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1、- 1 - 课后限时集训(六十三) 坐标系课后限时集训(六十三) 坐标系 (建议用时：60 分钟) A 组 基础达标 1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换Error!后，曲线C：x2y236 变为何种曲线，并 求曲线的焦点坐标 解 设圆x2y236 上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P(x，y)， 则Error! 4x29y236，1. x2 9 y2 4 曲线C在伸缩变换后得椭圆1，其焦点坐标为(，0) x2 9 y2 4 5 2在极坐标系中，求直线cos1 与圆4sin 的交点的极坐标 ( 6) 解 cos1 化为直角坐标方程为xy2， ( 6) 3 即yx2.3 4si
2、n 可化为x2y24y， 把yx2 代入x2y24y，3 得 4x28x120，3 即(x)20，3 所以x，y1.3 所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.3 (2， 6) 3 在极坐标系中， 已知圆C经过点P， 圆心为直线sin与极轴的交点， ( 2， 4)( 3) 3 2 求圆C的极坐标方程 解 在sin中， ( 3) 3 2 令0，得1， 所以圆C的圆心坐标为(1,0) 因为圆C经过点P， ( 2， 4) 所以圆C的半径|PC|1，于是圆C过极点，所以圆C的 22122 1 2cos 4 极坐标方程为2cos . 4在直角坐标系xOy中，直线l：yx，圆C：Error!(为参
3、数)，以坐标原点为极点，x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求直线l与圆C的极坐标方程； (2)设直线l与圆C的交点为M，N，求CMN的面积 解 (1)将C的参数方程化为普通方程，得(x1)2(y2)21， - 2 - xcos ，ysin ，直线l的极坐标方程为(R)， 4 圆C的极坐标方程为22cos 4sin 40. (2)将代入22cos 4sin 40， 得2340， 解得12 4 2 ，2，|MN|12|，222 圆C的半径为 1，CMN的面积为 1sin . 1 2 2 4 1 2 5在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为sin1，圆C的圆心的极坐标是C ( 4) ，圆的半径
4、为 1. (1， 4) (1)求圆C的极坐标方程； (2)求直线l被圆C所截得的弦长 解 (1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(，)为圆C上的一个动点，则AOD 4 或AOD， 4 |OA|OD|cos或|OA|OD|cos. ( 4 ) ( 4) 所以圆C的极坐标方程为2cos. ( 4) (2)由sin1，得(sin cos )1， ( 4) 2 2 直线l的直角坐标方程为xy0，2 又圆心C的直角坐标为满足直线l的方程， ( 2 2 ， 2 2) 直线l过圆C的圆心， 故直线被圆所截得的弦长为 2. 6极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极 轴已
5、知曲线C的极坐标方程为4cos ，直线l的参数方程为Error!(t为参数，0)， 射线，与曲线C交于极点O外的三点A，B，C. 4 4 (1)求证：|OB|OC|OA|；2 (2)当时，B，C两点在直线l上，求m与的值 12 解 (1)证明：依题意，得|OA|4cos ，|OB|4cos，|OC|4cos， ( 4)( 4) 则|OB|OC| 4cos4cos ( 4)( 4) 4cos |OA|.22 - 3 - (2)当时，B，C两点的极坐标分别为，化为直角坐标分别为B(1，)，C(3， 12(2， 3) (2 3， 6) 3 )3 直线l是过点(m,0)， 倾斜角为的直线， 又经点B，
6、C的直线方程为y(x2)， 所以m2，3 . 2 3 B 组 能力提升 1已知曲线C1：xy和C2：Error!(为参数)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，33 建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位 (1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程； (2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点， 求P，Q两点间的距离 解 (1)曲线C1化为cos sin .33 sin. ( 6) 3 2 曲线C2化为1，(*) x2 6 y2 2 将xcos ，ysin 代入(*)式 得cos2sin21，即2(cos23sin2)6. 2 6 2
7、2 曲线C2的极坐标方程为2. 6 12sin2 (2)M(，0)，N(0,1)，P.3 ( 3 2 ，1 2) OP的极坐标方程为， 6 把代入sin，得11，P. 6( 6) 3 2(1， 6) 把代入2，得22，Q. 6 6 12sin2(2， 6) |PQ|21|1，即P，Q两点间的距离为 1. 2在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为Error!(为参数)，以原点O为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2 3 交于点D. (2， 3) (1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程； (2)已知极坐标系中两点A(1，0)，B
8、，若A，B都在曲线C1上，求 ( 2，0 2) 1 2 1 1 2 2 的值 解 (1)C1的参数方程为Error!C1的普通方程为y21. x2 4 - 4 - 由题意知曲线C2的极坐标方程为2acos (a为半径)，将D代入，得 22a ，a (2， 3) 1 2 2， 圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为 2， C2的直角坐标方程为(x2)2y24. (2)曲线C1的极坐标方程为2sin21， 2cos2 4 即2. 4 4sin2cos2 ， 2 1 4 4sin20cos20 2 2 4 4sin2(0 2)cos 2(0 2) . 4 sin204cos20 . 1 2 1 1 2 2 4sin20cos20 4 4cos20sin20 4 5 4