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1、三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 2019 考纲考题考情 1二元一次不等式(组)表示的平面区域 2.线性规划中的有关概念 名称意义 约束条件由变量 x，y 组成的不等式(组) 线性约束条件由 x，y 的一次不等式组成的不等式(组) 目标函数关于 x，y 的函数解析式，如 zx2y 线性目标函数关于 x，y 的一次解析式 续表 名称意义 可行解满足线性约束条件的解(x，y) 可行域所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划 问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 问题 3.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 确定二元一次不等式(组
2、)表示的平面区域时，经常采用“直 线定界，特殊点定域”的方法。 (1)直线定界，不等式含等号，直线在区域内，不含等号，直 线不在区域内。 (2)特殊点定域， 在直线上方(下方)取一点， 代入不等式成立， 则区域就为上方(下方)，否则就是下方(上方)。特别地，当 C0 时，常把原点作为测试点；当 C0 时，常选点(1,0)或者(0,1)作 为测试点。 在通过求直线 zaxby(b0)的截距 的最值间接求出 z 的 z b 最值时，要注意：当 b0 时，截距 取最大值时，z 也取最大值； z b 截距 取最小值时， z 也取最小值 ； 当 b0 内 B点(0,0)在区域 xy14， x ay2，则
3、( ) A对任意实数 a，(2,1)A B对任意实数 a，(2,1)A C当且仅当 a4， xay2 (x， y)|xy1， xy4， xy2， 显然(2,1)不满足xy4， xy2， 所以 A 不正确 ； 当 a4 时集合 A(x， y)|xy1,4x y4， x4y2， 显然(2,1)都满足上述三个不等式， 在可行域内， 所以 B 不正确 ； 当 a1 时， 集合 A(x， y)|xy1， xy4， x y2，显然(2,1)不满足 xy4，所以(2,1)A，所以 C 不正确。 故选 D。 答案 (1)D (2)D 解决求平面区域面积问题的方法步骤 1画出不等式组表示的平面区域。 2判断平面
4、区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的 边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图 形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求 解。 提醒：求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性。 【变式训练】 已知不等式组Error!Error!表示的平面区域的面积 等于 3，则 a 的值为_。 解析 由题可推出 a0，依据不等式组画出可行域如图中阴影部分 所示， 由图可知其表示的平面区域为ABC， 所以 S 2|AC| 1 2 3， 所以|AC|3， 即 C(2,3)， 又点 C 在直线 axy20 上， 得 a 。 1 2 答案 1 2 考点二 求目标函数的最值微点小
5、专题 方向 1：求线性目标函数的最值 【例2】 (2018全国卷)若x， y满足约束条件Error!Error!则zx y 的最大值为_。 解析 画出不等式组所表示的平面区域， 如图中阴影部分所 示。作出直线 xy0，平移该直线，当直线过点 A(5,4)时，z 取 得最大值，zmax549。 答案 9 求目标函数 zaxby 的最大值或最小值，先准确作出可行 域，令目标函数 z0，将直线 axby0 平行移动，借助目标函 数的几何意义求目标函数的最值。 方向 2：求非线性目标函数问题的最值 【例 3】 已知 x，y 满足约束条件Error!Error!则 z的取 xy2 x1 值范围是_。 解
6、析 画出满足条件的平面区域，如图所示： 由Error!Error!解得 A(1,2)， 由Error!Error!解得 B(3， 1)， 而 z1 xy2 x1 ， 而的几何意义表示过平面区域内的点与 C(1， 1) y1 x1 y1 x1 的直线的斜率， 显然直线 AC 斜率最大， 直线 BC 斜率最小， kAC ，kBC ，所以 z的最大值是 1 ， 21 11 3 2 11 31 1 2 xy2 x1 3 2 5 2 最小值为 1 。 1 2 3 2 答案 3 2， 5 2 目标函数不是直线形式时， 此类问题常考虑目标函数的几何 意义，常见代数式的几何意义主要有： 1.表 示 点 (x，
7、 y)与 原 点 (0,0)间 的 距 离 ，x2y2 表示点(x，y)与点(a，b)间的距离； xa2yb2 2. 表示点(x， y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x， y)与 y x yb xa 点(a，b)连线的斜率。 方向 3：含参数的线性规划问题 【例 4】 变量 x， y 满足约束条件Error!Error!若 z2xy 的最大 值为 2，则实数 m 等于( ) A2 B1 C1 D2 解析 对于选项 A， 当 m2 时， 可行域如图， 直线 y2x z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故 A 项 错误；对于选项 B，当 m1 时，mxy0 等同于 xy0，
8、可行域如图，直线 y2xz 的截距可以无限小，z 不存在最大 值，不符合题意，故 B 项错误；对于选项 C，当 m1 时，可行 域如图，当直线 y2xz 过点 A(2,2)时截距最小，z 最大为 2， 满足题意， 故 C 项正确 ； 对于选项 D， 当 m2 时， 可行域如图， 直线 y2xz 与直线 OB 平行，截距最小值为 0，z 最大为 0， 不符合题意，故 D 项错误。故选 C。 答案 C 由目标函数的最值求参数。 求解线性规划中含参数问题的基 本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求 解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不 等式求解参数的值或取值范围
9、；二是先分离含有参数的式子，通 过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位 置，从而求出参数。 【题点对应练】 1(方向 1)若 x，y 满足约束条件Error!Error!则 zx3y 的最小值 是_，最大值是_。 解析 由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2)， (1,1)，(4，2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)。由线性规 划的知识可知，目标函数 zx3y 在点(2,2)处取得最大值，在 点(4， 2)处取得最小值， 则最小值 zmin462， 最大值 zmax 268。 答案 2 8 2 (方向 2)若 x， y 满足约束条件Error!Error!则 zx22
10、xy2的最 小值为( ) A B C D 1 2 1 4 1 2 3 4 解析 画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所 示， zx22xy2(x1)2y21， 其几何意义是平面区域内的 点(x，y)到定点(1,0)的距离的平方再减去 1，观察图形可得， 平面区域内的点到定点(1， 0)的距离的最小值为 ， 故 zx22x 1 2 y2的最小值为 zmin 1 。故选 D。 1 4 3 4 答案 D 3(方向 3)已知实数 x，y 满足约束条件Error!Error!若 z2xy 的 最小值为 3，则实数 b( ) A B C1 D. 9 4 3 2 3 4 解析 作出不等式组对应的平面区
11、域，如图中阴影部分所 示。 由 z2xy 得 y2xz，平移直线 y2x，由图可知当 直线 y2xz 经过点 A 时，直线 y2xz 的截距最小，此 时 z 最小，为 3，即 2xy3。由Error!Error!解得Error!Error!即 A，又 ( 3 4， 3 2) 点 A 也在直线 yxb 上，即 b，所以 b 。故选 A。 3 2 3 4 9 4 答案 A 考点三 线性规划的实际应用 【例 5】 (2017天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧， 每次播放连续剧时，需要播放广告。已知每次播放甲、乙两套连 续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示 ： 连续剧播放时长 (
12、分钟) 广告播放时长 (分钟) 收视人次 (万) 甲70560 乙60525 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放 的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍。分别用 x，y 表示每周 计划播出的甲、乙两套连续剧的次数。 (1)用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的 平面区域。 (2)问电视台每周播出甲、 乙两套连续剧各多少次， 才能使总 收视人次最多？ 解 (1)由已知，x，y 满足Error!Error! 即Error!Error! 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部 分边界及内部整点
13、： (2)设总收视人次为z万， 则目标函数为z60x25y。 考虑z 60x25y，将它变形为 yx，这是斜率为，随 z 变 12 5 z 25 12 5 化的一组平行直线。为直线在 y 轴上的截距， 当取得最大值 z 25 z 25 时，z 的值最大。又因为 x，y 满足约束条件，所以由图可知， 当直线 z60x25y 经过可行域上的点 M 时，截距最大，即 z z 25 最大。 解方程组Error!Error!得点 M 的坐标为(6,3)。 所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能 使总收视人次最多。 利用线性规划解决实际问题的一般步骤 1审题：仔细阅读材料，抓住关键，
14、准确理解题意，明确 有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系。 2设元 ： 设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量 x，y，并列出相应的不等式组和目标函数。 3作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)。 4求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)。 5检验：根据结果，检验反馈。 【变式训练】 某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产 甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶 需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克。 每桶甲产品的利润是 300 元， 每桶乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中， 要求每天消耗 A，B
15、原料都不超过 12 千克。通过合理安排生产 计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利 润是( ) A1 800 元B2 400 元 C2 800 元D3 100 元 解析 设该公司生产甲产品 x 桶，生产乙产品 y 桶，获利为 z 元， 则 x，y 满足的线性约束条件为Error!Error!目标函数 z300x400y。 作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其内部整点。作直线l0： 3x 4y0， 平移直线 l0经可行域内点 B 时， z 取最大值， 由Error!Error!得 B(4,4)，满足题意，所以 zmax430044002 800(元)。故 选 C。 答案
16、C Error!Error! 1(配合例 1 使用)不等式组Error!Error!的解集记为 D。有下面四 个命题： p1：(x，y)D，x2y2； p2：(x，y)D，x2y3； p3：(x，y)D，x2y ； 2 3 p4：(x，y)D，x2y2。 其中的真命题是( ) Ap2，p3Bp1，p4 Cp1，p2Dp1，p3 解析 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分， 由Error!Error!解得Error!Error!所以 M。 由图可知， 当直线 zx2y ( 4 3， 1 3) 过点 M处时，z 取得最小值，且 zmin 2 ，所以真 ( 4 3， 1 3) 4 3 1 3 2
17、 3 命题是 p2，p3。故选 A。 答案 A 2(配合例 3 使用)已知实数 x，y 满足Error!Error!则 的最小值为 y x _。 解析 不等式组Error!Error!表示的平面区域如图中阴影部分所 示， 表示可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，设 k ，由可 y x y x 行域可知 k 取得最小值时曲线 yx4 与直线 ykx 相切，设 1 12 1 4 此时切点为 P(x0，y0)(x00)，由 yx4 可得 y x3，所以 1 12 1 4 1 3 切线方程为 yy0 x (xx0)，又 y0x ，所以切线方程可 1 3 3 0 1 12 4 0 1 4 化为 y
18、x x x x ， 即 y x x x ， 又该切线过原 1 3 3 0 1 3 4 0 1 12 4 0 1 4 1 3 3 0 1 4 4 0 1 4 点 O(0,0)，所以有 x 1，所以 x01，切线的斜率为 x ， 4 0 1 3 3 0 1 3 则 min 。 ( y x) 1 3 答案 1 3 3(配合例 4 使用)若实数 x，y 满足Error!Error!使 zaxy 取得 最大值的最优解有两个，则 maxy1 的最小值为( ) A0B2 C1D1 解析 如图所示， 画出不等式组所表示的区域。 因为 zax y 取得最大值的最优解有两个， 所以a1， 即 a1， 所以当 x 1，y0 或 x0，y1 时，zaxyxy 有最小值1， 所以 axy1 的最小值是 0。故选 A。 答案 A