2020届高考数学（文科）总复习课时跟踪练：（五十五）圆锥曲线的综合问题 Word版含解析.pdf

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1、课时跟踪练课时跟踪练(五十五五十五) A 组 基础巩固组 基础巩固 1 若抛物线 若抛物线 y22px 的焦点与椭圆 的焦点与椭圆 1 的右焦点重合， 则的右焦点重合， 则 p x2 6 y2 2 的值为的值为( ) A2 B2 C4 D4 解析：解析：因为椭圆 因为椭圆 1 的右焦点为的右焦点为(2，0)， x2 6 y2 2 所以抛物线所以抛物线 y22px 的焦点为的焦点为(2，0)，则，则 p4. 答案：答案：D 2已知直线已知直线 y2(x1)与抛物线与抛物线 C：y24x 交于交于 A，B 两点，两点，2 点点 M(1，m)，若，若0，则，则 m( ) MA MB A. B.2 2

2、 2 C. D0 1 2 解析：解析：由得由得 A(2，2)，B. y2 2（x1）， y24x，) 2 ( 1 2， ， 2) 又因为又因为 M(1，m)且且0， MA MB 所以所以 2m22m10，解得，解得 m.2 2 2 答案：答案：B 3(2019聊城模拟聊城模拟)已知直线已知直线 l 与抛物线与抛物线 C： y24x 相交于相交于 A，B 两点，若线段两点，若线段 AB 的中点为的中点为(2，1)，则直线，则直线 l 的方程为的方程为( ) Ayx1 By2x5 Cyx3 Dy2x3 解析：解析：设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有，则有y 4x1， y4x2， ) 得

3、得 y y 4(x1x2)， 由题可知， 由题可知 x1x2.所以所以 2 12 2 y1y2 x1x2 4 y1y2 2， 4 2 即即 kAB2，所以直线，所以直线 l 的方程为的方程为 y12(x2)，即，即 2xy30. 故选故选 D. 答案：答案：D 4 已知双曲线 已知双曲线1(a0， b0)的一条渐近线过点的一条渐近线过点(2，)， x2 a2 y2 b2 3 且双曲线的一个焦点在抛物线且双曲线的一个焦点在抛物线 y24x 的准线上，则双曲线的方程的准线上，则双曲线的方程7 为为( ) A.1 B.1 x2 21 y2 28 x2 28 y2 21 C. 1 D. 1 x2 3

4、y2 4 x2 4 y2 3 解析：解析：由题意知点由题意知点(2，)在渐近线在渐近线 y x 上，所以 ，又因上，所以 ，又因3 b a b a 3 2 为抛物线的准线为为抛物线的准线为 x， 所以， 所以 c， 故， 故 a2b27， 所以， 所以 a2， b77 .故双曲线的方程为 故双曲线的方程为 1.3 x2 4 y2 3 答案：答案：D 5 已知抛物线 已知抛物线 y22px 的焦点的焦点 F 与椭圆与椭圆 16x225y2400 的左焦 点重合，抛物线的准线与 的左焦 点重合，抛物线的准线与 x 轴的交点为轴的交点为 K，点，点 A 在抛物线上且在抛物线上且|AK| |AF|，则

5、点，则点 A 的横坐标为的横坐标为( )2 A2 B2 C3 D3 解析：解析：16x225y2400 可化为可化为1， x2 25 y2 16 则椭圆的左焦点为则椭圆的左焦点为 F(3，0)， 又抛物线又抛物线 y22px 的焦点为，的焦点为， ( p 2， ，0) 准线为准线为 x ，所以 ，所以 3，即，即 p6， p 2 p 2 即即 y212x，K(3，0) 设设 A(x，y)，则由，则由|AK|AF|得得2 (x3)2y22(x3)2y2，即，即 x218x9y20， 又又 y212x，所以，所以 x26x90，解得，解得 x3. 答案：答案：D 6已知抛物线已知抛物线 y24x

6、的弦的弦 AB 的中点的横坐标为的中点的横坐标为 2，焦点为，焦点为 F， 则 ， 则|AB|的最大值为的最大值为_ 解析：解析：设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则 x1x24， 那么那么|AF|BF|x1x22， 又又|AF|BF|AB|AB|6，当，当 AB 过焦点过焦点 F 时取得最大值时取得最大值 6. 答案：答案：6 7(2019福建四地六校模拟福建四地六校模拟)过椭圆 过椭圆 1 内一点内一点 P(3，1)， x2 16 y2 4 且被这点平分的弦所在直线的方程是且被这点平分的弦所在直线的方程是_ 解析：解析：设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x

7、2，y2)两点，两点， 由于由于 A，B 两点均在椭圆上，两点均在椭圆上， 故 故 1， ， 1， x 16 y 4 x 16 y 4 两式相减得两式相减得 0. （x1x2）（x1x2） 16 （y1y2）（y1y2） 4 又因为又因为 P 是是 A，B 的中点，所以的中点，所以 x1x26，y1y22， 所以所以 kAB . y1y2 x1x2 3 4 所以直线所以直线 AB 的方程为的方程为 y1 (x3) 3 4 即即 3x4y130. 答案：答案：3x4y130 8已知椭圆已知椭圆1(0b0， x2 a2 y2 b2 由题意可得由题意可得 c，又椭圆的离心率为，得，又椭圆的离心率为，

8、得 a2.2 2 2 所以所以 b2a2c22， 所以椭圆的标准方程为 所以椭圆的标准方程为 1. x2 4 y2 2 (2)设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由由2得得 AP PB x12x2， 1y12（y21）.) 设直线方程为设直线方程为 ykx1，代入椭圆方程整理，代入椭圆方程整理， 得得(2k21)x24kx20， 所以所以 x1x2，x1x2. 4k 2k21 2 2k21 由由 x12x2代入上式可得代入上式可得. ( 4k 2k21) 2 1 2k21 所以所以 k2. 1 14 所以所以AOB 的面积的面积 S |OP|x1x2| . 1 2 1 2 2 8k2

9、2 2k21 126 8 10(2019沈阳模拟沈阳模拟)设设 O 为坐标原点，动点为坐标原点，动点 M 在椭圆 在椭圆 1 x2 9 y2 4 上，过上，过 M 作作 x 轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为 N，点，点 P 满足满足 . NP 2 NM (1)求点求点 P 的轨迹方程的轨迹方程 E； (2)过过 F(1，0)的直线的直线 l1与点与点 P 的轨迹交于的轨迹交于 A、B 两点，过两点，过 F(1，0) 作与作与 l1垂直的直线垂直的直线 l2与点与点 P 的轨迹交于的轨迹交于 C、 D 两点， 求证 ：两点， 求证 ： 1 |AB| 1 |CD| 为定值为定值 (1)解：解：设设

10、 P(x，y)，则，则 N(x，0)，(0，y)， NP 又因为又因为 ，所以，所以 M， NM 1 2 NP (0， ， y 2)(x， ， 1 2y) 由点由点 M 在椭圆上，得在椭圆上，得1，即 ，即 1. x2 9( y 2 2 ) 2 x2 9 y2 8 即点即点 P 的轨迹方程的轨迹方程 E 为 为 1. x2 9 y2 8 (2)证明：证明：当当 l1与与 x 轴重合时，轴重合时，|AB|6，|CD|， 16 3 所以所以. 1 |AB| 1 |CD| 17 48 当当 l1与与 x 轴垂直时，轴垂直时，|AB|，|CD|6， 16 3 所以所以. 1 |AB| 1 |CD| 1

11、7 48 当当 l1与与 x 轴不垂直也不重合时，可设轴不垂直也不重合时，可设 l1的方程为的方程为 yk(x1)(k 0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则则 l2的方程为的方程为 y (x1) 1 k 联立得消去联立得消去 y， yk（x1）， x2 9 y 2 8 1， ) 得得(89k)x218k2x9k2720， 则则 x1x2，x1x2， 18k2 89k2 9k272 89k2 所以所以|AB|，1k2（x1x2）24x1x2 48（1k2） 89k2 同理可得同理可得|CD|， 48（1k2） 98k2 所以，为定值所以，为定值 1 |AB| 1 |CD| 89k2 4

12、8（k21） 98k2 48（k21） 17 48 综上，为定值综上，为定值 1 |AB| 1 |CD| B 组 素养提升组 素养提升 11(2019福州模拟福州模拟)已知抛物线已知抛物线 E：y22px(p0)的焦点为的焦点为 F， 过过 F 且斜率为且斜率为 1 的直线交的直线交 E 于于 A，B 两点，线段两点，线段 AB 的中点为的中点为 M， 线段 ， 线段 AB 的垂直平分线交的垂直平分线交 x 轴于点轴于点 C，MNy 轴于点轴于点 N，若四边形，若四边形 CMNF 的面积等于的面积等于 7，则，则 E 的方程为的方程为( ) Ay2x By22x Cy24x Dy28x 解析：

13、解析：由题意可得由题意可得 F，直线，直线 AB 的方程为的方程为 yx . ( p 2， ，0) p 2 联立得方程组可得联立得方程组可得 x23px0， y22px， yxp 2， ，) p2 4 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则 x1x23p， 则则 y1y2x1x2p2p， 所以所以 M， ( 3p 2 ，p) 所以所以 N(0，p)，直线，直线 MC 的方程为的方程为 yx. 5p 2 所以所以 C， ( 5p 2 ，0) 所以四边形所以四边形 CMNF 的面积为的面积为 S梯形 梯形 OCMN S ONF p7，又，又 p0， ( 3p 2 5p 2)p 2 1 2

14、 p 2 7p2 4 所以所以 p2，即抛物线，即抛物线 E 的方程为的方程为 y24x.故选故选 C. 答案：答案：C 12(2019十堰模拟十堰模拟)如图，如图，F1、F2是双曲线是双曲线 C：1(a0， x2 a2 y2 b2 b0)的左、右焦点，过的左、右焦点，过 F1的直线的直线 l 与与 C 的两个分支分别交于点的两个分支分别交于点 A、B. 若若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A4 B. 7 C. D. 2 3 3 3 解析：解析：因为因为ABF2为等边三角形，为等边三角形， 所以所以|AB|AF2|BF2|，F1AF260. 由双

15、曲线的定义可得由双曲线的定义可得|AF1|AF2|2a，所以，所以|BF1|2a.又又|BF2| |BF1|2a，所以，所以|BF2|4a. 所以所以|AF2|4a，|AF1|6a. 在 在 AF1F2中 ， 由 余 弦 定 理 可 得中 ， 由 余 弦 定 理 可 得 |F1F2|2 |AF1|2 |AF2|2 2|AF2|AF1|cos 60， 所以所以(2c)2(6a)2(4a)224a6a ， 即 ， 即 c27a2， 所以， 所以 e 1 2 c a .故选故选 B. c2 a2 7 答案：答案：B 13 (2019深圳模拟深圳模拟)设过抛物线设过抛物线 y22px(p0)上任意一点

16、上任意一点 P(异于 原点 异于 原点 O)的直线与抛物线的直线与抛物线 y28px(p0)交于交于 A，B 两点，直线两点，直线 OP 与抛 物线 与抛 物线 y28px(p0)的另一个交点为的另一个交点为 Q，则，则_ S ABQ S ABO 解析：解析：设直线设直线 OP 的方程为的方程为 ykx(k0)， 联立解得联立解得 P， ykx， y22px，)( 2p k2， ，2p k) 联立解得联立解得 Q， ykx， y28px，)( 8p k2， ，8p k) 所以所以|OP|， |PQ|， 4p2 k4 4p 2 k2 2p 1 k2 k2 36p2 k4 36p 2 k2 6p

17、1 k2 k2 所以所以3. S ABQ S ABO |PQ| |OP| 答案：答案：3 14 一题多解一题多解(2019广州综合测试广州综合测试)已知定点已知定点 F(0， 1)， 定直线， 定直线 l： y 1，动圆，动圆 M 过点过点 F，且与直线，且与直线 l 相切相切 (1)求动圆求动圆 M 的圆心轨迹的圆心轨迹 C 的方程；的方程； (2)过点过点 F 的直线与曲线的直线与曲线 C 相交于相交于 A，B 两点，分别过点两点，分别过点 A，B 作曲线作曲线 C 的切线的切线 l1，l2，两条切线相交于点，两条切线相交于点 P，求，求PAB 外接圆面积 的最小值 外接圆面积 的最小值

18、解：解：(1)法一 设圆心法一 设圆心 M 到直线到直线 l 的距离为的距离为 d， 由题意由题意|MF|d. 设圆心设圆心 M(x，y)，则有，则有|y1|.x2（y1）2 化简得化简得 x24y. 所以点所以点 M 的轨迹的轨迹 C 的方程为的方程为 x24y. 法二 设圆心法二 设圆心 M 到直线到直线 l 的距离为的距离为 d， 由题意由题意|MF|d. 根据抛物线的定义可知，点根据抛物线的定义可知，点 M 的轨迹为抛物线，的轨迹为抛物线， 焦点为焦点为 F(0，1)，准线为，准线为 y1. 所以点所以点 M 的轨迹的轨迹 C 的方程为的方程为 x24y. (2)法一 设法一 设 lA

19、B：ykx1， 代入代入 x24y 中，得中，得 x24kx40. 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则则 x1x24k，x1x24. 所以所以|AB|x1x2|4(k21)1k2 因为曲线因为曲线 C：x24y，即，即 y，所以，所以 y . x2 4 x 2 所以直线所以直线 l1的斜率为的斜率为 k1， x1 2 直线直线 l2的斜率为的斜率为 k2. x2 2 因为因为 k1k21， x1x2 4 所以所以 PAPB，即，即PAB 为直角三角形为直角三角形 所以所以PAB 的外接圆的圆心为线段的外接圆的圆心为线段 AB 的中点， 线段的中点， 线段 AB 是外接 圆的直径 是

20、外接 圆的直径 因为因为|AB|4(k21)，所以当，所以当 k0 时，线段时，线段 AB 最短，最短长度 为 最短，最短长度 为 4，此时圆的面积最小，最小面积为，此时圆的面积最小，最小面积为 4. 法二 设法二 设 lAB：ykx1， 代入代入 x24y 中，得中，得 x24kx40. 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则则 x1x24k，x1x24. 所以所以|AB|x1x2|4(k21)1k2 因为曲线因为曲线 C：x24y，即，即 y，所以，所以 y . x2 4 x 2 所以直线所以直线 l1的方程为的方程为 yy1(xx1)， x1 2 即即 yx . x1 2 x 4

21、 同理可得直线同理可得直线 l2的方程为的方程为 yx . x2 2 x 4 联立，解得即联立，解得即 P(2k，1) xx 1 x2 2 ， yx 1x2 4 ，) 因为因为(x12k，y11)(x22k，y21)x1x22k(x1x2) PA PB 4k2y1y2(y1y2)10， 所以所以 PAPB，即，即PAB 为直角三角形为直角三角形 所以所以PAB 的外接圆的圆心为线段的外接圆的圆心为线段 AB 的中点， 线段的中点， 线段 AB 是外接 圆的直径 是外接 圆的直径 因为因为|AB|4(k21)，所以当，所以当 k0 时，线段时，线段 AB 最短，最短长度 为 最短，最短长度 为

22、4，此时圆的面积最小，最小面积为，此时圆的面积最小，最小面积为 4. 法三 设法三 设 lAB：ykx1，由对称性不妨设点，由对称性不妨设点 A 在在 y 轴的左侧，轴的左侧， 代入代入 x24y 中，得中，得 x24kx40. 解得解得 A(2k2，2k22k1)，k21k21 B(2k2，2k22k1)k21k21 所以所以|AB|4(k21) 因为曲线因为曲线 C：x24y，即，即 y，所以，所以 y . x2 4 x 2 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以直线所以直线 l1的方程为的方程为 yy1(xx1)， x1 2 即即 yx . x1 2 x 4 同理可得直线同理可

23、得直线 l2的方程为的方程为 yx . x2 2 x 4 联立，解得即联立，解得即 P(2k，1) xx 1 x2 2 ， yx 1x2 4 ，) 因为因为 AB 的中点的中点 M 的坐标为的坐标为(2k，2k21)， 所以所以 AB 的中垂线方程为的中垂线方程为 y(2k21) (x2k)， 1 k 因为因为 PA 的中垂线方程为的中垂线方程为 y(k2k)(k)x(2kk21k21 )，k21 联立上述两个方程，解得其交点坐标为联立上述两个方程，解得其交点坐标为 N(2k，2k21) 因为点因为点 M，N 的坐标相同，的坐标相同， 所以所以 AB 的中点的中点 M 为为PAB 的外接圆的圆心的外接圆的圆心 所以所以PAB 是直角三角形，且是直角三角形，且 PAPB. 所以线段所以线段 AB 是是PAB 外接圆的直径外接圆的直径 因为因为|AB|4(k21)， 所以当所以当 k0 时，线段时，线段 AB 最短，最短长度为最短，最短长度为 4，此时圆的面积 最小，最小面积为 ，此时圆的面积 最小，最小面积为 4.