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1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.4 生活中的优生问题举例生活中的优生问题举例 A 级 基础巩固级 基础巩固 一、选择题一、选择题 1正三棱柱体积为正三棱柱体积为 V，则其表面积最小时，底面边长为，则其表面积最小时，底面边长为( ) A. B. C2 D. 3 V 3 2V 3 V 3 4V 解析：解析：设底面边长为设底面边长为 a，高为，高为 h， 则则 VSha2h，所以，所以 h， 3 4 4V 3a 2 4 3V 3a2 则表面积为则表面积为 S3ah2a2a2 3 4 3 2 4 3V a 则则 Sa，3 4 3V a2 令令 Sa0，可得，可得a，即，即 a.3 4 3V
2、 a2 3 4 3V a2 3 4V 答案：答案：D 2 若一个球的半径为 若一个球的半径为 r， 则内接于球的圆柱的侧面积最大为， 则内接于球的圆柱的侧面积最大为( ) A2r2 Br2 C4r2 D. r2 1 2 解析 ：解析 ： 如图，设内接圆柱的底面半径为如图，设内接圆柱的底面半径为 R，母线长为，母线长为 l，侧面积为，侧面积为 S. 则则 Rrcos ，l2rsin ， 所以所以 S2rcos 2rsin 4r2sin cos ， S4r2(cos2sin2)4r2cos2， 令令 S0，得，得 . 4 当当 ，即 ，即 Rr 时，时， 4 2 2 S 最大且最大且 Smax2r
3、2. 答案：答案：A 3某出版社出版一读物，一页纸上所印文字占去某出版社出版一读物，一页纸上所印文字占去 150 cm2，上、 下要留 ，上、 下要留 1.5 cm 空白，左、右要留空白，左、右要留 1 cm 空白，出版商为节约纸张，应 选用的尺寸为 空白，出版商为节约纸张，应 选用的尺寸为( ) A左右长左右长 12 cm，上下长，上下长 18 cm B左右长左右长 12 cm，上下长，上下长 19 cm C左右长左右长 11 cm，上下长，上下长 18 cm D左右长左右长 13 cm，上下长，上下长 17 cm 解析：解析：设所印文字区域的左右长为设所印文字区域的左右长为 x cm，则上
4、下长为，则上下长为 cm，所，所 150 x 以纸张的左右长为以纸张的左右长为(x2) cm， 上下长为， 上下长为 cm， 所以纸张的面积， 所以纸张的面积 S ( 150 x 3) (x2)3x156. ( 150 x 3) 300 x 所以所以 S3，令，令 S0，解得，解得 x10. 300 x2 当当 x10 时，时，S 单调递增；当单调递增；当 0 390， ) 单位数是单位数是( ) A150 B200 C250 D300 解析：解析：由题意得，总利润由题意得，总利润 P(x) x3 900 300x20 000，0 x 390， 70 090100x，x 390， ) 令令 P
5、(x)0，得，得 x300，经检验当，经检验当 x300 时总利润最大，故选时总利润最大，故选 D. 答案：答案：D 5要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最 大，则高为 ，要使其体积最 大，则高为( ) A. cm B. cm 3 3 3 3 10 3 3 C. cm D. cm 1 16 6 3 3 3 3 2 20 0 3 3 3 3 解析：解析：设圆锥的高为设圆锥的高为 x，则底面半径为，其体积为，则底面半径为，其体积为 V2 20 02 2x2 2 1 1 3 3 x(400x2)，00)，为使耗电量最小，则其速度应定为，为使耗
6、电量最小，则其速度应定为_ 解析：解析：由题设知由题设知 yx239x40， 令令 y0，解得，解得 x40 或或 x0)在在40，上递增，在上递增，在(0，40)上上 1 3 39 2 递减递减 所以当所以当 x40 时，时，y 取得最小值取得最小值 由此得为使耗电量最小，则其速度应定为由此得为使耗电量最小，则其速度应定为 40. 答案：答案：40 7 做一个无盖的圆柱体水桶， 若要使其体积是 做一个无盖的圆柱体水桶， 若要使其体积是 27， 且用料最省， 则圆柱的底面半径为 ， 且用料最省， 则圆柱的底面半径为_ 解析：解析：设圆柱的底面半径为设圆柱的底面半径为 R，母线长为，母线长为 L
7、，则，则 VR2L27， 所以 ， 所以 L，要使用料最省，只需使圆柱表面积最小，要使用料最省，只需使圆柱表面积最小， 27 R2 因为因为 S表 表 R22RLR2(R0)， 54 R 所以所以 S表 表 (R)2R， 令， 令 S表 表 (R)0， 得， 得 R3， 所以当， 所以当 R 54 R2 3 时，时，S表 表最小 最小 答案：答案：3 8某公司一年购买某种货物某公司一年购买某种货物 400 吨，每次购买吨，每次购买 x 吨，运费为吨，运费为 4 万 元 万 元/次，一年的总存储费为次，一年的总存储费为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之 和最小，则 万元，要使一年的总运费
8、与总存储费之 和最小，则 x_ 解析：解析：设该公司一年内总共购买设该公司一年内总共购买 n 次货物，则次货物，则 n， 4 40 00 0 x x 所以总运费与总存储费之和所以总运费与总存储费之和(单位：万元单位：万元)f(x)4n4x 1 1 6 60 00 0 x x 4x，f(x)4，令，令 f(x)0，解得，解得 x20(20 舍去舍去)，当，当 00. 所以所以 x20 是函数是函数 f(x)的极小值点， 也是最小值点， 故当的极小值点， 也是最小值点， 故当 x20 时， 运费与总存储费之和最小 时， 运费与总存储费之和最小 答案：答案：20 三、解答题三、解答题 9.如图所示，
9、 有甲、 乙两个工厂， 甲厂位于一直线海岸的岸边如图所示， 有甲、 乙两个工厂， 甲厂位于一直线海岸的岸边 A 处， 乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸 处， 乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸 40 km 的的 B 处，乙厂到海岸 的垂足 处，乙厂到海岸 的垂足D与与A相距相距50 km.两厂要在此岸边两厂要在此岸边A， D之间合建一个供水站之间合建一个供水站C， 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 ， 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和元和 5a 元，则供 水站 元，则供 水站 C 建在何处才能使水管费用最省？建在何处才能使水管费用最省？ 解：解：设设 C
10、点距点距 D 点点 xkm，则，则 AC50x(km)， 所以所以 BC(km)B BD D2 2CD2 2x x2 2402 2 又设总的水管费用为又设总的水管费用为 y 元，元， 依题意，得依题意，得 y3a(50x)5a(00)，令，令 l 512 y 20，解得，解得 y16(另一负根舍去另一负根舍去)，当，当 016 512 y2 时，时， l0， 所以当， 所以当 y16 时， 函数取得极小值， 也就是最小值， 此时时， 函数取得极小值， 也就是最小值， 此时 x 32. 512 16 答案：答案：A 2如图，内接于抛物线如图，内接于抛物线 y1x2的矩形的矩形 ABCD，其中，其
11、中 A，B 在抛 物线上运动， 在抛 物线上运动， C， D在在x轴上运动， 则此矩形的面积的最大值是轴上运动， 则此矩形的面积的最大值是_ 解析：解析：设设 CDx，则点，则点 C 坐标为，点坐标为，点 B 坐标为坐标为( ，1 ( x 2， ，0) x 2 )， ( x 2) 2 所以矩形所以矩形 ACBD 的面积的面积 Sf(x)xx，x(0，2) 1 (x 2) 2 x3 4 由由 f(x) x210， 3 4 得得 x1(舍舍)，x2， 2 3 3 2 3 3 所以所以 x时，时，f(x)0，f(x)是递增的，是递增的， (0， ， 2 3 3) x时，时，f(x)0，函数，函数 f(x)单调单调 1 10 0 3 3(2 2， ，1 10 0 3 3) 递增；在上，递增；在上，f (x)0，函数，函数 f(x)单调递减，单调递减， ( 1 10 0 3 3 ，6 6) 所以所以 x是函数是函数 f(x)在在(2，6)内的极大值点，也是最大值点，内的极大值点，也是最大值点， 1 10 0 3 3 所以当所以当 x3.3 时，函数时，函数 f(x)取得最大值取得最大值 1 10 0 3 3 故当销售价格为故当销售价格为 3.3 元元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最 大 套时，网校每日销售套题所获得的利润最 大