《2020版高考数学一轮复习课后限时集训50抛物线理含解析新人教A版2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学一轮复习课后限时集训50抛物线理含解析新人教A版2.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、- 1 - 课后限时集训(五十) 抛物线课后限时集训(五十) 抛物线 (建议用时：60 分钟) A 组 基础达标 一、选择题 1(2019哈尔滨模拟)过点F(0,3)且和直线y30 相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) Ay212x By212x Cx212y Dx212y D 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以F(0,3)为焦点，以y3 为准线的抛物线， 其方程为x212y.故选 D. 2直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长 是 8，AB的中点到y轴的距离是 2，则此抛物线的方程是( ) Ay212x By28x Cy26x Dy24x B 设A
2、(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|(x1x2)p8.又AB的中点 到y轴的距离为 2，2， x1x2 2 x1x24，p4，所求抛物线的方程为y28x.故选 B. 3已知点F是抛物线y24x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5,3)，则|PF|PM|的最 小值是( ) A6 B5 C4 D3 A 由题意知，抛物线的准线l的方程为x1，过点P作PEl于点E，由抛物线的定义， 得|PE|PF|，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，|PF|PM|取得最小值，即(|PF| |PM|)min5(1)6，故选 A. 4若点(3,1)是抛物线y22px(p0)的一条弦的中点，
3、且这条弦所在直线的斜率为 2，则p 的值是( ) A1 B2 C3 D4 B 设过点(3,1)的直线交抛物线y22px(p0)于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Error! 由得yy2p(x1x2)，即，由题意知kAB2，且y1y22，故kAB 2 12 2 y1y2 x1x2 2p y1y2 2，所以py1y22. 2p y1y2 5已知抛物线C：y24x，过点P(1,0)任作一直线交抛物线于A，B两点，点C为B关于x 轴的对称点，则直线AC恒过定点( ) A(1,0) B(0,1) C(2,0) D.(1 2，0) A 设直线AB的方程为xmy1， 与抛物线的方程联立，
4、得y24my40， 设A(x1，y1)，B(x2， - 2 - y2)，则C(x2，y2)，所以y1y24，又x1x2，则直线AC的方程为yy2 y1y2y1y2 4 y1y2 x1x2 (xx2)，所以yy2，整理得y(y1y2)4(x1)，即直线AC恒过定点(1,0)， 4 y1y2(x y2 2 4) 故选 A. 二、填空题 6已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点， 若FPM为边长是 4 的等边三角形，则此抛物线的方程为_ x24y FPM为等边三角形，则|PM|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线， 设P，则点M，因为焦点F，FP
5、M是等边三角形， (m， m2 2p)(m， p 2)(0， p 2) 所以Error! 解得Error!因此抛物线方程为x24y. 7 过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点， 若|AF|2|BF|6， 则p _. 4 设AB的方程为xmy ，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，将直线AB的方程代入抛物 p 2 线方程得y22pmyp20，所以y1y2p2,4x1x2p2.设抛物线的准线为l，过A作ACl， 垂足为C， 过B作BDl， 垂足为D， 因为|AF|2|BF|6， 根据抛物线的定义知， |AF|AC|x1 6，|BF|BD|x2 3， p 2 p
6、2 所以x1x23，x1x29p， 所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2， 即18p720， 解得p4. 8.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m当水面宽为 2 m 时， 水6 位下降了_m. 1 以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标 系，设抛物线的标准方程为x22py(p0)，把(2，2)代入方程得p1， 即抛物线的标准方程为x22y.将x代入x22y得 ：y3，又6 3(2)1， 所以水面下降了 1 m 三、解答题 9 已知过抛物线y22px(p0)的焦点， 斜率为 2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x12
7、x2)两点，且|AB|9. (1)求该抛物线的方程； (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值OC OA OB 解 (1)由题意得直线AB的方程为y2， 与y22px联立， 消去y有4x25pxp20，2(xp 2) 所以x1x2. 5p 4 由抛物线定义得|AB|x1x2pp9，所以p4，从而该抛物线的方程为y28x. 5p 4 - 3 - (2)由(1)得 4x25pxp20，即x25x40，则x11，x24，于是y12，y24，22 从而A(1， 2)，B(4,4) 设C(x3，y3)， 则(x3，y3)(1， 2)(4,4)(41, 422OC 22 2)22 又y8x3， 所
8、以2(21)28(41)， 整理得(21)241， 解得0 或2. 2 3 2 10(2017全国卷)设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为 4. x2 4 (1)求直线AB的斜率； (2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程 解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x2，y1，y2，x1x24， x2 1 4 x2 2 4 于是直线AB的斜率k1. y1y2 x1x2 x1x2 4 (2)由 y，得y . x2 4 x 2 设M(x3，y3)，由题设知1，解得x32，于是M(2,1) x3 2 设直线AB的方程为yxm， 故
9、线段AB的中点为N(2,2m)，|MN|m1|. 将yxm代入y得x24x4m0. x2 4 当16(m1)0，即m1 时，x1,222.m1 从而|AB|x1x2|4.22m1 由题设知|AB|2|MN|，即 42(m1)，解得m7.2m1 所以直线AB的方程为yx7. B 组 能力提升 1(2018洛阳一模)已知F是抛物线C1：y22px(p0)的焦点，曲线C2是以F为圆心， 为 p 2 半径的圆， 直线 4x3y2p0 与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D， 则( ) |AB| |CD| A16 B4 C. D. 8 3 5 3 A 因为直线4x3y2p0过C1的焦点F(C
10、2的圆心)， 故|BF|CF| ， 所以. p 2 |AB| |CD| |AF|p 2 |DF|p 2 由抛物线的定义得|AF| xA，|DF| xD. p 2 p 2 由Error!整理得 8x217px2p20， 即(8xp)(x2p)0， 可得xA2p，xD ， 故 p 8 |AB| |CD| xA xD - 4 - 16.故选 A. 2p p 8 2(2019惠州一调)设抛物线y24x的焦点为F，过点(2,0)的直线交抛物线于A，B两点， 与抛物线的准线交于点C，若 ，则|AF|( ) S ACF S BCF 2 5 A. B4 2 3 C3 D2 D 设过点(2,0)的直线l：yk(
11、x2)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入抛物 线方程得，k2x24(1k2)x4k20，由根与系数的关系得x1x24， 分别过点A，B作准线的垂线AA1，BB1，垂足分别为点A1，B1(图略)， ， S ACF S BCF |AC| |BC| |AA1| |BB1| |AF| |BF| x11 x21 2 5 即 5x12x230， 由得x11 或x1 (舍去)， 8 5 |AF|2，故选 D. 3 过抛物线C：y24x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点， 与准线交于点M， 且3FM ，则|_.FP FP 过点P作PP1垂直准线于P1， 由3得|PM|2|PF|
12、， 又由抛物线的定义知|PF|PP1|， 4 3 FM FP 所以|PM|2|PP1|.由三角形相似得 ，所以|PP1| ，所以| . |PP1| p |PP1| 2 |MP| |MF| 2 3 4 3 FP 4 3 4 (2016全国卷)在直角坐标系xOy中， 直线l：yt(t0)交y轴于点M， 交抛物线C：y2 2px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H. (1)求； |OH| |ON| (2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由 解 (1)如图，由已知得M(0，t)，P. ( t2 2p，t) 又N为M关于点P的对称点， 故N， ( t2 p ，t) 故直线ON的方程为yx， p t 将其代入y22px整理得px22t2x0, 解得x10，x2.因此H. 2t2 p( 2t2 p ，2t) - 5 - 所以N为OH的中点，即2. |OH| |ON| (2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下： 直线MH的方程为ytx，即x(yt) p 2t 2t p 代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t， 即直线MH与C只有一个公共点， 所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点