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1、第七节 抛 物 线 2019 考纲考题考情 1抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)的距离相等的点的 轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的 准线。 2抛物线的标准方程与几何性质 注：抛物线上 P 点坐标为(x0，y0)。 抛物线焦点弦的 4 个常用结论 设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则 (1)x1x2，y1y2p2。 p2 4 (2)弦长|AB|x1x2p( 为弦 AB 的倾斜角)。 2p sin2 (3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切。 (4)过焦点垂直于对称轴的弦长等于
2、2p(通径)。 一、走进教材 1 (选修 11P63练习 T1改编)过点 P(2,3)的抛物线的标准 方程是( ) Ay2 x 或 x2 y 9 2 4 3 By2 x 或 x2 y 9 2 4 3 Cy2 x 或 x2 y 9 2 4 3 Dy2 x 或 x2 y 9 2 4 3 解析 设抛物线的标准方程为y2kx或x2my， 代入点P( 2,3)，解得 k ，m ，所以 y2 x 或 x2 y。故选 A。 9 2 4 3 9 2 4 3 答案 A 2(选修 11P64A 组 T3改编)抛物线 y28x 上到其焦点 F 距离为 5 的点 P 有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D4 个
3、解析 设 P(x1， y1)， 则|PF|x125， y 8x1， 所以 x13， y1 2 1 2。故满足条件的点 P 有两个。故选 C。6 答案 C 二、走近高考 3(2018北京高考)已知直线 l 过点(1,0)且垂直于 x 轴。若 l 被抛物线 y24ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为 _。 解析 由题意知， 直线l的方程为x1且a0， 对于y24ax， 当 x1 时， y2， 由于 l 被抛物线 y24ax 截得的线段长为 4，a 所以 44，所以 a1，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)。a 答案 (1,0) 4(2017天津高考)设抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为
4、 l。 已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A。 若FAC120，则圆的方程为_。 解析 由抛物线的方程可知 F(1,0)，准线方程为 x1，设 点 C(1， t)， t0， 则圆 C 的方程为(x1)2(yt)21， 因为FAC 120，CAy 轴，所以OAF30，在AOF 中，OF1， 所以 OA，即 t，故圆 C 的方程为(x1)2(y)21。333 答案 (x1)2(y)213 三、走出误区 微提醒：忽视 p 的几何意义；忽视 k0 的讨论；易 忽视焦点的位置出现错误。 5已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点，且顶 点在原点，则抛物线 C
5、 的方程是( ) Ay22x By22x2 Cy24x Dy24x2 解析 由已知可知双曲线的焦点为(，0)，(，0)。设22 抛物线方程为 y22px(p0)，则 ，所以 p2，所以抛 p 2 22 物线方程为 y24x。故选 D。2 答案 D 6设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直 线 l 与抛物线有公共点， 则直线 l 的斜率的取值范围是_。 解析 Q(2,0)，当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意， 故设直线 l 的方程为 yk(x2)，代入抛物线方程，消去 y 整理 得 k2x2(4k28)x4k20，当 k0 时，l 与抛物线有公共点； 当 k0 时，
6、64(1k2)0 得1k0)上的点 P(x0， y0)到焦点 F 的距离|PF|x0 ， 在 y22x 中， p1， 所以|P1F| p 2 |P2F|P10F|x1x2x105p10。 答案 (1)A (2)10 考点二 抛物线的标准方程 【例 2】 如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A， B， 交其准线于点 C， 若|BC|2|BF|， 且|AF|3， 则此抛物线的方程为( ) Ay29x By26x Cy23x Dy2x3 解析 如图， 过点 A， B 分别作准线的垂线， 交准线于点 E， D， 设|BF|a，则由已知得|BC|2a，由抛物线定义得|
7、BD|a，故 BCD30， 在直角三角形 ACE 中， 因为|AE|AF|3， |AC|3 3a,2|AE|AC|，所以 33a6，从而得 a1，|FC|3a3，所 以 p|FG| |FC| ，因此抛物线的方程为 y23x，故选 C。 1 2 3 2 答案 C 求抛物线的标准方程应注意以下几点 1当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程 属于四种类型中的哪一种。 2要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之 间的对应关系。 3要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它 的几何意义来解决问题。 【 变 式 训 练 】 (1)(2019湖 北 联 考 )已 知 抛 物 线
8、y2 2px(p0)，点 C(4,0)，过抛物线的焦点作垂直于 x 轴的直线， 与抛物线交于 A，B 两点，若CAB 的面积为 24，则以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程是( ) Ay24x By24x Cy28x Dy28x (2)已知双曲线 C1：1(a0， b0)的离心率为 2， 若抛 x2 a2 y2 b2 物线 C2：x22py(p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2， 则抛物线 C2的方程是( ) Ax216y Bx28y Cx2y Dx2y 8 3 3 16 3 3 解析 (1)因为 ABx 轴， 且 AB 过点 F， 所以 AB 是焦点弦， 且|AB|2p，所以 S
9、CAB 2p24，解得 p4 或 1 2 ( p 24) 12(舍)，所以抛物线方程为 y28x，所以直线 AB 的方程为 x2， 所以以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程为 y28x。 故选 D。 (2)因为双曲线 C1：1(a0， b0)的离心率为 2， 所以 x2 a2 y2 b2 c a 2。因为双曲线的渐近线方程为 bxay0，抛物线 C2：x2 2py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为 2， 所以 ( 0，p 2) | ap 2| a2b2 2，解得 p8，所以抛物线 C2的方程是 x216y。 p 2 a c p 4 答案 (1)D (2)A 考点三 抛物线的几何性质 【例
10、 3】 (2019山西八校联考)抛物线 y22px(p0)的焦点 为 F，点 N 在 x 轴上且在点 F 的右侧，线段 FN 的垂直平分线 l 与抛物线在第一象限的交点为 M， 直线 MN 的倾斜角为 135， O 为坐标原点，则直线 OM 的斜率为( ) A22 B2122 C1 D3422 解析 设点 M(m0)，因为点 M 在 FN 的垂直平分线 ( m2 2p，m) 上且点 N 在焦点 F 的右侧，所以 N，又 MN 的倾斜 ( 2m2p2 2p ，0) 角为 135， 所以 kMN1， 解得 m(1)p， 所以点 M 2pm p2m2 2 ， 所以直线 OM 的斜率为22。 ( 32
11、 2 2 p， 21p) 2 21 32 2 2 故选 A。 解析：如图，设直线 L 为抛物线的准线，过点 M 向准线引 垂线，垂足为 A，交 y 轴于点 B，设|MF|t，因为点 M 在 FN 的 垂直平分线上， 且直线 MN 的倾斜角为 135， 所以直线 MF 的倾 斜角为45， 由抛物线的定义得t|MA|pt， 即t(2 2 2 2p 21 )p，所以|OB|t(1)p，|BM|t ，设2 2 2 2 p 2 32 2 p 2 直线OM的倾斜角为， 则OMB， 所以直线OM的斜率为tan 22。故选 A。 |OB| |MB| 2 21 32 2 2 答案 A 解析几何的核心思想是数形结
12、合思想，如本题中：点在抛物 线上即点的坐标满足方程，直线的斜率是倾斜角的正切值，线段 垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 【变式训练】 如图， 抛物线 W： y24x 与圆 C： (x1)2y225 交于 A， B 两点，点 P 为劣弧上不同于 A，B 的一个动点，与 x 轴平行的 AB 直线PQ交抛物线W于点Q， 则PQC的周长的取值范围是( ) A(10,12) B(12,14) C(10,14) D(9,11) 解析 由题意得， 抛物线 W 的准线l： x1， 焦点为 C(1,0)， 由抛物线的定义可得|QC|xQ1，圆(x1)2y225 的圆心为 (1,0)， 半径为 5， 故
13、PQC 的周长为|QC|PQ|PC|xQ1(xP xQ)56xP。 联立， 得Error!Error!得A(4,4)， 则xP(4,6)， 故6xP (10,12)，故PQC 的周长的取值范围是(10,12)。故选 A。 解析 ： 平移直线 PQ， 当点 A 在直线 PQ 上时， 属于临界状态， 此时结合|CA|5 可知PQC 的周长趋于 2510；当直线 PQ 与 x 轴重合时，属于临界状态，此时结合圆心坐标(1,0)及圆的半 径为 5 可知PQC 的周长趋于 2(15)12。综上，PQC 的 周长的取值范围是(10,12)。故选 A。 答案 A 考点四 直线与抛物线的位置关系 【例 4】
14、(2018全国卷)设抛物线 C： y24x 的焦点为 F， 过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8。 (1)求 l 的方程； (2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程。 解 (1)由题意得 F(1,0)，l 的方程为 yk(x1)(k0)。 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)。 由Error!Error!得 k2x2(2k24)xk20。 16k2160，故 x1x2。 2k24 k2 所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)。 4k24 k2 由题设知8，解得 k1(舍去)，k1。 4k24 k2 因此 l 的方程为 yx1。 (2
15、)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方 程为 y2(x3)，即 yx5。 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 Error!Error! 解得Error!Error!或Error!Error! 因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y 6)2144。 (1)有关直线与抛物线的弦长问题， 要注意直线是否过抛物线 的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2| p(或|AB|y1y2|p)， 若不过焦点， 则必须使用一般的弦长公式 ； (2)求圆的方程主要是确定圆心坐标与半径；(3)涉及直线与圆相 交所得弦长问题通常是利用公式 L
16、2来求解， 其中 R 为R2d2 圆的半径，d 为圆心到直线的距离。 【变式训练】 (2019潍坊市统一考试)已知抛物线 y24x 与直线 2xy30 相交于 A， B 两点， O 为坐标原点， 设 OA， OB 的斜率分别为 k1，k2，则 的值为( ) 1 k1 1 k2 A B 1 4 1 2 C D 1 4 1 2 解析 设 A，B，易知 y1y20，则 k1 ，k2 ( y2 1 4 ，y1) ( y2 2 4 ，y2) 4 y1 ， 所以 ， 将 x代入 y24x， 得 y22y60， 4 y2 1 k1 1 k2 y1y2 4 y3 2 所以 y1y22， 。故选 D。 1 k1
17、 1 k2 1 2 答案 D Error!Error! 1(配合例 1 使用)设抛物线 y22x 的焦点为 F，过 F 的直 线交该抛物线于 A，B 两点，则|AF|4|BF|的最小值为_。 解析 易知抛物线 y22x 的焦点为 F。 当 ABx 轴时， ( 1 2，0) |AF|4|BF|145；当直线 AB 斜率存在时，可设直线 AB 的 方程为 yk，代入抛物线方程得 4k2x2(4k28)xk20， ( x1 2) 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1x21 ， x1x2 ， 所以|AF|4|BF|x1 2 k2 1 4 4x14x2 2 ， 当且仅当 x14x21
18、， 1 2 ( x21 2) 5 2 4x1x2 5 2 9 2 即 x11，x2 时，|AF|4|BF|取得最小值 。 1 4 9 2 答案 9 2 2(配合例 2 使用)已知抛物线 E：y22px(p0)的焦点为 F， 过 F 且斜率为 1 的直线交 E 于 A， B 两点， 线段 AB 的中点为 M， 其垂直平分线交 x 轴于点 C，MNy 轴于点 N。若四边形 CMNF 的面积等于 7，则抛物线 E 的方程为( ) Ay2x By22x Cy24x Dy28x 解析 由题意，得 F，直线 AB 的方程为 yx ，设 ( p 2，0) p 2 A(x1， y1)， B(x2， y2)，
19、M(x0， y0)， 联立 yx 和 y22px 得， y22py p 2 p20，则 y1y22p，所以 y0p。故 N(0，p)，又因为 y1y2 2 点 M 在直线 AB 上，所以 x0，即 M，因为 MCAB， 3p 2 ( 3p 2 ，p) 所以kABkMC1， 故kMC1， 从而直线MC的方程为yx p， 令 y0， 得 x p， 故 C， 四边形 CMNF 是梯形， 则 S 5 2 5 2 ( 5p 2 ，0) 四边形 CMNF (|MN|CF|)|NO| p p27，所以 p2 1 2 1 2( 3 2p2p) 7 4 4，又 p0，所以 p2，故抛物线 E 的方程为 y24x
20、。故选 C。 答案 C 3 (配合例3使用)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C： y2 8x 相交于 A， B 两点， F 为 C 的焦点。 若|FA|2|FB|， 则 k( ) A B 1 3 2 3 C D 2 3 2 2 3 解析 设抛物线 C：y28x 的准线为 l，易知 l：x2，直 线 yk(x2)恒过定点 P(2,0)，如图，过 A，B 分别作 AMl 于点 M，BNl 于点 N，由|FA|2|FB|，知|AM|2|BN|，所以点 B 为线段 AP 的中点，连接 OB，则|OB| |AF|，所以|OB|BF|， 1 2 所以点 B 的横坐标为 1，因为 k0，所以点 B 的坐标为(1,2)，2 所以 k。故选 D。 2 20 12 2 2 3 答案 D