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1、- 1 - 课后限时集训(四十) 垂直关系课后限时集训(四十) 垂直关系 (建议用时：60 分钟) A A 组 基础达标 一、选择题 1已知平面与平面相交，直线m，则( ) A内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直 B内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 C内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直 D内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 C C 如图，在平面内的直线若与，的交线a平行，则有m 与之垂直但却不一定在内有与m平行的直线，只有当时才 存在故选 C. 2设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面下列 命题中正确的是( ) A若，m，n，则mn B若，m，n，
2、则mn C若mn，m，n，则 D若m，mn，n，则 D D 若，m，n，则m与n可能平行，故 A 错 ； 若，m， n， 则m与n可能平行，也可能异面， 故 B 错；若mn，m，n则与可能相 交，也可能平行，故 C 错；对于 D 项，由m，mn，得n，又知n，故， 所以 D 项正确 3(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( ) AA1EDC1 BA1EBD CA1EBC1 DA1EAC C C 如图，A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，选项 B，D 错误 ； A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1CBC1， A1EBC1
3、，故选项 C 正确； (证明：由条件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC， BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1) A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E， 而D1E不与DC1垂直，故选项A 错误 故选 C. 4(2019长春质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦 - 2 - 值为( ) A1 B 3 2 C. D 2 2 1 2 D D 如图所示：连接A1D，AD1交于点O，连接OC1， 在正方体中，AB平面AD1， ABA1D 又A1DAD1，且AD1ABA， A1D平面AD1C1B， 又OC1平面AD1C
4、1B， A1DOC1， 所以A1C1O即为所求角， 在 RtA1C1O中，sinA1C1O ， 1 2 所以A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为 ，故选 D 1 2 5.如图， 在四面体DABC中， 若ABCB，ADCD，E是AC的中点， 则下列正确的是( ) A平面ABC平面ABD B平面ABD平面BDC C平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDE D平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE C C 因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE. 因为AC在平面ABC内， 所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD， 所以平面ACD平面B
5、DE， 所以选 C. 二、填空题 6如图所示，BAC90，PC平面ABC，则在ABC，PAC 的边所在的直线中，与PC垂直的直线是_；与AP垂直的直 线是_ AB，BC，AC AB PC平面ABC， PC垂直于直线AB，BC，AC. ABAC，ABPC，ACPCC， AB平面PAC， ABAP，故与AP垂直的直线是AB - 3 - 7如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动 点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可) DMPC(或BMPC) 连接AC，BD， 则ACBD， PA底面ABCD， PABD 又PAACA
6、，BD平面PAC，BDPC. 当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD 而PC平面PCD， 平面MBD平面PCD 8(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 ，SA与圆锥 7 8 底面所成角为 45.若SAB的面积为 5，则该圆锥的侧面积为_15 40 如图所示，设S在底面的射影为S，连接AS，2 SS.SAB的面积为 SASBsinASB SA2 1 2 1 2 1cos2ASB SA25，SA280，SA4.SA与底面所成的角为 45， 15 16 155 SAS45，ASSAcos 4542.底面周长l2AS4，5 2 2 1010 圆锥的侧面积为 44
7、40. 1 2 5102 三、解答题 9(2018江苏高考)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1 AB，AB1B1C1. 求证：(1)AB平面A1B1C； (2)平面ABB1A1平面A1BC. 证明 (1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面 A1B1C，所以AB平面A1B1C. (2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形 又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B 又因为AB1B1C1，BCB1C1， 所以AB1BC. 又因为A1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1B
8、C， 所以AB1平面A1BC. 因为AB1平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1平面A1BC. 10.(2019辽宁五校联考)如图所示， 等腰梯形ABCD的底 - 4 - 角A等于60，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，EDA90，且EDAD2AB2AF. (1)证明：平面ABE平面EBD； (2)若三棱锥ABDE的外接球的体积为，求三棱锥ABEF的体积 8 2 3 解 (1)证明：平面ADEF平面ABCD， 平面ADEF平面ABCDAD，EDAD，ED平面ADEF， ED平面ABCD， AB平面ABCD，ABED， 设AD2a，则ABa，又BAD60，ABBD 又BDEDD，B
9、D平面EBD，ED平面EBD， AB平面EBD， 又AB平面ABE，平面ABE平面EBD (2)由(1)得ADDE，ABBE， 三棱锥ABDE的外接球的球心为线段AE的中点 3 ，解得AE2，则ADED2，ABAF1， 4 3( AE 2) 8 2 3 2 VABEFVBAEF 12. 1 3 1 2 3 2 3 6 B B 组 能力提升 1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC， 则点C1 在平面ABC上的射影H必在( ) A直线AB上 B直线BC上 C直线AC上 DABC的内部 A A 连接AC1(图略)，因为ACAB，ACBC1，ABBC1B，所以AC平面ABC1
10、，又AC 平面ABC， 所以平面ABC1平面ABC， 所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上， 故选 A. 2.如图，四棱锥PABCD中，PAB与PBC是正三角形， 平面PAB平面PBC，ACBD， 则下列结论不一定成立的是( ) APBAC BPD平面ABCD CACPD D平面PBD平面ABCD B B 如图，对于选项 A，取PB的中点O，连接AO，CO. - 5 - 在四棱锥PABCD中， PAB与PBC是正三角形， 平面PAB平面PBC， AOPB，COPB， AOCOO.PB平面AOC， AC平面AOC，PBAC，故选项 A 正确； 对于选项 B，设AC与BD交于点M
11、，易知M为AC的中点，若PD平面ABCD，则PDBD， 由已知条件知点D满足ACBD且位于BM的延长线上，点D的位置不确定，PD与BD不一 定垂直，PD平面ABCD不一定成立，故选项 B 不正确； 对于选项 C，ACPB，ACBD，PBBDB，AC平面PBD， PD平面PBD，ACPD，故选项 C 正确； 对于选项 D，AC平面PBD，AC平面ABCD， 平面PBD平面ABCD，故选项 D 正确故选 B 3如图所示，在正方形ABCD中，AC为对角线，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的 中点现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后 的点记为H.下列说
12、法错误的是_(将符合题意的序号填到横线上) AGEFH所在平面；AHEFH所在平面；HFAEF所在平面；HGAEF 所在平面 根据折叠前ABBE，ADDF可得折叠后AHHE，AHHF，可得AH平面EFH， 即正确；过点A只有一条直线与平面EFH垂直，不正确；AGEF，AHEF，EF 平面HAG， 平面HAG平面AEF， 过H作直线垂直于平面AEF， 该直线一定在平面HAG内， 不正确；HG不垂直AG，HG平面AEF不正确，不正确，综上，说法错误的是. 4.如图，在底面是菱形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABC60，AA1AC2，A1BA1D2 ，点E在A1D上2 (1)证明：AA1平面A
13、BCD； (2)当为何值时，A1B平面EAC，并求出此时直线A1B与平 A1E ED 面EAC之间的距离 解 (1)证明：因为四边形ABCD是菱形，ABC60， 所以ABADAC2， 在AA1B中， 由AAAB2A1B2，知AA1AB， 2 1 - 6 - 同理AA1AD，又ABADA， 所以AA1平面ABCD (2)当1 时，A1B平面EAC.证明如下： A1E ED 如图，连接BD交AC于点O，当1，即点E为A1D的中点 A1E ED 时，连接OE， 则OEA1B， 又A1B平面EAC， 所以A1B平面EAC. 直线A1B与平面EAC之间的距离等于点A1到平面EAC的距 离，因为E为A1D的中点，所以点A1到平面EAC的距离等于点D 到平面EAC的距离，VDEACVEACD， 设AD的中点为F， 连接EF， 则 EFAA1， 且EF1， 所以EF平面ACD， 又ACD为边长为 2 的等边三角形， 所以可求得SACD ，所以VEACD 1.3 1 3 3 3 3 又AE，AC2，CE2，所以SEAC，所以SEACd(d表示点D2EF2CF2 7 2 1 3 3 3 到平面EAC的距离)，解得d，所以直线A1B与平面EAC之间的距离为. 2 21 7 2 21 7