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1、第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 2019 考纲考题考情 1命题 (1)命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命 题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命 题。 (2)四种命题及相互关系 (3)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题互为逆命题或互为否命题， 它们的真假性没有关 系。 2充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件pq 且 qDp / p 是 q 的必要不充分条件pDq 且 qp / p 是 q 的充要条件pq p 是
2、 q 的既不充分也不必要条件pDq 且 qDp / / 1 否命题与命题的否定 ： 否命题是既否定条件， 又否定结论， 而命题的否定是只否定命题的结论。 2区别 A 是 B 的充分不必要条件(AB 且 BD/A)，与 A 的充分不必要条件是 B(BA 且 AD/B)两者的不同。 3A 是 B 的充分不必要条件綈 B 是綈 A 的充分不必要条 件。 4充要关系与集合的子集之间的关系，设 Ax|p(x)，B x|q(x)， (1)若 AB，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。 (2)若 AB， 则 p 是 q 的充分不必要条件， q 是 p 的必要不充 分条件。 (3)若 AB，则
3、 p 是 q 的充要条件。 一、走进教材 1(选修 11P8A 组 T2改编)命题“若 x2y2，则 xy”的逆 否命题是( ) A“若 xy，则 x2y2” C“若 xy，则 x2y2”D“若 xy，则 x2y2” 解析 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题 “若 x2y2，则 xy”的逆否命题是“若 xy，则 x2y2” 。故选 C。 答案 C 2 (选修 11P10练习 T3(2)改编)“(x1)(x2)0” 是 “x1” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析 若 x1， 则(x1)(x2)0 显然成立， 但反之不成立， 即若(x1
4、)(x2)0，则 x 的值也可能为2。故选 B。 答案 B 二、走近高考 3(2018天津高考)设 xR，则“x38”是“|x|2”的( ) A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析 由 x38 可得 x2，由|x|2 可得 x2 或 x8” 是“|x|2”的充分而不必要条件。故选 A。 答案 A 4(2018北京高考)设 a，b，c，d 是非零实数，则“adbc” 是“a，b，c，d 成等比数列”的( ) A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 解析 a， b， c， d 是非零实数， 若 adbc， 则 ， 此时 a，
5、 b， c， b a d c d 不一定成等比数列；反之，若 a，b，c，d 成等比数列，则 a b ，所以 adbc，所以“adbc”是“a，b，c，d 成等比数列” c d 的必要而不充分条件，故选 B。 答案 B 三、走出误区 微提醒：对“pq”的否定出错；分类讨论不全面； 充分条件与必要条件的判定出错。 5命题“若 a2b20，a，bR，则 ab0”的逆否命 题是_。 解析 “若p， 则q” 的逆否命题为 “若綈q， 则綈p” ， 又ab 0 的实质为 a0 且 b0，故其否定为 a0 或 b0。 答案 若 a0 或 b0，a，bR，则 a2b20 6若命题“ax22ax30 成立”是
6、真命题，则实数 a 的 取值范围是_。 解析 由已知可得 ax22ax30 恒成立。当 a0 时， 30 恒成立 ； 当 a0 时，得Error!Error!解得3a0，Bx|(x1)(mx)0，则“m1” 是“AB”的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析 (1)若函数 f(x)的图象关于直线 x 对称，则 4 3 4 k， kZ， 解得 k， kZ， 故 “ ” 是 “函数 f(x)cos(3x 3 4 4 )的图象关于直线 x 对称”的充分不必要条件。故选 A。 4 (2)因为 p： xy2， q： x， y 不都是1， 所以綈 p： xy 2，
7、綈 q： x1，且 y1。因为綈 q綈 p，但綈 pD/綈 q， 所以綈 q 是綈 p 的充分不必要条件， 即 p 是 q 的充分不必要条件。 故选 A。 (3)化简集合 Ax|01，则 Bx|10， 因(1， )(0， )。 故选 A。 答案 (1)A (2)A (3)A 充要条件的三种判断方法 1定义法：根据 pq，qp 进行判断。 2集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系 进行判断。 3等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把 判断的命题转化为其逆否命题进行判断。 这个方法特别适合以否 定形式给出的问题。 【变式训练】 (1)(2019石家庄市质量检测)已知 p：
8、 10，故充分性不成立。 若 mn|mn|， 则 mn|m|n|cosm， n |m|n|cosm， n |， 则 cosm， n |cosm， n |， 故 cosm， n 0， 即 0 m， n 90，此时 m 与 n 不一定共线，即必要性不成立。故“m 与 n 共线”是“mn|mn|”的既不充分也不必要条件，故选 D。 答案 (1)B (2)B (3)D 考点三 充分条件、必要条件的应用 【例 3】 (1)已知函数 f(x)Error!Error!则函数 f(x)有两个零点成 立的充分不必要条件是 a( ) A1,2B(1,2 C(1,2)D(0,1 (2)已知集合A ， B x|log
9、3(x a)1，若 xA 是 xB 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范 围是_。 解析 (1)因为函数 f(x)Error!Error!所以函数 f(x)有两个零点等 价于函数 g(x)Error!Error!的图象与直线 ya 的图象有两个交点，绘 制函数g(x)的图象如图所示， 结合函数图象可得1n2tn， 解得 t2n1， 又 nN*， 所以 t3。 因为函数 f(x) kx2tx(k0)在区间1，)上单调递增，且其图象的对称轴 为直线 x， 所以1， 且 k0， 故 t2k， 所以2k t 2k t 2k 3，即 k ，故实数 k 的最小值为 。 3 2 3 2 答案 3 2 Er
10、ror!Error! 1 (配合例1使用)命题p： “若ab， 则ab2 018且a b”的逆否命题是( ) A若 ab2 018 且 ab，则 ab C若 ab2 018 或 ab，则 ab 解析 根据逆否命题的写法可得命题 p：“若 ab，则 a b2 018 且 ab”的逆否命题是“若 ab2 018 或 ab， 则 a0” C命题“若 xy，则 sinxsiny”的逆否命题为假命题 D若“pq”为真命题，则 p，q 至少有一个为真命题 解析 一个命题的否命题是对命题的条件和结论同时否定， 对于 A，只否定了结论，未否定条件，故 A 项错误 ； 对于 B，命 题“xR，x22x10”的否
11、定是“xR，x22x10” ， 故 B 项错误 ； 对于 C，命题“若 xy，则 sinxsiny”是真命题， 所以该命题的逆否命题为真命题， 故 C 项错误 ； 对于 D， 若 “pq” 为真命题，则 p，q 至少有一个为真命题是正确的。故选 D。 答案 D 3(配合例 2 使用)已知数列an，bn满足 bnanan1， 则“数列an为等差数列”是“数列bn为等差数列”的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析 若数列an为等差数列， 设其公差为 d1， 则 bn1bn (an1an2)(anan1)an2an2d1，所以数列bn是等差 数列 ； 若数列bn为等差数列， 设其公差为 d2， 则 bn1bn(an1 an2)(anan1)an2and2，不能推出数列an为等差数 列。故选 A。 答案 A 4 (配合例 3 使用)设命题 p： x2(2a1)xa2a0， 命题 q ： lg(2x1)1，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范 围是( ) A B 1 2， 9 2 1 2， 9 2) C D ( 1 2， 9 2 ( ，9 2 解析 命题 p： axa1，命题 q： x，因为 p 是 q 的 1 2 11 2 充分不必要条件，所以Error!Error!则 a 。故选 A。 1 2 9 2 答案 A