布已知函数:, 构造Z的一个1- a区间：, 的1-置信区间:,设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，,(1) 2已知,求的置信度为1-置信区间,即,1.单正态总体数学期望的区间估计,/2,/2,1-,Z1-/2,P(|Z|)=1-,1-/2,例:设正态总体的方差为1, 根据取自该总体的容量为100的样本计算得到样本均值为5, 求总体均值的置信度为0.95的置信区间.,解 已知2=1, =0.05,求 的1-置信区间：,设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，,(2)2未知,求的置信度为1-置信区间,从点估计
16、着手构造变量:, 构造T的 一个1-区间:, 的1-置信区间:,/2,/2,1-,例:某种零件的重量服从正态分布. 现从中抽取容量为16的样本, 其观测到的重量(单位: 千克)分别为4.8, 4.7, 5.0, 5.2, 4.7, 4.9, 5.0, 5.0, 4.6, 4.7, 5.0, 5.1, 4.7,4.5, 4.9, 4.9. 需要估计零件平均重量, 求平均重量的区间估计, 置信系数是0.95.,解 未知2, =0.05,求 的1-置信区间:,应用t分布,需要计算, 构造枢轴变量:, 构造Q的 一个1-区间:, 解不等式得到2的1-置信区间:,/2,/2,1-,1,2,1-/2,(3
17、)2的置信度为1-置信区间,例：投资的回收利用率常常用来衡量投资的风险. 随机地调查了26个年回收利润率(%), 标准差S=1(%). 设回收利润率为正态分布, 求它的方差的区间估计(置信系数为0.95).,解 总体均值 未知,=0.05,方差的区间估计.,(1) 12, 22已知, 1- 2的1-置信区间, 相对1- 2，构造枢轴变量:, 构造Z的 一个1-区间:, 概率恒等变形，得到1- 2的1-置信区间:,设XN(1,12),Y N(2,22),从中分别抽取容量为n1,n2的样本,且两组样本独立，样本均值和样本方差分别记为,2.两个正态总体均值差的区间估计,(2) 12=22=2, 2未
18、知,1- 2的1-置信区间, 对于1- 2，构造变量:, 构造T的 一个1-区间:, 变形得到1- 2的1-置信区间:,例：某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取随机样本: 和 , 计算出 (克), (克), . 假设这两条流水线上罐装番茄酱 的重量都服从正态分布, 其总体均值分别为 , 且有相同的总体方差. 试求总体均值差 的 区间估计, 置信系数为0.95.,解 12=22=2, 2未知,1- 2的0.95置信区间:,(1)对于12/22 ，构造枢轴变量:,(2)构造F的 一个1-区间:,(3)解不等式得12/22 的1-置信区间:,/2,/2,1,2,1-,P(1
19、F 2)=1-,3.两个正态总体方差比 12/22的1-置信区间,统计检验与区间估计的关系,(1) 利用统计检验可建立区间估计, 反之亦然,设 为取自正态总体 的样本,方差未知,接受条件为:,亦即,改成 , 便可得到的 置信度为1-的置信区间.,需要说明的问题,反之, 若我们先确定了 的区间估计:,改成 ,得到了原假设 的接受条件,也就得到了 的拒绝条件,检验水平为.,(1)小概率原理(实际推断原理),(2)基本思想,1.统计检验的基本思想,统计检验概要,小结:,(3) 显著性水平与否定域,(1) 提出待检验的原假设 和备则假设 ;,(2) 选择检验统计量,并找出在假设 成立条件下,该统计量所
20、服从的分布;,(3) 根据所要求的显著性水平 和所选取的统计量,确定一个合理的拒绝H0的条件;,(4) 由样本观察值计算出统计检验量的值,若该值落入否定域,则拒绝原假设 ,否则接受原假设,注 若H1位于H0的两侧,称之为双侧检验; 若H1位于H0的一侧,称之为单侧检验.,2.统计检验的实施程序,/2,/2,接受域,否定域,否定域,z1-/2,- z1-/2,(1) 总体方差2已知时, H0:=0(已知); H1:0,拒绝条件为|Z| z1-/2,1.期望的检验,单正态总体的统计检验,接受域,否定域,z1-,1),2) 拒绝条件为Z z1-, H0:0(已知); H1:0,接受域,否定域,-z1
21、-,2),3) 否定域为Z- z1-, H0:0(已知); H1:0,2) 选择检验统计量：,1) 提出原假设和备择假设:,H0:=0; H1:0,3) 对给定,拒绝条件为 |T|,/2,/2,接受域,否定域,否定域,(T检验）,(2) 2未知,的检验,接受域,否定域,2未知,期望的单侧统计检验,H0:0; H1:0的拒绝条件为,统计检验,H0:0; H1:0的拒绝条件为,统计检验,接受域,2) 选择检验统计量:,1) 提出原假设和备择假设:,3) 给定,取,H0: 2 = 02; H1: 2 02,/2,/2,1,2,否定域,否定域,设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，,(1
22、) 2的检验（ 未知）,有P(1 2)=1-,所以,拒绝条件为,2. 方差2的检验,接受域,1,否定域,总体期望未知时，2的单侧假设检验,H0: 2 02; H1: 2 02,拒绝H0: 2 02 的条件为,接受域,否定域,H0: 2 02; H1: 2 02,拒绝条件为,(1) 12, 22已知,对于给定的显著性水平:,1.两总体均值差的检验,对于给定的显著性水平:,H0:1=2的拒绝条件为,:1 2的拒绝条件为,:1 2的拒绝条件为,(2) 12=22=2, 2未知,H0:12=22; H1: 12 22,拒绝条件为,3. 两总体方差比的检验,的拒绝条件为,的拒绝条件为,(1) 2已知,求的置信度为1-置信区间,1.单正态总体数学期望的区间估计,区间估计,(2)2未知,求的置信度为1-置信区间,(3)2的置信度为1-置信区间,(1) 12, 22已知, 1- 2的1-置信区间,2.两个正态总体均值差的区间估计,(2) 12=22=2, 2未知,1- 2的1-置信区间,3.两个正态总体方差比 12/22的1-置信区间,