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1、第四节 直线、平面平行的判定与性质 2019 考纲考题考情 1直线与平面平行 (1)判定定理 (2)性质定理 2.平面与平面平行 (1)判定定理 (2)两平面平行的性质定理 3.平行关系中的两个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a， 则 。 (2)平行于同一平面的两个平面平行， 即若 ， ， 则 。 1两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个 平面平行。 2三种平行关系的转化： 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有 关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要 看清题目的具体条件，选择正确的转化方向。 一、走进教材 1(必修 2P61
2、A 组 T1(1)改编)下列命题中正确的是( ) A若 a，b 是两条直线，且 ab，那么 a 平行于经过 b 的 任何平面 B若直线 a 和平面 满足 a，那么 a 与 内的任何直线 平行 C平行于同一条直线的两个平面平行 D若直线 a，b 和平面 满足 ab，a，b，则 b 解析 根据线面平行的判定与性质定理可知。故选 D。 答案 D 2(必修 2P58练习 T3改编)平面 平面 的一个充分条件 是( ) A存在一条直线 a，a，a B存在一条直线 a，a，a C存在两条平行直线 a，b，a，b，a，b D存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b 解析 若 l，al，a，a，a，a，故排除
3、 A。 若 l， a， al， 则 a， 故排除 B。 若 l， a， al， b，bl，则 a，b，故排除 C。故选 D。 答案 D 二、走近高考 3 (2018浙江高考)已知平面 ， 直线 m， n 满足 m， n， 则“mn”是“m”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 若 m， n， mn， 由线面平行的判定定理知 m。 若 m，m，n，不一定推出 mn，直线 m 与 n 可能异面， 故“mn”是“m”的充分不必要条件。故选 A。 答案 A 4 (2017全国卷改编)如图， 四棱锥 PABCD 中， 侧面 PAD 为等边三角形且垂直
4、于底面 ABCD， ABBC AD， BAD 1 2 ABC90，E 是 PD 的中点。 证明：直线 CE平面 PAB。 证明 取 PA 的中点 F， 连接 EF， BF。 因为 E 是 PD 的中点， 所以 EFAD，EF AD。由BADABC90得 BCAD， 1 2 又 BC AD，所以 EF 綊 BC，四边形 BCEF 是平行四边形，CEBF， 1 2 又 BF平面 PAB，CE平面 PAB，故 CE平面 PAB。 三、走出误区 微提醒：对空间平行关系的转化条件理解不够致误；对 面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清致误； 对面面平行性质定理理解不深致误。 5 若平面 平面
5、， 直线 a平面 ， 点 B， 则在平面 内且过 B 点的所有直线中( ) A不一定存在与 a 平行的直线 B只有两条与 a 平行的直线 C存在无数条与 a 平行的直线 D存在唯一的与 a 平行的直线 解析 当直线 a 在平面 内且过 B 点时， 不存在与 a 平行的 直线。故选 A。 答案 A 6下列条件中，能判断两个平面平行的是_。 一个平面内的一条直线平行于另一个平面； 一个平面内的两条直线平行于另一个平面； 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面； 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面。 解析 由两个平面平行的判定定理可知， 如果一个平面内的 两条相交直线与另外一个平面平行，那么这
6、两个平面平行。显然 只有符合条件。 答案 7.如图是长方体被一平面所截得的几何体， 四边形 EFGH 为 截面，则四边形 EFGH 的形状为_。 解析 因为平面 ABFE平面 DCGH，又平面 EFGH平面 ABFEEF，平面 EFGH平面 DCGHHG，所以 EFHG。同 理 EHFG，所以四边形 EFGH 是平行四边形。 答案 平行四边形 考点一 线面平行的判定与性质微点小专题 方向 1：直线与平面平行的判定与证明 【例1】 (1)如图， 在正方体ABCDA1B1C1D1中， E为DD1 的中点，则 BD1与平面 AEC 的位置关系为_。 (2)(2019福州高三期末考试节选)如图，在四棱
7、锥 EABCD 中，ABCD，ABC90，CD2AB2CE4，点 F 为棱 DE 的中点。 证明：AF平面 BCE。 (1)解析 连接 BD， 设 BDACO， 连接 EO， 在BDD1中， E 为 DD1的中点， O 为 BD 的中点， 所以 EO 为BDD1的中位线， 则 BD1EO，而 BD1平面 ACE，EO平面 ACE，所以 BD1 平面 ACE。 答案 平行 (2)证明 如图，取 CE 的中点 M，连接 FM，BM。 因为点 F 为棱 DE 的中点， 所以 FMCD 且 FM CD2， 1 2 因为 ABCD，且 AB2， 所以 FMAB 且 FMAB， 所以四边形 ABMF 为平
8、行四边形， 所以 AFBM， 因为 AF平面 BCE，BM平面 BCE， 所以 AF平面 BCE。 证法一：如图，在平面 ABCD 内，分别延长 CB，DA，交于 点 N，连接 EN。 因为 ABCD，CD2AB， 所以 A 为 DN 的中点。 又 F 为 DE 的中点， 所以 AFEN， 因为 EN平面 BCE，AF平面 BCE， 所以 AF平面 BCE。 证法二：如图，取棱 CD 的中点 G，连接 AG，GF， 因为点 F 为棱 DE 的中点， 所以 FGCE， 因为 FG平面 BCE，CE平面 BCE， 所以 FG平面 BCE。 因为 ABCD，ABCG2， 所以四边形 ABCG 是平行
9、四边形， 所以 AGBC， 因为 AG平面 BCE，BC平面 BCE， 所以 AG平面 BCE。 又 FGAGG，FG平面 AFG，AG平面 AFG， 所以平面 AFG平面 BCE。 因为 AF平面 AFG，所以 AF平面 BCE。 证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理； 二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行， 再根据面面平行 的性质证明线面平行。 方向 2：直线与平面平行性质定理的应用 【例 2】 (2019青岛质检)如图，五面体 ABCDE 中，四边 形 ABDE 是矩形，ABC 是正三角形，AB1，AE2，F 是线 段BC上一点， 直线BC与平面ABD所成角为30， C
10、E平面ADF。 (1)试确定 F 的位置； (2)求三棱锥 ACDF 的体积。 解 (1)连接BE交AD于点O， 连接OF， 因为CE平面ADF， CE 平面 BEC，平面 ADF平面 BECOF，所以 CEOF。 因为 O 是 BE 的中点， 所以 F 是 BC 的中点。 (2)因为 BC 与平面 ABD 所成角为 30，BCAB1， 所以 C 到平面 ABD 的距离为 hBCsin30 。 1 2 因为 AE2，F 是 BC 中点， 所以 VACDFVFACD VBACD VCABD 1 2 1 2 12 。 1 2 1 3 1 2 1 2 1 12 在应用线面平行的判定定理进行平行转化时
11、， 一定注意定理 成立的条件， 通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤， 如 ： 把线面平行转化为线线平行时， 必须说清经过已知直线的平面和 已知平面相交，这时才有直线与交线平行。 【题点对应练】 1(方向 1)如图，已知四棱锥 PABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， BCAD， CDAD， PCAD2DC 2CB，E 为 PD 的中点。 (1)证明：CE平面 PAB； (2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值。 解 (1)证明 ： 如图，设 PA 的中点为 F，连接 EF，FB。因为 E，F 分别为 PD，PA 的中点， 所以 EFAD 且 EF AD。 1 2
12、 又因为 BCAD，BC AD， 1 2 所以 EFBC 且 EFBC， 即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CEBF。 因为 BF平面 PAB，CE平面 PAB， 所以 CE平面 PAB。 (2)分别取 BC，AD 的中点为 M，N。 连接 PN 交 EF 于点 Q，连接 MQ，BN。 因为 E，F，N 分别是 PD，PA，AD 的中点， 所以 Q 为 EF 的中点，在平行四边形 BCEF 中，MQCE。 由PAD 为等腰直角三角形得 PNAD。 由 DCAD，N 是 AD 的中点得 BNAD。 又 PNBNN，所以 AD平面 PBN。 由 BCAD 得 BC平面 PBN， 那么平面 P
13、BC平面 PBN。 过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连接 MH。 则 MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影， 所以QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角。 设 CD1。 在PCD 中，由 PC2，CD1，PD得 CE，22 在PBN 中，由 PNBN1，PB得 QH ，3 1 4 在 RtMQH 中，QH ，MQ， 1 4 2 所以 sinQMH， 2 8 所以直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是。 2 8 2(方向 2)如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是 平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 PA 作平
14、面 PAHG 交平面 BMD 于 GH。 求证：PAGH。 证明 如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 O 是 AC 的中点， 又 M 是 PC 的中点， 所以 APOM。 又 MO平面 BMD，PA平面 BMD， 所以 PA平面 BMD。 又因为平面 PAHG平面 BMDGH， 且 PA平面 PAHG，所以 PAGH。 考点二 面面平行的判定与性质微点小专题 方向 1：面面平行的判定与证明 【例 3】已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ADBC，AD 2BC，E，F 分别为 CC1，DD1的中点。 求证：平面 BEF平面 AD1
15、C1。 证明 取 AD 的中点 G，连接 BG，FG。 因为 E，F 分别为 CC1，DD1的中点， 所以 C1D1綊 CD 綊 EF， 因为 C1D1平面 AD1C1，EF平面 AD1C1， 所以 EF平面 AD1C1。 因为 ADBC，AD2BC， 所以 GD 綊 BC， 即四边形 BCDG 是平行四边形， 所以 BG 綊 CD，所以 BG 綊 EF， 即四边形 EFGB 是平行四边形，所以 BEFG。 因为 F，G 分别是 DD1，AD 的中点， 所以 FGAD1，所以 BEAD1。 因为 AD1平面 AD1C1，BE平面 AD1C1， 所以 BE平面 AD1C1。 又 BE平面 BEF
16、，FE平面 BEF，BEEFE， 所以平面 BEF平面 AD1C1。 证明面面平行的常用方法 1利用面面平行的定义或判定定理； 2利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l，l )； 3利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个 平面，则这两个平面平行(，)。 方向 2：面面平行性质定理的应用 【例 4】 如图， 在以 A， B， C， D， E， F 为顶点的多面体中， AF 平面 ABCD，DE平面 ABCD，ADBC，BC2AD。请在图中 作出平面 ，使得 DE，且 BF，并说明理由。 解 如图，取 BC 的中点 P，连接 PD，PE，则平面 PDE 即 为所求的平面 。 下面证明 B
17、F。 因为 BC2AD，ADBC， 所以 ADBP，且 ADBP， 所以四边形 ABPD 为平行四边形， 所以 ABDP。 又 AB平面 PDE，PD平面 PDE，所以 AB平面 PDE。 因为 AF平面 ABCD，DE平面 ABCD， 所以 AFDE。 又 AF平面 PDE，DE平面 PDE， 所以 AF平面 PDE。 又 AF平面 ABF，AB平面 ABF，ABAFA， 所以平面 ABF平面 PDE。 又 BF平面 ABF，所以 BF平面 PDE， 即 BF。 本题先构造平面FAB平面EDP， 又FB平面FAB， 从而FB 平面 EDP，从本例 4 可以看出线面平行可以通过面面平行的 性质
18、定理实现。另外，有时线线平行也可以通过面面平行的性质 定理实现。 【题点对应练】 1(方向 1)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D 是 BC 上 一点，且 A1B平面 AC1D，点 D1是 B1C1的中点。 求证：平面 A1BD1平面 AC1D。 证明 如图， 连接 A1C 交 AC1于点 E， 连接 ED， 因为四边形 A1ACC1 是平行四边形， 所以点 E 是 A1C 的中点， 因为 A1B平面 AC1D， 平面 A1BC 平面 AC1DED， 所以 A1BED， 因为点 E 是 A1C 的中点， 所以点 D 是 BC 的中点， 又因为点 D1是 B1C1的中点， 所以 D1C
19、1綊 BD， 所以四边形 BDC1D1为平行四边形， 所以 BD1C1D。 又 BD1平面 AC1D，C1D平面 AC1D， 所以 BD1平面 AC1D， 又因为 A1BBD1B， 所以平面 A1BD1平面 AC1D。 2(方向 2)在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EF DB。已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点。 求证：GH平面 ABC。 证明 取 FC 中点 I，连接 GI，HI， 则有 GIEF，HIBC， 所以 HI平面 ABC， 又 EFDB，所以 GIBD， 所以 GI平面 ABC， 又 GIHII， 所以平面 GHI平面 ABC， 因为 GH平面 GHI， 所
20、以 GH平面 ABC。 Error!Error! 1 (配合例 1 使用)如图所示， 在三棱柱 ABCA1B1C1中， D 是棱 CC1的中点，问在棱 AB 上是否存在一点 E，使 DE平面 AB1C1？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由。 解 解法一：假设在棱 AB 上存在点 E，使得 DE平面 AB1C1， 如图，取 BB1的中点 F， 连接 DF，EF，ED，则 DFB1C1， 又 DF平面 AB1C1， B1C1平面 AB1C1， 所以 DF平面 AB1C1， 又 DE平面 AB1C1，DEDFD， 所以平面 DEF平面 AB1C1， 因为 EF平面 DEF，所以 EF
21、平面 AB1C1， 又因为 EF平面 ABB1，平面 ABB1平面 AB1C1AB1，所 以 EFAB1， 因为点 F 是 BB1的中点，所以点 E 是 AB 的中点。 即当点 E 是 AB 的中点时，DE平面 AB1C1。 解法二 ： 存在点 E，且 E 为 AB 的中点时，DE平面 AB1C1。 证明如下： 如图，取 BB1的中点 F，连接 DF， 则 DFB1C1。 因为 DF平面 AB1C1，B1C1平面 AB1C1， 所以 DF平面 AB1C1。 因为 AB 的中点为 E，连接 EF，ED， 则 EFAB1。 因为 EF平面 AB1C1，AB1平面 AB1C1， 所以 EF平面 AB
22、1C1。 因为 DFEFF， 所以平面 DEF平面 AB1C1。 而 DE平面 DEF，所以 DE平面 AB1C1。 2 (配合例 2 使用)如图， 四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8 的正方形， 四条侧棱长均为 2。 点 G， E， F， H 分别是棱 PB， AB，17 CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH平面 ABCD，BC平面 GEFH。 (1)证明：GHEF； (2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积。 解 (1)证明：因为 BC平面 GEFH，BC平面 PBC， 且平面 PBC平面 GEFHGH，所以 GHBC。 同理可证 EFBC，因此 GHEF。 (2)如图， 连接
23、 AC， BD 交于点 O， BD 交 EF 于点 K， 连接 OP， GK。 因为 PAPC，O 是 AC 的中点，所以 POAC， 同理可得 POBD。 又 BDACO，且 AC，BD底面 ABCD， 所以 PO底面 ABCD。 又因为平面 GEFH平面 ABCD， 且 PO平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH。 因为平面 PBD平面 GEFHGK，PO平面 PBD， 所以 POGK，且 GK底面 ABCD。 又 EF平面 ABCD，从而 GKEF。 所以 GK 是梯形 GEFH 的高。 由 AB8，EB2 得 EBABKBDB14， 从而 KB DB OB，即 K 为 OB 的中点。
24、 1 4 1 2 再由 POGK 得 GK PO， 1 2 即 G 是 PB 的中点，且 GH BC4。 1 2 由已知可得 OB4，2 PO6，所以 GK3。PB2OB26832 故四边形 GEFH 的面积 SGK318。 GHEF 2 48 2 3(配合例 4 使用)如图，在三棱锥 PABC 中，D，E 分别 为 PA，AC 的中点。 (1)求证：DE平面 PBC； (2)试问在线段 AB 上是否存在点 F，使得过 D，E，F 三点 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行？若存在，指出点 F 的位置并证明；若不存在，请说明理由。 解 (1)证明：因为 E 为 AC 的中点，D 为 PA
25、 的中点， 所以 DEPC。 又 DE平面 PBC，PC平面 PBC， 所以 DE平面 PBC。 (2)存在，当点 F 是线段 AB 的中点时，过 D，E，F 三点的 平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行。 证明如下： 如图，取 AB 的中点 F，连接 EF，DF。 由(1)可知 DE平面 PBC。 因为 E 是 AC 的中点，F 为 AB 的中点，所以 EFBC。 又 EF平面 PBC，BC平面 PBC， 所以 EF平面 PBC。 又 DEEFE，所以平面 DEF平面 PBC， 所以平面 DEF 内的任一条直线都与平面 PBC 平行。 故当点 F 是线段 AB 的中点时，过 D，E，F 三点的平面内 的任一条直线都与平面 PBC 平行。