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1、- 1 - 课后限时集训(三十一) 数列求和课后限时集训(三十一) 数列求和 (建议用时：60 分钟) A 组 基础达标 一、选择题 1等差数列an中，已知公差d ，且a1a3a9950，则a2a4a100( ) 1 2 A50 B75 C100 D125 B an是等差数列，公差d ， 1 2 a2a4a100(a1a3a99)50d5050 75. 1 2 211 的值为( ) (1 1 2) (1 1 2 1 4) 1 2 1 4 1 210 A18 B20 1 29 1 210 C22 D18 1 211 1 210 B 设an1 2. 1 2 1 4 1 2n1 1 1( 1 2)
2、n 11 2 1( 1 2) n 则原式a1a2a11 222 1( 1 2) 1 1( 1 2) 2 1( 1 2) 11 211(1 2 1 22 1 211) 211 1 2 (1 1 211) 11 2 211(1 1 211) 220. (111 1 211) 1 210 3已知等比数列an的前n项和为Sn，若S37，S663，则数列nan的前n项和为( ) A3(n1)2n B3(n1)2n C1(n1)2n D1(n1)2n D 设等比数列an的公比为q，S37，S663，q1， Error!解得Error!an2n1， nann2n1， 设数列nan的前n项和为Tn，Tn122
3、322423(n1)2n2n2n1， - 2 - 2Tn2222323424(n1)2n1n2n， 两式相减得Tn1222232n1n2n2n1n2n(1n)2n1， Tn1(n 1)2n，故选 D. 4(2019湘潭模拟)已知Sn为数列an的前n项和，若a12 且Sn12Sn，设bnlog2an， 则的值是( ) 1 b1b2 1 b2b3 1 b2 017b2 018 A. B. 4 035 2 018 4 033 2 017 C. D. 2 017 2 018 2 016 2 017 B 由Sn12Sn可知， 数列Sn是首项为S1a12， 公比为2的等比数列， 所以Sn2n.当n2 时，
4、anSnSn12n2n12n1.bnlog2anError!当n2 时， 1 bnbn1 1 n1n 1 n1 ，所以11 2. 1 n 1 b1b2 1 b2b3 1 b2 017b2 018 1 2 1 2 1 3 1 2 016 1 2 017 1 2 017 4 033 2 017 故选 B. 5已知函数f(x)xa的图象过点(4,2)，令an，nN*，记数列an的 1 fn1fn 前n项和为Sn，则S2 019( ) A.1 B.12 0182 019 C.1 D.12 0202 020 C 由f(4)2 得 4a2，解得a ，则f(x)x. 1 2 1 2 an， 1 fn1fn
5、1 n1n n1n S2 019a1a2a3a2 019()()()()2132432 0202 019 1.2 020 二、填空题 6设数列an 的前n项和为Sn，且ansin，nN*，则S2 018_. n 2 1 ansin，nN*，显然每连续四项的和为 0. n 2 S2 018S4504a2 017a2 0180101. 7已知数列an满足a11，an1an2n(nN*)，则S2 018_. 321 0093 数列an满足a11，an1an2n， n1 时，a22，n2 时，anan12n1， 由得2， an1 an1 数列an的奇数项、偶数项分别成等比数列， S2 018321 0
6、093. 121 009 12 2121 009 12 8设Sn1357(1)n1(2n1)(nN*)，则Sn_. - 3 - (1)n1n 当n为偶数时，Sn(13)(57)(2n3)(2n1) (2222)2 n. n 2 当n为奇数时，Sn(13)(57)(2n5)(2n3)(2n1) 2(2n1)n. n1 2 Sn(1)n1n. 三、解答题 9(2018开封一模)已知数列an满足a11，且 2nan12(n1)ann(n1) (1)求数列an的通项公式； (2)若bn，求数列bn的前n项和Sn. 1 an 解 (1)由已知可得 ， an1 n1 an n 1 2 数列是以 1 为首项
7、， 为公差的等差数列， an n 1 2 ，an. an n n1 2 nn1 2 (2)bn，bn2， 1 an 2 nn1( 1 n 1 n1) Sn2(11 2)( 1 2 1 3)( 1 n 1 n1) 2(1 1 n1) . 2n n1 10(2018洛阳一模)已知各项均不为零的数列an的前n项和为Sn，且对任意的nN*，满 足Sna1(an1) 1 3 (1)求数列an的通项公式； (2)设数列bn满足anbnlog2an，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn . 8 9 解 (1)当n1 时，a1S1a1(a11)aa1， 1 3 1 3 2 1 1 3 a10，a14. Sn
8、(an1)，当n2 时，Sn1 (an11)， 4 3 4 3 两式相减得an4an1(n2)， 数列an是首项为 4，公比为 4 的等比数列，an4n. (2)证明：anbnlog2an2n，bn， 2n 4n Tn， 2 41 4 42 6 43 2n 4n - 4 - Tn， 1 4 2 42 4 43 6 44 2n 4n1 两式相 减得Tn 2 2 3 4 2 4 2 42 2 43 2 44 2 4n 2n 4n1( 1 4 1 42 1 43 1 44 1 4n) 2n 4n1 . 1 4(1 1 4n) 11 4 2n 4n1 2 3 2 3 4n 2n 4n1 2 3 6n8
9、 3 4n1 Tn . 8 9 6n8 9 4n 8 9 B 组 能力提升 1 (2018石家庄一模)已知函数f(x)的图象关于x1 对称， 且f(x)在(1， )上单调， 若数列an是公差不为 0 的等差数列，且f(a50)f(a51)，则an的前 100 项的和为( ) A200 B100 C0 D50 B 因为函数f(x)的图象关于x1 对称，又函数f(x)在(1，)上单调，数列an是 公差不为 0 的等差数列， 且f(a50)f(a51)， 所以a50a512， 所以S100 100a1a100 2 50(a50a51)100，故选 B. 2 (2019郑州模拟)在数列an中， 若对任
10、意的nN*均有anan1an2为定值， 且a72，a9 3，a984，则数列an的前 100 项的和S100( ) A132 B299 C68 D99 B 因为在数列an中，若对任意的nN*均有anan1an2为定值，所以an3an，即数 列an中各项是以 3 为周期呈周期变化的 因为a72，a93，a98a3308a84， 所以a1a2 a3a7a8a92439， 所以S10033(a1a2a3)a100339a7299， 故选 B. 3 (2019济南模拟)如图， 将平面直角坐标系中的格点(横、纵 坐标均为整数的点)按如下规则标上标签：原点处标数字 0， 记为a0； 点(1,0)处标数字
11、1，记 为a1；点(1， 1)处标数字 0，记为a2；点(0， 1)处标数字1， 记为a3；点(1， 1)处标数字2，记为a4；点( 1,0)处标数字1，记为a5；点(1,1)处标数字 0， 记为a6；点 (0,1) 处标数字 1，记为a7；以此类推，格点坐标为(i，j)的点处所 标的数字为ij(i，j均为整数)，记Sna1a2an， 则S2 018_. 249 设an的坐标为(x，y)，则anxy.第一圈从点(1,0)到点(1,1)共 8 个点，由对称性 可知a1a2a80； 第二圈从点(2,1)到点(2,2)共 16 个点， 由对称性可知a9a10 a240，以此类推，可得第n圈的 8n个
12、点对应的这 8n项的和也为 0.设a2 018在第k圈， 则 8168k4k(k1)，由此可知前 22 圈共有 2 024 个数，故S2 0240，则S2 018S2 024(a2 024a2 023a2 019)，a2 024所在点的坐标为(22,22)，a2 0242222，a2 023所在点的 坐标为(21,22)，a2 0232122，以此类推，可得a2 0222022，a2 0211922，a2 0201822，a2 0191722，所以a2 024a2 023a2 019249，故S2 018249. - 5 - 4各项均为正数的数列an的首项a1，前n项和为Sn，且Sn1Sna.
13、 1 2n1 (1)求an的通项公式； (2)若数列bn满足bnnan，求bn的前n项和Tn. 解 (1)因为Sn1Sna， 2n1 所以当n2 时，SnSn1a， 2n 得，an1anaa，即an1an(an1an)(an1an)， 2n12n 因为an的各项均为正数，所以an1an0，且0， 所以an1an(n2) 1 由知，S2S1a，即 2a1a2a，又a1，所以a2. 2 22 2 1 2 所以a2a1. 1 故an1an(nN*)， 1 所以数列an是首项为，公差为的等差数列， 1 1 所以an(n1). 1 1 n (2)由(1)得an，所以bnnn1， n 所以Tn1232(n1)n2nn1， Tn2233(n1)n1nn， 得(1)Tn12n1nn， 当0 且1 时，(1)Tnnn， 1n 1 得Tn， 1n 12 nn 1 当1 时，由得Tn123(n1)n. nn1 2 n2n 2 综上，数列bn的前n项和TnError!