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1、课后限时集训(十四) 导数与函数的单调性课后限时集训(十四) 导数与函数的单调性 (建议用时：60 分钟) A A 组 基础达标 一、选择题 1已知函数f(x)的导函数f(x)的图像如图所示，则函数 f(x)的图像可能是( ) A B C D C C 由导函数f(x)的图像可知， 函数yf(x)先减再增， 可排除选项A， B； 又f(x)0 的根为正数，即yf(x)的极值点为正数，所以可排除选项 D，选 C. 2函数f(x)ln xax(a0)的递增区间为( ) A. B (0， 1 a)( 1 a，) C. D(，a) (， 1 a) A A 由题意，知f(x)的定义域为(0，)，由f(x)
2、 a0(a0)，得 0x ， 1 x 1 a f(x)的递增区间为. (0， 1 a) 3已知函数f(x)x3ax在(1,1)上递减，则实数a的取值范围为( ) A(1，) B3，) C(，1 D(，3 B B f(x)x3ax，f(x)3x2a.又f(x)在(1,1)上递减，3x2a0 在( 1,1)上恒成立，a3，故选B 4(2019兰州模拟)函数f(x)在定义域 R R 内可导，f(x)f(4x)，且(x2)f(x)0. 若af(0)，bf，cf(3)，则a，b，c的大小关系是( ) ( 1 2) Acba Bcab Cabc Dbac C C 由f(x)f(4x)可知，f(x)的图像关
3、于直线x2对称， 根据题意知， 当x(， 2) 时，f(x)0，f(x)为减函数 ； 当x(2， )时，f(x)0，f(x)为增函数 所以f(3)f(1) ff(0)，即cba，故选 C. ( 1 2) 5若函数f(x)ln xax22x存在递减区间，则实数a的取值范围是( ) 1 2 A(1，) B1，) C(，1 D(1,0) A A f(x) ax2，由题意知f(x)0 有实数解， 1 x 1ax22x x x0， ax22x10 有实数解 当a0 时，显然满足； 当a0 时，只需44a0， 1a0. 综上知a1. 二、填空题 6函数f(x)x22ln x的递减区间是_ (0,1) 函
4、数f(x)x2 2ln x的 定 义 域 为 (0， )， 令f(x) 2x 2 x 0，得 0x1， 2x1x1 x f(x)的递减区间是(0,1) 7(2019银川诊断)若函数f(x)ax33x2x恰好有三个单调区间，则实数a的取值 范围是_ (3,0)(0，) 由题意知f(x)3ax26x1，由函数f(x)恰好有三个单调区 间，得f(x)有两个不相等的零点，需满足a0，且3612a0，解得a3， 所以实数a的取值范围是(3,0)(0，) 8定义在(0，)上的函数f(x)满足x2f(x)10，f(1)6，则不等式f(lg x) 5 的解集为_ 1 lg x (1,10) 构造g(x)f(x
5、) 5，则g(x)f(x)0，所以 1 x 1 x2 x2fx1 x2 g(x)在(0，)上递增 因为f(1)6，g(1)0， 故g(x)0 的解集为(0,1)，即f(x) 5 的解集为(0,1)， 1 x 由 0lg x1，得 1x10，不等式的解集为(1,10) 三、解答题 9(2019辽南五校联考)函数f(x)xexln xax. (1)若函数yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线y2(e1)(x1)平行， 求实数a的值 ； (2)若函数f(x)在1，)上递增，求实数a的取值范围 解 (1)f(x)(x1)ex a(x0)， 1 x f(1)2e1a2(e1)，所以a1. (2)由函
6、数yf(x)在1，)上递增， 可得f(x)(x1)ex a0 在1，)上恒成立， 1 x 即a(x1)ex 在1，)上恒成立， 1 x 令g(x)(x1)ex ， 1 x 则g(x)(x2)ex0， 1 x2 所以g(x)在1，)上递增， 所以g(x)ming(1)2e1，所以a2e1. 即a的取值范围为(，2e1 10 已知函数f(x)xexa(x1)2(其中 e 为自然对数的底数)， 求函数f(x)的单调区间 解 因为f(x)xexa(x1)2， 所以f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)， 当a0 时，ex2a0， 令f(x)0，解得x1； 令f(x)0，解得x1； 当a0
7、 时，ln(2a)1， 1 2e 令f(x)0，解得x1 或xln(2a)； 令f(x)0，解得 ln(2a)x1； 当a时，f(x)0 恒成立； 1 2e 当a时，ln(2a)1， 1 2e 令f(x)0，解得xln(2a)或x1； 令f(x)0，解得1xln(2a) 综上，当a0 时，f(x)的递增区间是(1，)，递减区间为(，1)； 当a0 时，f(x)的递增区间是(， ln(2a)和(1， )， 递减区间为(ln( 1 2e 2a)，1)； 当a时，f(x)的递增区间是(，)，无递减区间； 1 2e 当a时，f(x)的递增区间是(， 1)和(ln(2a)， )， 递减区间为(1， ln
8、( 1 2e 2a) B B 组 能力提升 1若函数f(x)x2ax 在上是增函数，则a的取值范围是( ) 1 x( 1 2，) A1,0 B1，) C0,3 D3，) D D 据题意当x时，f(x)2xa0 恒成立，分离变量得a2x， ( 1 2，) 1 x2 1 x2 令g(x)2x，易知函数在上为减函数，故g(x)g3，故只需a3 即可，故 1 x2( 1 2，)( 1 2) 选D 2 (2019宜宾模拟)已知函数f(x)xln xx(xa)2(aR R) 若存在x， 使得f(x) 1 2，2 xf(x)成立，则实数a的取值范围是( ) A. B ( 9 4，)( 3 2，) C(，)
9、D(3，)2 C C 由f(x)xf(x)成立， 可得0.设g(x)ln x(xa)2， 则存 fx x fx x 在x，使得g(x)0 成立，即g(x) 2(xa)0 成立，即a min即 1 2，2 1 x(x 1 2x) 可又x2，当且仅当x，即x时取等号，a.故选 C. 1 2x x 1 2x 2 1 2x 2 2 2 3已知函数f(x)x24x3ln x在区间t，t1上不单调，则t的取值范围是 1 2 _ (0,1)(2,3) f(x)x4 ，x 3 x x1x3 x 0. 令g(x)(x1)(x3)，如图 要使f(x)在t，t1上不单调， 只需t1t1 或t3t1， 即 0t1 或
10、 2t3. 4(2018合肥一模)已知f(x)ln(2x1) (aR R) a x (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)ax恒成立，求a的值 解 (1)f(x)的定义域为，f(x). ( 1 2，) 2 2x1 a x2 2x22axa 2x1x2 令g(x)2x22axa，则 若 2x22axa0 的根的判别式0， 即当 0a2 时， 对任意x，g(x)0 ( 1 2，) 恒成立， 即当x时，f(x)0 恒成立， ( 1 2，) f(x)在上递增 ( 1 2，) 若 2x22axa0 的根的判别式0，即当a2 或a0 时，g(x)图像的对称轴为直 线x . a 2 当a0 时， 0
11、，且g 0. a 2( 1 2) 1 2 对任意x，g(x)0 恒成立， ( 1 2，) 即对任意x，f(x)0 恒成立， ( 1 2，) f(x)在上递增 ( 1 2，) 当a2 时， 1，且g 0. a 2( 1 2) 1 2 记g(x)0 的两根分别为x1，x2，且x1 (a) ，x2 (a) 1 2 a22a 1 2 1 2 a22a 当x(x2，)时，g(x)0，当x(x1，x2)时，g(x)0. ( 1 2，x 1) 当x(x2，)时，f(x)0，当x(x1，x2)时，f(x)0. ( 1 2，x 1) f(x)在和(x2，)上递增，在(x1，x2)上递减 ( 1 2，x 1) 综
12、上，当a2 时，f(x)在上递增； ( 1 2，) 当a2 时，f(x)在和上递增，在Error!， ( 1 2， 1 2a a22a) (1 2a a22a，) Error!上递减 (2)f(x)ax恒成立等价于对任意x，f(x)ax0 恒成立 ( 1 2，) 令h(x)f(x)axln(2x1) ax，则h(x)0h(1)恒成立， a x 即h(x)在x1 处取得最大值 h(x). 2ax32ax22axa x22x1 由h(1)0，得a1， 当a1 时，h(x)， 1x2x2x1 x22x1 当x时，h(x)0；当x(1，)时， h(x)0. ( 1 2，1) 当a1 时，h(x)在上递增，在(1，)上递减，从而h(x)h(1)0，符合题 ( 1 2，1) 意 a1.