项目七电路的暂态过程.ppt

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1、项目七 电路的暂态过程,（时间：5次课，10学时）,项目七 电路的暂态过程,在前几章中，分析和讨论的由电阻和电源构成的电路，称为电阻电路。 在一定条件下，自然界的任何事物都会处于一种稳定状态，但当条件发生变化后，经过一定的时间又会过渡到一种新的稳定状态，而由一种稳态到另一种稳态的转变往往不是突变的，需要经历一个被称做过渡的过程。例如，在电路的电源被切断后，电动机的转速从匀速慢慢地减小到零。,同样电路也有过渡过程， 电路中由于电容元件的存在，电源接通后对电容充电而使其电压渐渐地升高到电源电压，这一过程也是一个过渡过程； 电感则由于电磁感应作用而使电流不能立即达到稳定值，同样也是一个渐变的过渡过程

2、。 电路过渡过程所经历的时间往往较为短暂，所以过渡过程又被称为暂态过程。,电路的暂态过程虽然在很短的时间内就会结束，但却能给电路带来比稳态大得多的过电流和过电压值。 一方面可用来产生所需要的波形， 另一方面它又可能会使电气设备工作失效，甚至造成严重的事故。因此有必要对电路的暂态过程进行分析。 研究暂态过程，是要认识和掌握暂态过程的规律。数学分析和实验分析是分析暂态电路的两种基本方法。 数学分析方法，其理论依据是欧姆定律及基尔霍夫定律。 实验分析方法，将在实验课程中综合应用示波器或仿真软件等来观测暂态过程中各物理量随时间变化的规律。,项目七 电路的暂态过程,任务一 换路定则 任务二 RC电路的暂

3、态过程 任务三 RL电路的暂态过程 任务四 RC一阶电路在脉冲信号作用下的暂态过程,任务一 换 路 定 则,7.1.1 换路定则 7.1.2 初始值的计算,1. 动态元件 如果能用一条u-q曲线来表示二端元件所存储的电荷量q(t)与其两端的电压uC(t)间的关系，那么这样的二端元件被称为电容元件。电容器可以用来存储电荷和电能，如果uC-q曲线是uC-q平面上的一条通过原点的直线，这样的电容元件就称为线性时不变电容元件， 如图7.1所示。,7.1.1 换路定则,图7.1 电容元件及其特性曲线,从上面等式知： (1)电容元件具有通交流隔直流的作用。 (2)通过电容的电流ic为有限值，电容两端的电压

4、是时间t的连续函数，不能突变。 (3)电容器两端的电压uc(t)与t时刻以前的电流有关，即电容器具有“记忆”电流的功能。,设电容上的电压uC(t)、电流iC(t)为关联性参考方向，如图7.1(a)所示，则,1）电容元件的功率： 2）电容器存储的电能 ： 对可实现的系统，上式中 =0，,例7-1 在一个4.75F 的理想电容器上，加上频率为50Hz、u(t)= V的电压，求通过电容的电流、功率和电能。 解：（1） （2） （3）,3)电感元件 电感是存储磁能的元件，和电容元件一样并不消耗能量。在任一时刻，通过二端元件的电流iL(t)与其磁链呈曲线关系，此二端元件称为电感元件。若此曲线为通过iL(

5、t)平面原点的直线(如图7.2(a)所示)，则此电感被称为线性时不变电感元件，其符号如图7.2(b)所示。 图7.2 电感元件及其特性,设电感线圈中通以电流iL(t)，根据毕奥萨伐尔定律， 其中的比例系数L称为电感线圈的自感系数，简称自感。 根据法拉第的电磁感应定律表述：线圈中的感应电压与磁链的变化率成正比，即 从而得 (7-8),从上式可知： (1)若通过电感线圈的电流不随时间而变化，即为直流电时 ，uL(t)=0电感线圈相当于短路。 (2)电感上的电压为有限值，电感中的电流为时间的连续函数，不能产生突变。 （3)感应电流(感应电压)的方向由楞次定律确定。电感元件具有“记忆”电压的作用。,4

6、)电感的功率 5)电感存储的磁能,2. 换路 电路在接通、断开、短路、电压或电路参数改变时，将由一种状态变换为另外一种状态，电路中的这种条件改变就称为电路的换路。 不论电路的状态如何发生改变，电路中所具有的能量是不能突变的。如电感的磁能及电容的电能都不能发生突变。 若要使电路的状态发生改变必须符合条件： (1)电路中至少需要有一个动态元件。 (2)电路需要换路。 (3)换路后的瞬间，电容电压、电感电流值不等于新的稳态值。,3. 换路定则 如图7.3(a)和图7.3(b)所示分别为由RC和RL组成的电路。开关接通或断开时，由于电源的输出功率是有限的，电路中的能量虽有改变，但电容器中的电能 和线圈

7、中的磁能 是不能发生跃变的。,图7.3 RC和RL的动态电路,换路定则 当电路中的电容电流和电感电压为有限值时，换路后一瞬间电容的电压和电感的电流保持换路前一瞬间的原有值不能跃变，即：,换路定则只能确定换路瞬间的电容电压值和电感电流值，而电容电流、电感电压以及电路中的其他元件的电流、电压初值是可以发生跃变的。 uC(0+)和iL(0+)称为独立的初始条件， 除电容电压和电感电流外的在t=0+时刻的其他响应值称为非独立初始值。 独立的初始值和非独立的初始值统称为暂态电路的初始值，即t=0+时电路中电压电流的瞬态值。,7.1.2 初始值的计算,由换路定则确定了独立的初始值后，电路中非独立初始值可按

8、下列原则确定： (1)换路前的瞬间，将电路视为一稳态，即电容开路、电感短路。 (2)换路后瞬间，电容元件被看作恒压源。 如果uC(0-)=0，那么uC(0+)=0，换路时，电容器相当短路。 (3)换路后瞬间，电感元件可看作恒流源。 当iL(0-)=0时，iL(0+)=0，电感元件在换路瞬间相当于开路。 (4)运用直流电路分析方法，计算换路瞬间元件的电压、电流值。,例7-2 确定图7.4(a)所示电路在换路后各储能元件的电流与电压的初始值，设开关闭合前电路处于稳态。 解:(1)求独立的初始值 。 开关闭合前电路处于稳态时，电容相当于开路，电感相当于短路，由图7.4(a)所示可知,(2)由换路后0

9、+时的等效电路图7.4(b)得非独立初始值为,图7.4 例7-2图,例7-3 如图7.5(a)所示。开关闭合前，电路已处于稳定状态。当t=0时开关闭合，求初始值 。 解： （1）开关闭合前电路已处于稳定状态，所以,图7.5 例7-3图,(2）换路瞬间，等效电路如图7.5(b)所示，根据换路定则 ， ， 这样 ：,任务二 RC电路的暂态过程,前面几章讨论的由电阻元件和电源构成的电路，称为电阻电路，其电路特性一般由代数方程描述。 如果电路中含有电容或电感元件，那么这样的电路称为动态电路，动态电路需要用微分方程加以描述。 如果动态电路中只含有一个电容或电阻，其对应的电路规律就是一阶微分方程，其解可在

10、时域、频域、复频域或Z域中得到。 本节仅在时域中讨论由电容和电阻组成的RC一阶电路。,任务二 RC电路的暂态过程,7.2.1 RC一阶电路零输入响应 7.2.2 RC一阶电路零状态响应 7.2.3 RC一阶电路完全响应 7.2.4 一阶电路的三要素法,7.2.1 RC一阶电路零输入响应,动态电路的响应分为零输入响应和零状态响应两部分。 零输入响应是电路在无输入激励的情况下仅由初始条件引起的响应。 RC电路的零输入响应是指输入信号为零，即激励为零，由电容元件的初始状态uC(0+)所产生的电流和电压。,如图7.6所示的RC动态电路，开关处于位置1时，电路已处于稳定状态，uc(0+)=Us。满足初始

11、条件的通解为： 式中 为单位阶跃信号，其解析式为 波形如图7.7所示 。,图7.6 RC零输入响应电路图 7.7 单位阶跃信号,电路中电流变化规律为 令=RC，具有时间的量纲，反映了RC电路中过渡过程进行的快慢程度，是描述过渡过程特性的一个重要的物理量，其大小由电路本身的结构所决定，与外界的激励无关。 越大，过渡过程持续时间就越长，电流、电压衰减得就越慢； 越小，过渡过程持续时间就越短，电流、电压衰减得就越快。,uC(t)和i(t)随时间变化的曲线如图7.8所示。 图7.8 电压、电流变化曲线 在工程中，一般认为经过(35)时间以后，衰减过程基本结束，电路已达到新的稳态。,例7-4 已知图7.

12、6中的C=10F，R=5k，电容的初始电能为210-3J，求：(1)电路的零输入响应uC(t)和iC(t)；(2)电容电压衰减到8V时所需时间；(3)要使电压在4s时衰减到2V时，电阻R应为多大？ 解：(1)由式(7-5)知： ，所以,将uC(0+)、iC(0+)和代入式(7-22)、式(7-24)式中得 V A (2) uC(t)=8V时， ，解此式得 t=0.018s (3)由 得：R= 将uC(t)=2V，C=10F，t=4s代入上式计算得 R=173.9 k,7.2.2 RC一阶电路零状态响应,如图7.9(a)所示，在开关S未闭合时，RC电路中电容电压uC(0+)=0，在这种情况下，R

13、C动态电路初始状态为零时，由外加激励信号所引起的响应，称为电路的零状态响应。 开关S闭合后，电源通过电阻对电容器进行充电，这样电容电压逐渐升高，充电电流逐渐减小，直到电容电压uC等于电源电压US，电路中电流为零时止，充电过程结束。,图7.9 RC电路的零状态响应,换路时，根据换路定则 根据KVL定律，得 可得RC零状态电路的电压uC(t)响应式为： 电路的电流i(t)响应为 根据以上两式画出的uC(t)和i(t)波形如图7.9(b)和图7.9(c)。,例7-5 在图7.9(a)中，已知US=12V，R=5k，C=1000F。开关S闭合前，电路处于零状态，t=0时开关闭合，求闭合后的uC和iC。

14、 解： (1) ，US=12V 因为 ，所以 (2) ，且 ， 所以,7.2.3 RC一阶电路完全响应,当RC电路中的储能元件电容在换路前就已具有初始能量，换路后又受到外加激励电源的作用，两者共同作用产生的响应，称为RC一阶电路的全响应 。,图7.10 RC电路全响应,如图7.10(a)所示，换路前开关长时间处于“2”的位置，表明电路已处于稳定状态，电容存储的电能为 ，换路瞬间uC(0+)=uC(0-)=U2。 当开关S由“2”位置拨向“1”位置时，电容除有初始储能外，还因为整个电路受外加电源U1的作用，因此电路中的各量为非零状态下的有输入响应。 开关动作后，电路方程为 (7-36),电路中电

15、容电压的全响应 (7-40) 由式(7-40)式可知：RC一阶电路在非零状态条件下与电源U1接通后，电路电容电压全响应由暂态响应和稳态响应U1两部分叠加而成。 或 (7-41) 由式(7-41)可知：RC电路的全响应又可看作零输入响应和零状态响应的叠加。,图7.10(a)所示电路中电容电压的响应可分如下3种情况： (1)当U1=U2时，由式(7-40)可知，uC(t)=U1，表明电路一经换路便进入稳定状态，无过渡过程。 (2)当U1U2时，电路在换路后将继续对电容器C进行充电，直到电容上的电压等于U1时为止，如图7.10(b)所示。 (3)当U1U2时，电路在换路后电容器处于放电状态，由初始值

16、的U2衰减到稳态的U1值，如图7.10(c)所示。,例7-6 如图7.11所示电路，t 0时的uc(t)和i(t)。,解:由(1) 知:,=10 v,开关闭合后，电路达到新的稳态时，,=2.25v,=RC=(R1/R2)C=1.125s,V,(2),A,图7.11 例7-6图,7.2.4 一阶电路的三要素法,由式(7-40)知：一阶RC电路的全响应等于电路的暂态响应和稳态响应之和。 暂态响应是指随着时间的增长而趋于零的响应分量，分量为零时，暂态过程即结束。 稳态响应是指不随时间而改变的响应分量，其值等于过渡过程结束后的稳态值。 用f(t)代替式(7-40)中的uC(t)，并分别在t和t+时求极

17、限得 (7-42) (7-43),所以，三要素公式为 (7-44) 式中的 为所求响应的初始值、 为所求响应在新的稳态时的值， 为一阶电路的时间常数(在RC电路中为ReqC，在RL电路中为L/Req)，把这3个量称为三要素。 将三要素 、 和 代入三要素式(7-44)求一阶电路中的电流和电压的全响应的方法，称为三要素法。 利用三要素公式对一阶电路进行计算，既不需要列电路微分方程，也不需要解微分方程，只需求出三个要素就能写出电路的全响应。三要素法只适用于阶跃电压作用下的一阶线性电路。,例7-7 如图7.12所示，已知R1=R2=R3=2k，C=3103pF，US=12V，开关S未断开时uC(0-

18、)=0，在t=0时将开关S断开，用三要素法求电压uC的变化规律。 解：(1) 确定初始值。 换路瞬间，电容响应电压初始值为 uC(0+)=uC(0-)=0,图7.12 例7-7图,(2)计算稳态值。电路达到新的稳定状态时，电容相当断路，这样 (3)电路的时间常数 (4)将uC()、uC()和代入三要素式(7-44)得,任务三 RL电路的暂态过程,上节对RC电路的零输入响应、零状态响应和全响应进行了讨论。 RL电路和RC电路一样，在电路中含有储能的动态元件L，电路在换路后，需要经历一个暂态过程才能最终进入新的稳定状态。 根据换路定则，RL电路中与能量有关的线圈电流不能发生突变，含有一个电感的一阶

19、线性电路遵从的规律同样是一阶微分方程。下面利用与RC电路同样的分析方法对RL电路零输入响应、零状态响应及全响应进行分析。,任务三 RL电路的暂态过程,7.3.1 RL一阶电路的零输入响应 7.3.2 RL一阶电路的零状态响应 7.3.3 RL一阶电路的完全响应,7.3.1 RL一阶电路的零输入响应,在无电源激励，即输入信号为零时，由电感元件的初始状态iL(0+)所引起的响应，称为RL的零输入响应。 如图7.14所示，开关S1闭合，S2断开时，电路已处于稳定状态，iL(0+)=iL(0-)= 电路换路时，S1断开，S2闭合， 由基尔霍夫电压定律得 (7-45),iL的零输入响应为 (7-49)

20、电感电压为 (7-50) 将式(7-50)代入式(7-45)得电阻R2上的电压为 (7-51),由以上三式可画出如图7.15所示的波形图。 图7.14 RL零输入响应 图7.15 RL零输入响应波形图,由图7.15可知，在RL零输入响应电路中，电感初始时存储的磁能消耗在电阻中，理论上需要经过无穷长时间，电感中储存的磁能才能消耗完毕，暂态过程才算结束。 工程应用过程中常取(35)时，认为电路已达新的稳定状态。 电路的时间常数决定了暂态过程进行的快慢，改变电路常数R和L可以控制RL电路暂态过程的进程。,例7-9 如图7.16所示电路中，RL串联由直流电源供电。S开关在t=0时断开，设S断开前，电路

21、已处于稳定状态。已知US=200V，R0=10，L=0.5H，R=40，求换路后iL、uL、uR的响应。 解：(1)S断开前， S断开后， ，其中 所以， A (2) (3),图7.16 例7-9图,例7-10 如图7.17所示，换路前开关S断开且电路处于稳定状态，计算换路后的电流i L。 解：在t 0 时，S闭合 将上式代入 得,图7.17 例7-10图,由例图可知： ，这样 用分离变量法解上面的微分方程得 根据换路定则可知， ，代入上式得 这样 将题中数据代入上式得 A,7.3.2 RL一阶电路的零状态响应,如图7.18所示电路，开关S闭合前电路中的电流为零，即电路处于零状态。开关闭合后，

22、电感元件中的电流从零逐渐增加到新的稳态值，电感中存储的磁能从无到有，也就是电感元件的充磁过程。,iL和uL取关联性参考方向，换路瞬间，根据KVL定律和电磁感应定律可得 由换路定得： ，当电路进入新的稳定状态时,图7.18 RL零状态响应,将 代入三要素公式中得RL零状态响应 其中时间常数 。 根据以上三式可画出图7.19所示的iL、uL和uR随时间变化的曲线。由波形图可知：一阶RL电路的零状态响应，是由零值按指数规律向新的稳态值变化的过程，变化的快慢由电路的时间常数来决定。,图7.19 RL零状态响应波形图,例7-11 如图7.18所示电路，已知US=10V，R=10，L=5H，当开关S闭合后

23、，计算：(1)电路到达新的稳定状态时的电流；(2)t=0s和t=+时电感上的电压。 解：(1) 电路到达新的稳定状态时，电流也到达稳定，这样有 (2)电路时间常数 t=0s时，电感上的电压 t=+时， ，说明电感L相当于开路。,当RL电路中的储能元件，在换路前已有初始磁能，即电感中的电流初始值不为零，同时换路瞬间又有外加激励信号作用于此电路，这种情况下电路中的响应称为RL一阶电路完全响应。如图7.20所示电路，通过计算可得电路的全响应为： 或 因此，全响应可看成零输入响应和零状态响应的叠加。,7.3.3 RL一阶电路的完全响应,图7.20 RL全响应,例7-12 图7.20所示的电路中，已知U

24、S=100V，R0=R=50，L=5H，设开关S闭合前电路已处于稳态状态。t=0时，开关S闭合，求闭合后电路中的电流iL和uL。 解：(1)由 得 由 得： 将相关数据代入全响应公式中得 (2),任务四 RC一阶电路在脉冲信号 作用下的暂态过程,在实际电子线路中，经常用到的积分器或微分器电路，都可以通过RC电路的电容充放电来实现。与前面考察暂态过程不一样，本节从输入(激励)和输出(响应)关系上来分析RC电路规律，即RC一阶电路在周期性矩形脉冲信号作用下，不同的电路时间常数对积分响应或微分响应的影响。,任务四 RC一阶电路在脉冲信号 作用下的暂态过程,7.4.1 RC微分电路 7.4.2 RC积

25、分电路,7.4.1 RC 微分电路,RC组成的微分电路如图7.21(a)所示， 输入信号为图7.21(b)所示的占空比为50的矩形脉冲。 占空比是指Tw与T之比，其中Tw指脉宽，T为信号的周期。 电路时间常数=RC比脉宽Tw小很多，输出电压uo为电阻R上的电压。,图7.21 微分电路,1. 充电过程 （1）在t=0瞬间，因为uC(0+)=uC(0-)=0，所以 uo (0+)=ui=U （2）电源通过电阻R对电容进行充电，电容两端的电压升高，电路中电流减小，输出电压由初始值向新的稳态值零过渡。由于 ，充电过程进行得极快， 当t 时，uC就已经到达稳定值，uo衰减到了零，在输出电阻R上产生1个正

26、尖脉冲，越小则脉冲越窄越尖，电路输出波形如图7.21(c)所示。 当0t 时，根据三要素法，输出电压uo可表示为：,2. 放电过程 在t=T/2时，输入ui等于零，RC组成放电回路，此时uo=uC=-U。之后因为电路时间常数很小，放电过程很快就结束了，在输出端R上形成1个负尖脉冲。电压输出波形如图7.21(c)所示。 当 tT时，输出电压uo可表示为 在第2个正脉冲到来之前，电容器上的电荷已全部释放完毕，电路处于起始状态。以后重复第1个周期的情形。 所以，根据KVL定律 得 从上式可以看出：输出电压与输入电压的微分近似成正比例关系，决定此关系的电路被称为微分电路。,从电路的充放电过程可以看出：

27、微分电路尖脉冲的产生是以电路时间常数充分小为前提条件的。如果充放电时间很长，则输出电压与输入电压基本相同，尖脉冲不可能产生，这样的电路称为阻容耦合电路， 因此RC电路要组成微分电路就必须符合以下两个条件： (1) 电路时间常数比脉宽小得多，即 ； (2) 从电阻R上输出电压。,7.4.2 RC 积分电路,如果把图7.21(a)中的电阻、电容互换，且满足电路时间常数无限大于脉宽，即 ，这时在输入端加入矩形脉冲信号，输出端的电压就近似与输入电压成正比，此电路称为积分电路，如图7.22(a)所示。图7.22（b）、（c）为输入输出波形。,图7.22 积分电路,1. 充电过程 在t=0时，输入电压虽发

28、生跃变，但由于 ，在脉冲持续的时间内，电容两端的电压由初始值零缓慢地向新的稳态值U过渡， 当uC还未达到稳态值时，脉冲就已经结束。 输出电压uo按指数规律上升的曲线可近似认为是一条直线，如图7.22(c)所示。 当0t 时，根据三要素公式，输出电压uo可表示为,2. 放电过程 t=T/2时刻，电容端电压为： ，输入电压已经跃变为零，电容器将由初始值U1开始缓慢地按衰减的指数规律(近似为直线)放电，由于电路时间常数很大，未等电容器中的电荷完全放完，输入端的电压就由零跃变到U，电路又重新开始充放电。整个充放电过程形成的输出波形为锯齿波，如图7.22(c)所示。 当 tT时，输出电压uo可表示为 由于充放电过程极其缓慢，所以 上式表明：输出电压与输入电压的积分近似成正比例关系，图7.22(a)称为RC积分电路。,通过以上的分析可知：RC组成的电路要成为积分电路必须满足以下两个条件： (1) 电路时间常数必须比脉宽大得多，即 ； (2) 从电容上输出电压。,Thanks!,