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1、- 1 - 课后限时集训(三十三) 基本不等式课后限时集训(三十三) 基本不等式 (建议用时：60 分钟) A A 组 基础达标 一、选择题 1“x1”是“x 2”的( ) 1 x A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A A x 2x0，所以“x1”是“x 2”的充分不必要条件，故选 A. 1 x 1 x 2已知x0，y0，且 4xyxy，则xy的最小值为( ) A8 B9 C12 D16 B B 由 4xyxy得 1，则xy(xy) 14259，当且 4 y 1 x( 4 y 1 x) 4x y y x 4 仅当 ，即x3，y6 时取“” ，故选 B 4x
2、 y y x 3已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则 的最小值为( ) 1 x 1 3y A2 B2 C4 D223 C C lg 2xlg 8ylg(2x8y) lg 2x3ylg 2， 2x3y2，即x3y1. x0，y0， (x3y)2224， 1 x 1 3y( 1 x 1 3y) 3y x x 3y 3y x x 3y 当且仅当x3y 时等号成立 1 2 的最小值为 4.故选 C. 1 x 1 3y 4设a1，b1，且ab(ab)1，那么( ) Aab有最小值 2(1)2 Bab有最大值(1)22 Cab有最大值12 Dab有最小值 2(1)2 A A 因为ab(ab)1
3、，ab 2 ， ( ab 2) 所以 2 (ab)1，它是关于ab的一元二次不等式， ( ab 2) 解得ab2(1)或ab2(1)(舍去)，22 - 2 - 所以ab有最小值 2(1)2 又因为ab(ab)1，ab2，ab 所以ab21，它是关于的一元二次不等式，abab 解得1 或1(舍去)，ab2ab2 所以ab32，即ab有最小值 32.22 5已知关于x的不等式x24ax3a20(a0)的解集为(x1，x2)，则x1x2的最 a x1x2 大值是( ) A. B C. D 6 3 2 3 3 4 3 3 4 3 3 D D 不等式x24ax3a20(a0)的解集为(x1，x2)，在方
4、程x24ax3a20 中， 由根与系数的关系知x1x23a2，x1x24a， 则x1x24a.a0， 2 a x1x2 1 3a(4a 1 3a) ，即 4a，故x1x2的最大值为.故选 D4a 1 3a 4 3 3 1 3a 4 3 3 a x1x2 4 3 3 二、填空题 6若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_ x x23x1 对任意x0，a恒成立， 1 1 5 5， ) x x23x1 对x(0，)，a max， ( x x23x1) 而对x(0，)， ， x x23x1 1 x1 x3 1 2x1 x3 1 5 当且仅当x 时等号成立，a . 1 x 1 5 7 (2019石家庄
5、模拟)已知正数a，b满足 4ab30， 使得 取最小值的实数对(a，b) 1 a 4 b 是_ 正数a，b满足 4ab30， ( 1 15 5 4 4 ，1 15 5) (4ab)， 1 a 4 b 1 30( 1 a 4 b) 1 30(8 b a 16a b) 1 30(82 b a 16a b) 8 15 当且仅当b4a15 时，取等号 使得 取最小值的实数对(a，b)是. 1 a 4 b( 15 4 ，15) 8某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储 费用为 4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_ - 3 - 30 一
6、年的总运费为 6(万元) 600 x 3 600 x 一年的总存储费用为 4x万元 总运费与总存储费用的和为万元 ( 3 600 x 4x) 因为4x2240，当且仅当4x，即x30 时取得等号， 3 600 x 3 600 x 4x 3 600 x 所以当x30 时，一年的总运费与总存储费用之和最小 三、解答题 9已知x0，y0，且 2x5y20. (1)求ulg xlg y的最大值； (2)求 的最小值 1 x 1 y 解 (1)因为x0，y0， 所以由基本不等式，得 2x5y202.10xy 即xy10，当且仅当 2x5y时等号成立，此时x5，y2， 所以ulg xlg ylg(xy)l
7、g 101. 所以当x5，y2 时，ulg xlg y有最大值 1. (2)因为x0，y0，所以 1 x 1 y( 1 x 1 y) 2x5y 20 1 20(7 5y x 2x y) 1 20(72 5y x 2x y) ，当且仅当时等号成立 72 10 20 5y x 2x y 所以 的最小值为. 1 x 1 y 72 10 20 10某厂家拟在 2019 年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该 厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3(k为常数)， 如果不搞促销活动， k m1 则该产品的年销售量只能是 1 万件已知生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产
8、一万件该 产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产 品成本包括固定投入和再投入两部分资金) (1)将 2019 年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家 2019 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m0 时，x1(万件)， 则 13k，解得k2，x3. 2 m1 每件产品的销售价格为 1.5(元)， 816x x - 4 - 2018 年的利润y1.5x816xm29(m0) 816x x 16 m1m1 (2)当m0 时，m10，(m1)28，当且仅当m3 时等号成立 16 m1 1
9、6 y82921， 当且仅当m1，即m3 万元时，ymax21(万元) 16 m1 故该厂家 2019 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为 21 万元 B B 组 能力提升 1若x ，则f(x)4x( ) 1 2 1 2x1 A有最小值 22 B有最大值 2222 C有最小值 22 D有最大值 2222 D D 由题可知，f(x)2(2x1)2，因为x ，所以 2x10. 1 2x1 1 2 所以2(2x1)2(12x)22， 1 2x1 1 12x 212x 1 12x 2 当且仅当2(2x1)，即x时等号成立 1 2x1 2 2 4 所以f(x)22，即f(x)有最大值 22.
10、22 2 (2019西安模拟)若ABC的内角满足 sin Asin B2sin C， 则 cos C的最小值是( 2 ) A. B 6 2 4 6 2 4 C. D 6 2 2 6 2 2 A A 由正弦定理，得ab2c.2 所以 cos Ca 2b2c2 2ab a2b2(a 2 b 2) 2 2ab 3a22b22 2ab 8ab . 2 6 ab2 2ab 8ab 6 2 4 当且仅当 3a22b2，即ab时，等号成立32 所以 cos C的最小值为. 6 2 4 3(2018天津高考)已知a，bR R，且a3b60，则 2a的最小值为_ 1 8b - 5 - a3b6，2a2a23b
11、1 1 4 4 1 8b 222223 ，2a23b2a3b26 1 4 当且仅当Error!即a3，b1 时等号成立 4(2019成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库 之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为多少千米时，运费与 仓储费之和最小，最小为多少万元？ 解 设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1 k1x(k10)，y2(k20)， k2 x 工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费用为 5 万元， k15，k220，运费与仓储费之和为万元， (5x 20 x) 5x220，当且仅当 5x，即x2 时，运费与仓储费之和最小， 20 x 5x 20 x 20 x 为 20 万元