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1、- 1 - 课后限时集训(二十三) 正弦定理、余弦定理及其应用课后限时集训(二十三) 正弦定理、余弦定理及其应用 (建议用时：60 分钟) A A 组 基础达标 一、选择题 1.如图所示， 已知A，B两点分别在河的两岸， 某测量者在点A所在 的河岸边另选定一点C，测得AC50 m，ACB45，CAB105，则A，B 两点的距离为( ) A50 m B25 m33 C25 m D50 m22 D D 因为ACB45，CAB105，所以B30.由正弦定理可知， AC sin B AB sin C 即，解得AB50 m 50 sin 30 AB sin 45 2 2在ABC中，角A，B，C的对边分别
2、为a，b，c，若 sin A2sin B，cos C ，则 ( 1 4 c a ) A. B6 6 2 C. D3 3 2 B B 在ABC中， 由 sin A2sin B及正弦定理， 得a2b， 再由 cos C 及余弦定理， 1 4 得 ，将ba代入，得 ，化简整理得 2 ， ，故 a2b2c2 2ab 1 4 1 2 a2(a 2) 2c2 2aa 2 1 4( c a) 3 2 c a 6 2 选 B 3(2018永州一模)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若 2sin B sin Asin C，cos B ，且SABC6，则b( ) 3 5 A2 B3 C4 D5 C
3、 C 在ABC中，由正弦定理可得，2bac， 由余弦定理可得， b2a2c22ac (ac)2ac， 3 5 16 5 由 cos B ，得 sin B ， 3 5 4 5 - 2 - 故SABCac 6， 1 2 4 5 由得，b4.故选 C. 4(2018珠海二模)设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且a1，B2A， 则b的取值范围为( ) A(，) B(1，)233 C(，2) D(0,2)2 A A B2A，sin Bsin 2A2sin Acos A. a1， b2acos A2cos A. 又ABC为锐角三角形， Error! A， 6 4 cos A. 2
4、 2 3 2 即b2cos A，故选 A.23 5(2018秦皇岛一模)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos Bacos Cbc，则ABC的形状为( ) A等边三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D直角三角形 D D acos Bacos Cbc， aabc， a2c2b2 2ac a2b2c2 2ab bc， a2c2b2 2c a2b2c2 2b bc， ba2c2b2ca2b2c2 2bc bc， bca2b2c22bc 2bc a2b2c22bc2bc， a2b2c2， ABC为直角三角形 二、填空题 6(2019南宁模拟)ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b
5、，c，若 sin B2sin C， 且a，A，则c_.14 2 3 - 3 - 由 sin B2sin C及正弦定理可得b2c， 在ABC中， 由余弦定理得a2b2c22 2bccos A，则 144c2c24c27c2，解得c. ( 1 2) 2 7(2018陕西二模)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1 b ac ，且b5，5，则ABC的面积是_ sin C sin Asin B AC AB 由1及正弦定理，得1，即b2c2a2bc， 5 3 2 b ac sin C sin Asin B b ac c ab 所以 cos A ，所以A.因为bccos Ac5，所以c2
6、，所以SABC b2c2a2 2bc 1 2 3 AC AB 5 2 bcsin A 52. 1 2 1 2 3 2 5 3 2 8 在ABC中， 点D在边AB上，CDBC，AC5，CD5，BD2AD， 则AD的长为_3 5 在ABC中，BD2AD，设ADx(x0)，则BD2x.在BCD中，因为CDBC，CD5，BD2x， 所以 cosCDB.在ACD中，ADx，CD5，AC5， 则 cosADC CD BD 5 2x 3 AD2CD2AC2 2 ADCD .因为CDBADC， 所以 cosADCcosCDB， 即 x2525 32 2 x 5 x2525 32 2 x 5 ，解得x5，所以A
7、D的长为 5. 5 2x 三、解答题 9(2019武昌模拟)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且 2bcos C2ac. (1)求B； (2)若b2，ac，求ABC的面积5 解 (1)由正弦定理，知 2sin Bcos C2sin Asin C， 由ABC，得 2sin Bcos C2sin(BC)sin C， 化简，得 2sin Bcos C2(sin Bcos Ccos Bsin C)sin C， 即 2cos Bsin Csin C0. 因为 sin C0，所以 cos B . 1 2 因为 0B，所以B. 2 3 (2)由余弦定理b2a2c22accos B，可知b2(a
8、c)22ac2accos B， 因为b2，ac，所以 22()22ac2accos ，得ac1.55 2 3 所以SABCacsin B 1. 1 2 1 2 3 2 3 4 - 4 - 10.如图， 在平面四边形ABCD中，AB2，AC2， ADC3 CAB90，设ACD. (1)若60，求BD的长度； (2)若ADB30，求tan . 解 (1)在 RtADC中，AC2，ACD60， ADACsin 60.3 又在ABD中，AB2，BAD120，3 BD2AD2AB22ADABcosBAD ()2(2)222cos 12021，3333 BD.21 (2)在 RtADC中，ACD，AC2，
9、 ADACsin 2sin . 又在ABD中，ADB30，CAB90， CADABD180ADBCAB60， ABD60CAD60(90)30. 在ABD中，由正弦定理得， AD sinABD AB sinADB 即4， 2sin sin30 AB sin 30 3 2， sin 3 2 sin 1 2cos 3 2sin cos ，3 tan . 3 2 B B 组 能力提升 1(2019郑州模拟)某人在C点测得某塔在南偏西 80，塔顶仰角为 45，此人沿南 偏东 40方向前进 10 米到D，测得塔顶A的仰角为 30，则塔高为(测仰角的仪器距地面的 距离忽略不计)( ) A15 米 B5 米
10、 C10 米 D12 米 C C 如图，设塔高为h，在 RtAOC中，ACO45， 则OCOAh. 在 RtAOD中，ADO30， 则ODh.3 - 5 - 在OCD中，OCD120，CD10， 由余弦定理，得 OD2OC2CD22OCCDcosOCD， 即(h)2h21022h10cos 120，3 h25h500， 解得h10 或h5(舍去) 2(2019衡水模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其 中a为最大边，如果 sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为( ) A. B (0， 2)( 4 ， 2) C. D ( 6 ， 3)( 3 ，
11、2) D D 由题意得 sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a2b2c2，即b2c2a20，则 cos A 0.0A， 0A.又a为最大边， A.因此得角A的取值范围是 b2c2a2 2bc 2 3 . ( 3 ， 2) 3 数学九章三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上； 以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积” 秦九韶把三角形的三 条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法以S，a，b，c分别表示三角形的面积、大 斜 、 中 斜 、 小 斜 ，ha，hb，hc分 别 为 对 应 的 大 斜 、 中 斜 、 小 斜 上 的 高 ， 则S
12、ahabhbchc. 1 4a 2 c2(a 2c2b2 2) 2 1 2 1 2 1 2 若在ABC中，ha，hb2，hc3，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径3 为_ 由ahabhbchc，得a2b3c，则abc232，令a2k，b3k，c 144 3 143 1 2 1 2 1 2 333 2k(k0)，代入Saha，得6k，解得k.又 1 4a 2 c2(a 2c2b2 2) 2 1 2 48k449k 4 4 12 143 由余弦定理， 得 cos A， 则 sin A， 所以三角形ABC外接圆的 b2c2a2 2bc 9412 12 1 12 143 12 直径 2R，即R
13、. a sin A 2 3 k 143 12 24 3 143 12 143 288 3 143 144 3 143 4(2019太原一模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. a cos Csin B b sin B c cos C (1)求 sin(AB)sin Acos Acos(AB)的最大值； - 6 - (2)若b，当ABC的面积最大时，求ABC的周长2 解 (1)由，得，所以abcos C a cos Csin B b sin B c cos C a cos Csin B bcos Ccsin B sin Bcos C csin B，即 sin Asin Bcos
14、 Csin Csin B， 又 sin Asin(BC)sin Bcos Csin Ccos B，所以 cos Bsin B，因为B(0，)，所以B ， 4 则 sin(AB)sin Acos Acos(AB)(sin Acos A)sin Acos A， 令tsin A2 cos A，因为 sin Acos Asin，0A ，所以 0t，2 (A 4) 3 4 2 sin(AB)sin Acos Acos(AB)t2t (t)2 ， 1 2 2 1 2 1 2 2 3 2 所以当t，即A时，上式取得最大值，为 .2 4 5 2 (2)结合(1)得Sacsin Bac，b2a2c22accos B，即 2a2c2ac(2 1 2 2 4 22 )ac，ac2，当且仅当ac时等号成立，所以Smax，此时ac，22 2 21 2 2 2 所以周长Labc2.2 22