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1、第五节 函数 yAsin(x)的图象及三角函数模型的简 单应用 2019 考纲考题考情 考纲要求考题举例考向标签 1.了解函数 y Asin(x)的物理 意义；能画出 y Asin(x)的图象， 了解参数 A， 对函数图象变化的 影响 2了解三角函数是 描述周期变化现象 的重要函数模型，会 用三角函数解决一 些简单实际问题 2018全国卷 T15(三角函数的 零点) 2017全国卷T9(三 角函数图象平移) 2016全国卷 T12(三角函数图 象对称性、单调性) 2016全国卷T7(三 角函数图象平移) 2016全国卷 T14(三角函数图 象平移) 命题角度： 1“五点法”作图 及图象变换 2
2、 函数yAsin(x )的图象 3三角函数的综合 问题 核心素养：直观想 象、数学建模 1用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图 用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个 关键点，如下表所示。 x 2 3 2 2 x0 2 3 2 2 y Asin(x ) 0A0A0 2.函数 ysinx 的图象经变换得到 yAsin(x)的图象的 步骤如下 3简谐振动 yAsin(x)中的有关物理量 振幅周期频率相位初相 yAsin(x)(A0， 0)， x0，)表示一个振动量 时 AT2 f1 T x 2 1函数 yAsin(x)k 图象平移的规律：“左加右减， 上加下减” 。 2由
3、 ysinx 到 ysin(x)(0，0)的变换：向左平 移 个单位长度而非 个单位长度。 一、走进教材 1(必修 4P55练习 T2改编)为了得到函数 y2sin的 ( 2x 3) 图象，可以将函数 y2sin2x 的图象( ) A向右平移 个单位长度B向右平移 个单位长度 6 3 C向左平移 个单位长度D向左平移 个单位长度 6 3 答案 A 2(必修 4P62例 4 改编)某地农业监测部门统计发现：该地 区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现。 下表是今年前四 个月的统计情况： 月份 x1234 收购价格 y/(元/斤)6765 选用一个函数来近似描述收购价格与相应月份之间的函数 关系
4、为_。 解析 设 yAsin(x)B(A0， 0)， 由题意得 A1， B 6，T4，因为 T，所以 ，所以 ysin6。 2 2 ( 2x) 因为当 x1 时， y6，所以 6sin6，结合表中数据得 ( 2) 2k，kZ，可取 ，所以 ysin66cos 2 2 ( 2x 2) x。 2 答案 y6cos x 2 二、走近高考 3 (2017全国卷)已知曲线 C1： ycosx， C2： ysin ( 2x2 3 ) ，则下面结论正确的是( ) A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2 6 B把 C1上各点的横坐标伸长到
5、原来的 2 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C2 12 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变， 1 2 再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2 6 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变， 1 2 再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C2 12 解析 把曲线 C1：ycosx 各点的横坐标缩短为原来的 ， 1 2 纵坐标不变，得曲线 ycos2x，再向左平移个单位长度，得曲 12 线 ycos2cossinsin。故 ( x 12) ( 2x 6) ( 22x 6) ( 2x2 3 ) 选 D。 答案 D 4(20
6、18全国卷)函数 f(x)cos在0，的零点个 ( 3x 6) 数为_。 解析 因为0x， 所以 3x ， 由题可知3x 6 6 19 6 6 ，或 3x ，或 3x 。解得 x 或或。故有 3 个 2 6 3 2 6 5 2 9 4 9 7 9 零点。 答案 3 三、走出误区 微提醒 ： 横坐标伸缩与 的关系不清 ； 搞不清 f(x)在 x 处取最值；确定不了解析式中 的值。 2 5函数 ysinx 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长 为原来的 2 倍得到的图象对应的函数解析式是_。 解析 根据函数图象变换法则可得。 答案 ysin x 1 2 6 若函数 f(x)sinx(00， 0，
7、 0，| 0， 0)的解析式主要从 以下三个方面考虑： 1根据最大值或最小值求出 A 的值。 2根据周期求出 的值。 3根据函数图象上的某一特殊点求出 的值。 【变式训练】 已知函数 f(x)2sin(x)(0， |0，|0)满足 f(0)f，且 ( x 6) ( 3) 函数在上有且只有一个零点，则 f(x)的最小正周期为 0， 2 _。 解析 因为 f(0)f，所以 x 是 f(x)图象的一条对称轴， ( 3) 6 所以 f1， 所以 k， kZ， 所以 6k2， kZ， ( 3) 6 6 2 所以 T(kZ)。又 f(x)在上有且只有一个零点，所以 3k1 0， 2 ，所以T，所以(kZ)
8、，所以 6 T 4 2 6 2 3 4 3 2 3 3k1 4 3 k ，又因为 kZ，所以 k0，所以 T。 1 12 1 6 答案 Error!Error! 1(配合例 1 使用)函数 ysin的图象可以由函数 y ( x 2 6) cos 的图象( ) x 2 A向右平移 个单位长度得到 3 B向右平移个单位长度得到 2 3 C向左平移 个单位长度得到 3 D向左平移个单位长度得到 2 3 解析 解法一 ： 由 ycos sin， ysin x 2 ( x 2 2) 1 2(x 2 3 ) 2 sin，知函数 ysin的图象可以由 ycos 的图象向 ( x 2 6) ( x 2 6)
9、x 2 右平移个单位长度得到。 2 3 解法二：在同一坐标系中画出两函数的部分图象如图所示， 易知选 B。 答案 B 2(配合例 2 使用)函数 f(x)sin(x)的图 ( 0，| 0，| 0，| 2) 的图象向左平移个单位长度后，所得图 12 象对应的函数解析式为 ysin，由于所得图象 (x 12) 关于 y 轴对称， 故函数 ysin为偶函数， 故 ( x 12) 12 k ， kZ 。 将函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度后， 2 6 所得图象对应的函数解析式为 ysin，由于所得函 (x 6) 数的图象关于原点对称，故函数 ysin为奇函数， ( x 6) 所以 n， nZ 。 化简可得 4(kn)2， 6 即 4m2，mZ，即 是被 4 除余 2 的整数。故选 B。 答案 B 4(配合例 4 使用)函数 f(x)3sin xlog x 的零点的个数是 2 1 2 ( ) A2B3 C4D5 解析 函数 f(x)零点个数即为 y3sin x 与 ylog x 两函数 2 1 2 图象的交点个数，如图，函数 y3sin x 与 ylog x 有 5 个交点。 2 1 2 答案 D