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1、第六节 直接证明与间接证明、数学归纳法 2019 考纲考题考情 1直接证明 内容综合法分析法 定义 利用已知条件和某些数学 定义、公理、定理等，经 过一系列的推理论证，最 后推导出所要证明的结论 成立 从要证明的结论出发， 逐步寻求使 它成立的充分条件，直至最后，把 要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件(已知条件、定理、 定义、公理等)为止 实质由因导果执果索因 框图 表示 PQ1Q1Q2 QnQ QP1P1P2 得到一个明显成立的条件 文字 语言 因为所以 或由得 要证只需证即证 2.间接证明 反证法：假设命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成 立)，经过正确的推理，最后得出矛盾。因
2、此说明假设错误，从 而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 3数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)证明当 n 取第一个值 n0(n0N*)时命题成立，这一步是归 纳奠基。 (2)假设 nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当 nk1 时 命题也成立，这一步是归纳递推。 完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整 数 n 都成立。 1分析法与综合法的应用特点：对较复杂的问题，常常先 从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运 用综合法证明；或两种方法交叉使用。 2利用反证法证明的特点，要假设结论错误，并用假设的 命题进行推理，
3、如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推 理过程是错误的。 3数学归纳法两个步骤的联系：相互依存，缺一不可。 一、走进教材 1(选修22P89练习T1改编)对于任意角，化简cos4sin4 ( ) A2sin B2cos Csin2 Dcos2 解析 因为 cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2) cos2sin2cos2。故选 D。 答案 D 2(选修 22P89练习 T2改编)若 P，Qa6a7 (a0)，则 P，Q 的大小关系是( )a8a5 APQ BPQ CPQ，只需 P2Q2，即 2a132 a6a7 2a132，只需 a213a42a213a40。因 a8a5
4、为 4240 成立，所以 PQ 成立。故选 A。 答案 A 二、走出误区 微提醒：“至少”否定出错；应用分析法寻找的条件不 充分；不会用反证法解题。 3 利用反证法证明 “已知 a0， b0， 且 ab2， 证明， 1b a 中至少有一个小于 2”时的反设是_。 1a b 解析 假设，都不小于 2，则2 且2。 1b a 1a b 1b a 1a b 答案 2 且2 1b a 1a b 4 若用分析法证明 “设 abc 且 abc0， 求证0；ac0；(ab)(ac)0；(ab)(ac)bc 且 abc0， 可得 bac， a0， c0，即证 a(ac)(ac)(ac)0，即证(ac)(ab)
5、0。 答案 5设 a，b，c 都是正数，则 a ，b ，c 三个数( ) 1 b 1 c 1 a A都大于 2 B都小于 2 C至少有一个不大于 2 D至少有一个不小于 2 解 析 因 为 ( a1 b) ( b1 c) ( c1 a) ( a1 a) ( b1 b) 6，当且仅当 abc1 时取等号，所以三个数中至少 ( c1 c) 有一个不小于 2。故选 D。 答案 D 考点一 分析法 【例 1】 已知 a， bR， abe(其中 e 是自然对数的底数)， 用分析法求证：baab。 证明 因为 abe，ba0，ab0，所以要证 baab，只需证 alnbblna，只需证。 lnb b ln
6、a a 取函数 f(x)， 因为 f(x)， 所以当 xe 时， f(x)be 时，有 f(b)f(a)， 即。得证。 lnb b lna a 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结 论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、 公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。 【变式训练】 已知 a0，求证： a 2。 a2 1 a2 2 1 a 证明 要证 a 2， 只要证 2a a2 1 a2 2 1 a a2 1 a2 。 1 a 2 因为a0， 故只要证 22， 即a2 ( a2 1 a22) ( a1 a 2) 1 a2 4 4a2222， a2
7、 1 a2 1 a2 2 ( a1 a) 从而只要证 2 ， a2 1 a2 2 ( a1 a) 只要证 42， ( a2 1 a2) ( a22 1 a2) 即 a22， 1 a2 而上述不等式显然成立，故原不等式成立。 考点二 综合法 【例 2】 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 sinAsinBsinBsinCcos2B1。 (1)求证：a，b，c 成等差数列； (2)若 C，求证：5a3b。 2 3 证明 (1)由已知得 sinAsinBsinBsinC2sin2B， 因为 sinB0，所以 sinAsinC2sinB， 由正弦定理，有 ac2b，即 a，
8、b，c 成等差数列。 (2)由 C， c2ba 及余弦定理得(2ba)2a2b2ab， 2 3 即有 5ab3b20，即 5a3b。 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推 导出所要证明的等式或不等式成立。因此，综合法又叫做顺推证 法或由因导果法。其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就 要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性。 【变式训练】 已知函数 f(x)ln(1x)，g(x)abx x2 1 2 x3，函数 yf(x)与函数 yg(x)的图象在交点(0,0)处有公共切 1 3 线。 (1)求 a，b 的值； (2)证明：f(x)g(x)。 解 (1)f(x)，
9、g(x)bxx2， 1 1x 由题意得Error!Error! 解得 a0，b1。 (2)证明：令 h(x)f(x)g(x)ln(x1) x3 x2x(x 1 3 1 2 1)。 h(x)x2x1。 1 x1 x3 x1 h(x)在(1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数。 h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0， 即 f(x)g(x)。 考点三 反证法 【例 3】 设 a0，b0，且 a2b2。证明 ： a2a0，b0，所以 ab1。 因为 a2b22ab2(当且仅当 ab1 时等号成立)， ab22(当且仅当 ab1 时等号成立)，ab 所以 a2ab2b2ab24(当且仅当 ab
10、1 时等ab 号成立)， 这与假设矛盾，故假设错误。 所以 a2a1。求证：a，b，c，d 中至少有一个是负数。 证明 假设 a，b，c，d 都是非负数，因为 abcd1， 所以(ab)(cd)1， 即 acbdadbc1，又 acbdadbcacbd， 所以 acbd1， 与题设矛盾， 故假设不成立， 故 a， b， c， d 中至少有一个是负数。 考点四 数学归纳法 【例 4】 设 a0， f(x)， 令 a11， an1f(an)， nN*。 ax ax (1)写出 a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论。 解 (1)因为 a11， 所以 a2f
11、(a1)f(1)； a 1a a3f(a2)；a4f(a3)。 a 2a a 3a 猜想 an(nN*)。 a n1a (2)证明：易知，n1 时，猜想正确。 假设 nk(kN*)时猜想正确， 即 ak， a k1a 则 ak1f(ak) aak aak a a k1a a a k1a 。 a k1a1 a k11a 这说明，nk1 时猜想正确。 由知，对于任何 nN*，都有 an。 a n1a “归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归 纳法综合应用的解题模式。 其一般思路是 ： 通过观察有限个特例， 猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明。这种方法在解决 探索性问题、 存在性问题或与
12、正整数有关的命题中有着广泛的应 用。其关键是归纳、猜想出公式。 【变式训练】 将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)， (7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，分别计算 各组包含的正整数的和如下， 试猜测 S1S3S5S2n1的结 果，并用数学归纳法证明。 S11， S2235， S345615， S47891034， S5111213141565， S6161718192021111， 解 由题意知，当 n1 时，S1114； 当 n2 时，S1S31624； 当 n3 时，S1S3S58134； 当 n4 时，S1S3S5S725644； 猜想：S1S3S5S2n1n4。 下面用数学归纳法证明： 当 n1 时，S1114，等式成立。 假设当 nk(kN*)时等式成立， 即 S1S3S5S2k1k4， 那么，当 nk1 时，S1S3S5S2k1S2k1k4 (2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k 1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4， 这就是说， 当 n k1 时，等式也成立。 根据和，可知对于任意的 nN*， S1S3S5S2n1n4都成立。