2019数学选修1-1（人教版）练习：第二章 章末复习课 Word版含解析.pdf

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1、章末复习课章末复习课 整合整合网络构建网络构建 警示警示易错提醒易错提醒 1关注圆锥曲线“定义”的三点应用关注圆锥曲线“定义”的三点应用 (1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根 据圆锥曲线定义，写出所求的轨迹方程 在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根 据圆锥曲线定义，写出所求的轨迹方程 (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成三角形问题时，常用 定义结合解三角形的知识来解决 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成三角形问题时，常用 定义结合解三角形的知识来解决 (3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把焦点的距离转化 为到准线的距离，结合几何图形，利

2、用几何意义去解决 在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把焦点的距离转化 为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决 2研究圆锥曲线几何性质的两个注意点研究圆锥曲线几何性质的两个注意点 (1)应把不是标准方程的化为标准方程形式；应把不是标准方程的化为标准方程形式； (2)有字母的注意分类讨论有字母的注意分类讨论 3.直线与圆锥曲线的位置关系易错点直线与圆锥曲线的位置关系易错点 (1)直线与圆锥曲线交点问题直线与圆锥曲线交点问题(或弦长问题或弦长问题)，易忽视直线的斜率是 否存在，以及 ，易忽视直线的斜率是 否存在，以及 是否大于是否大于 0. (2)中点弦问题使用“点差法” ，易忽视直线

3、存在的条件中点弦问题使用“点差法” ，易忽视直线存在的条件 专题专题 1 圆锥曲线定义的应用 圆锥曲线定义的应用 圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源” ，对于圆锥曲 线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识， “回归定义”是一 种重要的解题策略 圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源” ，对于圆锥曲 线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识， “回归定义”是一 种重要的解题策略 在高考试题中，有关圆锥曲线的问题很多都需要利用圆锥曲线的 定义求解在选择题、填空题中应用得更多一些 在高考试题中，有关圆锥曲线的问题很多都需要利用圆锥曲线的 定义求解在选择题、填空题中应用得更多

4、一些 例例 已知椭圆 已知椭圆y21(m1)和双曲线和双曲线y21(n0)有相同有相同 x2 m x2 n 的焦点的焦点 F1，F2，P 是它们的一个交点，则是它们的一个交点，则F1PF2的形状是的形状是( ) A锐角三角形锐角三角形 B直角三角形直角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D随随 m，n 变化而变化变化而变化 解析：解析：设设 P 为双曲线右支上的一点为双曲线右支上的一点 对椭圆对椭圆y21(m1)，c2m1， x2 m |PF1|PF2|2，m 对双曲线对双曲线y21，c2n1， x2 n |PF1|PF2|2，n 所以所以|PF1|，|PF2|，mnmn |F1F2|2(2c)2

5、2(mn)， 而而|PF1|2|PF2|22(mn)(2c)2|F1F2|2， 所以所以F1PF2是直角三角形，故选是直角三角形，故选 B. 答案：答案：B 归纳升华归纳升华 当题设出现两定点， 设为当题设出现两定点， 设为 A、 B， 要通过平面几何知识， 找出动点， 要通过平面几何知识， 找出动点 P 与它们的关系，即与它们的关系，即|PA|PB|为定值，还是为定值，还是|PA|PB|为定值，再根据 圆锥曲线定义解决问题 为定值，再根据 圆锥曲线定义解决问题 变式训练变式训练 设 设 F1， F2为曲线为曲线 C1： ： 1 的左， 右两个焦点，的左， 右两个焦点， P x2 6 y2 2

6、 是曲线是曲线 C2：y21 与与 C1的一个交点，则的一个交点，则PF1F2的面积为的面积为( ) x2 3 A2 B. C1 D.22 1 2 解析：解析：由椭圆由椭圆 C1与双曲线与双曲线 C2的标准方程可知，的标准方程可知， 两曲线的焦点相同两曲线的焦点相同 不妨设不妨设 P 点在双曲线点在双曲线 C2的右支上的右支上 由椭圆和双曲线的定义，可得由椭圆和双曲线的定义，可得 |PF1|PF2|2 6， |PF1|PF2|2 3，) 解得解得|PF 1| 6 3， |PF2| 6 3，) 又又|F1F2|24，62 由余弦定理得由余弦定理得 cosF1PF2|PF 1|2 |PF2|2|F

7、1F2|2 2|PF1|PF2| 0， （ 6 3）2（ 6 3）216 2（ 6 3）（ 6 3） 1 3 所以所以 sinF1PF2，1cos2F1PF2 2 3 2 所以所以 S PF1F2 |PF1|PF2|sin F1PF2. 1 2 2 答案：答案：B 专题专题 2 求圆锥曲线方程 求圆锥曲线方程 圆锥曲线的轨迹与方程是本章命题的重点，解决此类问题，一要圆锥曲线的轨迹与方程是本章命题的重点，解决此类问题，一要 准确理解圆锥曲线的定义，熟练掌握标准方程的特征；二要熟练掌握 求曲线方程的常用方法定义法与待定系数法 准确理解圆锥曲线的定义，熟练掌握标准方程的特征；二要熟练掌握 求曲线方程

8、的常用方法定义法与待定系数法 求曲线方程的一般步骤是“先定位，后定量” ， “定位”是指确定 焦点的位置及对称轴， “定量”是指确定参数的大小 求曲线方程的一般步骤是“先定位，后定量” ， “定位”是指确定 焦点的位置及对称轴， “定量”是指确定参数的大小 例例 2 已知中点在原点， 一焦点为 已知中点在原点， 一焦点为 F(0， 5)的椭圆被直线的椭圆被直线 l： y2 2 3x2 截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的标准方程截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的标准方程 1 1 2 2 解：解：由题意可设所求椭圆方程为由题意可设所求椭圆方程为1(ab0)， y2 2 a a2 2 x2 2

9、b b2 2 该椭圆与直线该椭圆与直线 l 交于两点交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由由1 及及 y3x2 得得 y y2 2 a a2 2 x x2 2 b b2 2 (a29b2)x212b2xb2(4a2)0. 则则 x1x2. 1 12 2b b2 2 a a2 29b2 2 由已知得 ，即由已知得 ，即1， x1 1x2 2 2 2 1 2 1 12 2b b2 2 a a2 29b2 2 所以所以 a23b2.又因为又因为 a2b2c250， 则则 a275，b225. 此时，方程根的判别式此时，方程根的判别式0， 方程有两实根方程有两实根 x1，x2，符合要求，符合

10、要求 故所求椭圆的方程为故所求椭圆的方程为1. x x2 2 2 25 5 y y2 2 7 75 5 归纳升华归纳升华 1当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可以设为一般形式： 椭圆方程为 当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可以设为一般形式： 椭圆方程为 Ax2By21(A0， B0， AB)； 双曲线方程为； 双曲线方程为 Ax2By2 1(AB0)；抛物线方程可设为；抛物线方程可设为 y22px(p0)或或 x22py(p0) 2与已知双曲线与已知双曲线1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可共渐近线的双曲线方程可 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 设为设为(0)；

11、 已知所求双曲线为等轴双曲线， 其方程可设为； 已知所求双曲线为等轴双曲线， 其方程可设为 x2 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 y2(0) 变式训练变式训练 已知双曲线与椭圆 已知双曲线与椭圆 x24y264 共焦点，它的一条渐 近线方程 共焦点，它的一条渐 近线方程 xy0，求双曲线的方程，求双曲线的方程3 3 解：解：法一：椭圆法一：椭圆 x24y264，即，即1，其焦点是，其焦点是(4，0) x x2 2 6 64 4 y y2 2 1 16 6 3 3 设双曲线方程为设双曲线方程为1(a0，b0)，其渐近线方程是，其渐近线方程是 y x. x x2 2 a a

12、2 2 y y2 2 b b2 2 b b a a 又因为双曲线的一条渐近线方程为又因为双曲线的一条渐近线方程为 xy0，所以，所以 .3 3 a a b b 3 3 又由又由 a2b2c248，解得，解得 a236，b212. 所以所以 所求双曲线方程为所求双曲线方程为1. x x2 2 3 36 y y2 2 1 12 2 法二：由双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为法二：由双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为 x x2 2 6 64 4 y y2 2 16 1(1664) 因为双曲线的一条渐近线方程为因为双曲线的一条渐近线方程为 xy0，3 3 即即 y x，所以，所以 ，所以 ，所以

13、28. 1 1 3 3 16 64 1 1 3 3 故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为1. x x2 2 3 36 6 y y2 2 1 12 2 专题专题 3 直线与圆锥曲线的关系 直线与圆锥曲线的关系 近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压 轴题的位置，且选择题、填空题也有涉及有关直线与圆锥曲线的位 置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往 利用数形结合的思想、设而不求的方法、对称的方法以及根与系数的 近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压 轴题的位置，且选择题、填空题也有涉及有关直线与圆锥曲线的位 置关系的题目可能会涉及线段中点、

14、弦长等，分析这类问题时，往往 利用数形结合的思想、设而不求的方法、对称的方法以及根与系数的 关系等关系等 例例 已知椭圆 已知椭圆 ax2by21 与直线与直线 xy10 相交于相交于 A， B 两 点，点 两 点，点 C 是弦是弦 AB 的中点，若的中点，若|AB|2，直线，直线 OC 的斜率为，求椭的斜率为，求椭2 2 2 圆的方程圆的方程 解 ：解 ： 方法一 ： 设点方法一 ： 设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则由题意得， 则由题意得 C. ( x1x2 2 ，y 1 y2 2 ) 又又 ax by 1，ax by 1. 2 12 12 22 2 两式相减，得两式相减

15、，得 a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0. 而而1，kOC， y1y2 x1x2 y1y2 x1x2 2 2 代入上式可得代入上式可得 ba.2 由消去由消去 y，得，得(ab)x22bxb10， ax2by21， xy10) 其中其中 x1，x2是方程是方程(ab)x22bxb10 的两个根，的两个根， 所以所以 x1x2，x1x2. 2b ab b1 ab 由已知条件，得由已知条件，得|AB|x2x1|x2x1|2，1k22 所以所以(x1x2)24x1x24， 所以所以44. ( 2b ab) 2 ( b1 ab) 将将 ba 代入上式，得代入上式，得 a ，所以 ，

16、所以 b，2 1 3 2 3 故椭圆的方程是故椭圆的方程是1. x2 3 2y 2 3 方法二：由得方法二：由得(ab)x22bxb10. ax2by21， xy1) 设点设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则 x1x2，x1x2， 2b ab b1 ab 所以所以|AB| （k1）（x1x2）2 2 4b24（ab）（b1） （ab）2 .2 4a4b4ab （ab）2 因为因为|AB|2，所以，所以 1.2 abab （ab）2 设点设点 C(x，y)，则，则 x，y1x. x1x2 2 b ab a ab 因为直线因为直线 OC 的斜率为，所以 ，即的斜率为，所以 ，即 ba.

17、 2 2 a b 2 2 2 代入，得代入，得 a ， ，b. 1 3 2 3 故椭圆的方程为故椭圆的方程为1. x2 3 2y 2 3 归纳升华归纳升华 (1)方法一是设点代入、作差，借助斜率解题的方法，即“点差法” 或“平方差法” ，它是解析几何中解决直线与圆锥曲线相交问题的常用 方法 方法一是设点代入、作差，借助斜率解题的方法，即“点差法” 或“平方差法” ，它是解析几何中解决直线与圆锥曲线相交问题的常用 方法(2)方法二是求圆锥曲线弦长问题的基本方法，利用弦长公式及 根与系数的关系进行综合解题比较简单 方法二是求圆锥曲线弦长问题的基本方法，利用弦长公式及 根与系数的关系进行综合解题比较

18、简单 变式训练变式训练 已知斜率为 已知斜率为 1 的直线的直线 l 过椭圆过椭圆y21 的右焦点，的右焦点， x x2 2 4 4 交椭圆于交椭圆于 A，B 两点，求弦两点，求弦 AB 的长的长 解：解：因为因为 a24，b21，所以，所以 c，a a2 2b2 23 3 所以右焦点的坐标为所以右焦点的坐标为(，0)，所以直线，所以直线 l 的方程为的方程为 yx.3 33 3 由消去由消去 y 并整理，得并整理，得 5x28x80. y yx 3， x x2 2 4 4 y2 21，) 3 3 设直线设直线 l 与椭圆的交点为与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则则 x1

19、x2，x1x2 ， ， 8 8 3 3 5 5 8 8 5 5 所以所以|AB| 1 1k2 2（ （x1 1x2 2） ）2 24x1 1x x2 2 2 2 ( 8 8 3 5) 2 4 8 5 ， ， 8 8 5 5 即弦即弦 AB 的长为的长为 . 8 8 5 5 专题专题 4 分类讨论思想 分类讨论思想 分类讨论思想是高中数学中解题的重要思想，解析几何中许多问 题都涉及分类讨论，如轨迹方程中轨迹类型的确定、最值问题、参数 问题等都可能遇到因为变量范围不同而结果不同的情形，因此要对变 量分类讨论，才能确定 分类讨论思想是高中数学中解题的重要思想，解析几何中许多问 题都涉及分类讨论，如轨

20、迹方程中轨迹类型的确定、最值问题、参数 问题等都可能遇到因为变量范围不同而结果不同的情形，因此要对变 量分类讨论，才能确定 在圆锥曲线的问题中，有很多由公式、运算等引起的分类讨 论分类的原则是标准一致、不重不漏 在圆锥曲线的问题中，有很多由公式、运算等引起的分类讨 论分类的原则是标准一致、不重不漏 例例 4 当 当 m1 时， 讨论方程时， 讨论方程 mx2(2m)y21 表示的曲线形状表示的曲线形状 解 ：解 ： (1)当当m0时， 方程表示焦点在时， 方程表示焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线1 ； y y2 2 1 1 2 2m x x2 2 1 m (2)当当m0时， 方程表示两条平行于

21、时， 方程表示两条平行于x轴的直线轴的直线y； (3)当当0m1 2 2 2 2 时，方程表示焦点在时，方程表示焦点在 x 轴上的椭圆轴上的椭圆1； (4)当当 m1 时，方程时，方程 x x2 2 1 m y y2 2 1 1 2 2m 表示圆表示圆 x2y21. 归纳升华归纳升华 在解决圆锥曲线问题时，常将某一对象划分为若干既有联系又有在解决圆锥曲线问题时，常将某一对象划分为若干既有联系又有 区别的部分，然后分别解决，从而达到解决问题的目的分类讨论思 想的应用主要表现在： 区别的部分，然后分别解决，从而达到解决问题的目的分类讨论思 想的应用主要表现在：(1)直线斜率存在或不存在引起的分类讨

22、论直线斜率存在或不存在引起的分类讨论(2) 曲线类型不确定引起的分类讨论曲线类型不确定引起的分类讨论(3)已知条件不确定引起的分类讨 论 已知条件不确定引起的分类讨 论(4)字母参数的不确定性引起的分类讨论等解决此类问题的关键 是“化整为零，各个击破” ，即将“整体问题”化为“部分问题” 字母参数的不确定性引起的分类讨论等解决此类问题的关键 是“化整为零，各个击破” ，即将“整体问题”化为“部分问题” 变式训练变式训练 设 设 F1，F2为椭圆为椭圆1 的两个焦点，的两个焦点，P 是椭圆是椭圆 x x2 2 9 9 y y2 2 4 4 上的一点， 已知上的一点， 已知P， F1， F2是一个

23、直角三角形的三个顶点， 且是一个直角三角形的三个顶点， 且|PF1|PF2|， 求的值 ， 求的值 |PF1 1| | | |P PF F2 2| | 解：解：由已知得由已知得|PF1|PF2|6，|F1F2|2，5 5 根据直角的不同位置，分两种情况：根据直角的不同位置，分两种情况： (1)若若 P 是直角顶点，则是直角顶点，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即即|PF1|2(6|PF1|)220， 化简得化简得|PF1|26|PF1|80，解得，解得|PF1|4 或或|PF1|2(舍舍) 所以所以 |PF2|642，得，得2. | |P PF F1 1| | | |P PF F2 2| | (2)若若 F2是直角顶点，则是直角顶点，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即，即|PF1|2(6 |PF1|)220，解得，解得|PF1|. 1 14 4 3 3 所以所以 |PF2|6 ，得 ，得 . 1 14 4 3 3 4 4 3 3 | |P PF F1 1| | | |P PF F2 2| 7 7 2 2