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1、课时跟踪练(五十六)课时跟踪练(五十六) A 组 基础巩固 1 设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、 右焦点，M是C上一点且MF2与x x2 a2 y2 b2 轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为 ，求C的离心率； 3 4 (2)若直线MN在y轴上的截距为 2，且|MN|5|F1N|，求a，b. 解：(1)根据c及题设知M， ，2b23ac.a2b2 (c， b2 a) b2 a 2c 3 4 将b2a2c2代入 2b23ac， 解得 ， 2(舍去) c a 1 2 c a 故C的离心率为 . 1 2 (2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴， 所
2、以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点， 故4，即b24a. b2 a 由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|. 设N(x1，y1)，由题意知y10，则 即 2（cx1）c， 2y12，) x13 2c， y11.) 代入C的方程，得1. 9c2 4a2 1 b2 将及c代入得1.a2b2 9（a24a） 4a2 1 4a 解得a7，b24a28，故a7，b2.7 2(2019郑州模拟)已知动圆E经过点F(1，0)，且和直线l：x1 相切 (1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程； (2)已知点A(3，0)，若斜率为 1 的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)， 且
3、与曲线G交于B、C两点，求ABC面积的最大值 解：(1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离，所以动点E的轨迹是 以F(1，0)为焦点，直线x1 为准线的抛物线， 故轨迹G的方程是y24x. (2)设直线l的方程为yxm，其中30) (1)证明：kb0)的一个焦点与上、下顶点 x2 a2 y2 b2 两两相连构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线xy20 相切 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点， 探究在x轴上 是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说EA EB 明理由 解：(1
4、)由题意知，解得 bc， a|002| 2 ， b2c2a2， ) a 2， b1， c1，) 则椭圆C的标准方程为y21. x2 2 (2)当直线的斜率存在时，设直线方程为yk(x1)(k0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)， 联立直线方程与椭圆方程得消去y得(12k2)x24k2x2k220， x2 2 y21， yk（x1），) 8k280， 所以xAxB，xAxB. 4k2 12k2 2k22 12k2 假设在x轴上存在定点E(x0，0)，使得为定值EA EB 则(xAx0，yA)(xBx0，yB)xAxBx0(xAxB)xyAyBxAxBx0(xAxB)EA EB 2 0 xk2
5、(xA1)(xB1) 2 0 (1k2)xAxB(x0k2)(xAxB)xk2 2 0 . （2x4x01）k2（x2） 12k2 因为为定值，所以的值与k无关，EA EB EA EB 所以 2x4x012(x2)， 2 02 0 解得x0 ，此时为定值，定点为， 5 4 EA EB 7 16( 5 4，0) 当直线的斜率不存在时，也满足为定值，且定点为.EA EB 7 16( 5 4，0) 综上，存在点E，使得为定值，且定值为. ( 5 4，0) EA EB 7 16 5(2019石家庄质检)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A，B， x2 a2 y2 b2 且长轴长为 8，T为椭圆
6、上一点，直线TA，TB的斜率之积为 . 3 4 (1)求椭圆C的方程； (2)设O为原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求的OP OQ MP MQ 取值范围 解：(1)设T(x，y)，则直线TA的斜率为k1， y x4 直线TB的斜率为k2. y x4 于是由k1k2 ，得 ， 3 4 y x4 y x4 3 4 整理得1. x2 16 y2 12 (2)当直线PQ的斜率存在时， 设直线PQ的方程为ykx2， 点P，Q的坐标分别为(x1，y1)， (x2，y2)， 联立直线PQ的方程与椭圆方程得消去y得(4k23)x216kx320， x2 16 y2 121， ykx2，)
7、 所以x1x2，x1x2. 16k 4k23 32 4k23 从而，x1x2y1y2x1x2(y12)(y22)2(1k2)x1x22k(x1OP OQ MP MQ x2)420. 80k252 4k23 8 4k23 所以20.OP OQ MP MQ 52 3 当直线PQ斜率不存在时， 易得P，Q两点的坐标为(0，2)，(0，2)，33 所以的值为20.OP OQ MP MQ 综上所述，的取值范围为.OP OQ MP MQ 20， 52 3 6 (2019陕西质检)已知F1，F2为椭圆E：1(ab0)的左、 右焦点， 点P x2 a2 y2 b2(1， 3 2) 在椭圆上，且|PF1|PF2
8、|4. (1)求椭圆E的方程； (2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1l2，问是否存在常数， 使得，成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由 1 |AC| 1 |BD| 解：(1)因为|PF1|PF2|4，所以 2a4，a2. 所以椭圆E的方程为1. x2 4 y2 b2 将P代入可得b23， (1， 3 2) 所以椭圆E的方程为1. x2 4 y2 3 (2)存在当AC的斜率为零或斜率不存在时， ； 1 |AC| 1 |BD| 1 3 1 4 7 12 当AC的斜率k存在且k0 时， 设AC的方程为yk(x1)， 代入椭圆方程1，并化简得 x2 4 y2 3 (34k2)x28k2x4k2120. 设A(x1，y1)，C(x2，y2)， 则x1x2，x1x2， 8k2 34k2 4k212 34k2 |AC|x1x2|1k2 .（1k2）（x1x2）24x1x2 12（1k2） 34k2 同理，因为直线BD的斜率为 ， 1 k 所以|BD|. 121(1 k) 2 34(1 k) 2 12（1k2） 3k24 所以. 1 |AC| 1 |BD| 34k2 12（1k2） 3k24 12（1k2） 7 12 综上，2， 1 |AC| 1 |BD| 7 12 所以. 7 24 所以存在常数，使得，成等差数列 7 24 1 |AC| 1 |BD|