《2020版高考数学一轮复习课后限时集训52圆锥曲线中的定点定值范围最值问题理含解析新人教A版2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学一轮复习课后限时集训52圆锥曲线中的定点定值范围最值问题理含解析新人教A版2.pdf（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、- 1 - 课后限时集训(五十二) 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题课后限时集训(五十二) 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题 (建议用时：60 分钟) 1(2018北京高考)已知抛物线C：y22px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C 有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N. (1)求直线l的斜率的取值范围； (2)设O为原点，求证：为定值QM QO QN QO 1 1 解 (1)因为抛物线y22px过点(1,2)， 所以 2p4，即p2. 故抛物线C的方程为y24x. 由题意知，直线l的斜率存在且不为 0. 设直线l的方程为ykx1(k
2、0) 由Error!得k2x2(2k4)x10. 依题意(2k4)24k210， 解得k0 或 0k1. 又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2) 从而k3. 所以直线l斜率的取值范围是(，3)(3,0)(0,1) (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2) 由(1)知x1x2，x1x2. 2k4 k2 1 k2 直线PA的方程为y2(x1) y12 x11 令x0，得点M的纵坐标为yM22. y12 x11 kx11 x11 同理得点N的纵坐标为yN2. kx21 x21 由，得1yM，1yN.QM QO QN QO 所以 1 1 1 1yM 1 1yN x11 k1x1 x2
3、1 k1x2 1 k1 2x1x2x1x2 x1x2 2. 1 k1 2 k2 2k4 k2 1 k2 所以为定值 1 1 - 2 - 2已知椭圆Q：y21(a1)，F1，F2分别是其左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与椭 x2 a2 圆Q有且仅有两个交点 (1)求椭圆Q的方程； (2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交 于点P，点P横坐标的取值范围是，求|AB|的最小值 1 4，0) 解 (1)由题意可知cb1，则a.2 故椭圆的方程为y21. x2 2 (2)设直线l方程为yk(x1)(k0)，代入y21， x2 2 得(12k2)x24k
4、2x2k220. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)， x1x2，x1x2. 4k2 12k2 2k22 12k2 x0 (x1x2)，y0k(x01). 1 2 2k2 12k2 k 12k2 AB的垂直平分线方程为yy0 (xx0) 1 k 令y0，得xPx0ky0 ， 1 2 1 4k22 xP， 1 4，0) 0. 1 4 1 2 1 4k22 0k2 . 1 2 |AB|x2x1|1k2 1k2 16k442k212k22 2k21 2，21 2 1 22k21 3 2 2 |AB|的最小值|AB|min. 3 2 2 3已知椭圆C的两个焦点为F1(1,0
5、)，F2(1,0)，且经过点E. ( 3， 3 2) (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)， 若， 且 23，AF1 F1B 求直线l的斜率k的取值范围 解 (1)根据题意，设椭圆C的标准方程为1(ab0)，则Error! x2 a2 y2 b2 - 3 - 解得Error! 所以椭圆C的方程为1. x2 4 y2 3 (2)根据题意可设直线l的方程为yk(x1)(k0)， 联立方程，得Error!消去x，得y2y90， ( 3 k24) 6 k 1440. 144 k2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2 ， 6k 34k
6、2 y1y2 ， 9k2 34k2 又，所以y1y2 .AF1 F1B 把代入得y1，y2，并结合可得y1y2 6k 1 34k2 6k 134k2 ，则，即2. 6k2 1234k22 9k2 34k2 12 4 34k2 1 4 34k2 因为 23，所以 2 ， 1 2 1 4 3 即 ，且k0，解得 0k. 1 2 4 34k2 4 3 5 2 故直线l的斜率k的取值范围是. (0， 5 2 4(2019四川模拟)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l.已知以F为圆心，半 径为 4 的圆与l交于A，B两点，E是该圆与抛物线C的一个交点，EAB90. (1)求p的值； (2)
7、已知点P的纵坐标为1 且在抛物线C上，Q，R是抛物线C上异于点P的另两点，且满足 直线PQ和直线PR的斜率之和为1，试问直线QR是否经过一定点，若是，求出定点的坐标； 否则，请说明理由 解 (1)由题意及抛物线定义，得|AF|EF|AE|4， AEF为边长为 4 的正三角形，设准线l与x轴交于点D，|AD|p |AE| 42. 1 2 1 2 (2)设直线QR的方程为xmyt， 点Q(x1，y1)，R(x2，y2) 由Error!得y24my4t0，则16m216t0，y1y24m，y1y24t. 又点P在抛物线C上，则kPQ ，同理可得kPR. yPy1 xPx1 yPy1 y2 P 4 y 2 1 4 4 yPy1 4 y11 4 y21 因为kPQkPR1， 所以1， 4 y11 4 y21 4y1y28 y1y2y1y21 16m8 4t4m1 - 4 - 解得t3m . 7 4 由Error! 解得m(1，) (， 7 2) ( 1 2，1) 所以直线QR的方程为xm(y3) ， 7 4 则直线QR过定点. ( 7 4，3)