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1、- 1 - 课后限时集训(六十五) 不等式选讲课后限时集训(六十五) 不等式选讲 (建议用时：60 分钟) A A 组 基础达标 1(2018全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|. (1)当a1 时，求不等式f(x)0 的解集； (2)若f(x)1，求a的取值范围 解 (1)当a1 时， f(x)Error! 可得f(x)0 的解集为x|2x3 (2)f(x)1 等价于|xa|x2|4. 而|xa|x2|a2|，且当x2 时等号成立故f(x)1 等价于|a2|4. 由|a2|4 可得a6 或a2.所以a的取值范围是(，62，) 2设函数f(x)|2x1|x2|. (1)解不等式f(x)1；
2、(2)若存在x，使不等式a23af(x)成立，求实数a的取值范围 1 2，2 1 2 解 (1)f(x)|2x1|x2|， f(x)Error! 则f(x)1Error! 或Error!或Error! 解得x4 或 x2 或x2. 2 3 综上，不等式f(x)1 的解集为(，4). ( 2 3，) (2)存在x，使不等式a23af(x)成立a23af(x)min，x， 1 2，2 1 2 1 2 1 2，2 由(1)知，x时，f(x)3x1， 1 2，2 当x 时，f(x)取得最小值，且f(x)min ， 1 2 5 2 则a23a ，解得a1 或a5， 1 2 5 2 实数a的取值范围为(，
3、1)(5，) 3已知a，b，cR R，且 2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值 解 由柯西不等式得 (441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32， - 2 - 9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2. 2a2bc8， (a1)2(b2)2(c3)2， 49 9 当且仅当c3 时等号成立， a1 2 b2 2 (a1)2(b2)2(c3)2的最小值是. 49 9 4(2019长春质检)已知a0，b0，ab2. (1)求证：a2b22； (2)求证：1. 2 a 1 b 2 2 解 (1)根据重要不等式得：a2b2 (ab)22. 1 2 (2)
4、 ，等号成立的条件为： ， 2 a 1 b ab 2( 2 a 1 b) 3 2 b a a 2b 3 2 2 2 22 4 b a a 2b 故1. 2 a 1 b 2 2 5(2019湖南师大月考)已知函数f(x)Error!g(x)af(x)|x1|. (1)当a0 时，若g(x)|x2|b对任意x(0，)恒成立，求实数b的取值范围 ； (2)当a1 时，求g(x)的最大值； 解 (1)当a0 时，g(x)|x1|， |x1|x2|bb|x1|x2|. |x1|x2|x12x|1， b1，b1. (2)当a1 时， g(x)Error! 可知g(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，
5、 g(x)maxg(1)1. B B 组 能力提升 1(2017全国卷)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|. (1)当a1 时，求不等式f(x)g(x)的解集； (2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围 解 (1)当a1 时，不等式f(x)g(x)等价于 x2x|x1|x1|40. 当x1 时，式化为x2x40， 从而 1x. 1 17 2 所以f(x)g(x)的解集为Error!. (2)当x1,1时，g(x)2， 所以f(x)g(x)的解集包含1,1等价于当x1,1时，f(x)2. 又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一， 所以f(1)2
6、 且f(1)2，得1a1. 所以a的取值范围为1,1 2已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，) (1)求的最小值； x1 a x2 b 2 x1x2 (2)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2. 解 (1)因为a，b(0，)，ab1， x1，x2(0，)， 所以333 x1 a x2 b 2 x1x2 3x1 a x 2 b 2 x1x2 3 2 ab 3 2 ( ab 2) 2 36， 3 8 当且仅当且ab， x1 a x2 b 2 x1x2 即ab ，且x1x21 时，有最小值 6. 1 2 x1 a x2 b 2 x1x2 (2)证明：法一：由a，b(0，)，ab1，
7、 x1，x2(0，)，及柯西不等式可得： (ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2()2(ax1bx2ax2bx1ax1ax2bx2 )2(ab)2x1x2，当且仅当，即x1x2时取得等号bx1x1x2x1x2 ax1 ax2 bx2 bx1 所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2. 法二：因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)， 所以(ax1bx2)(ax2bx1) a2x1x2abxabxb2x1x2 2 22 1 x1x2(a2b2)ab(xx) 2 22 1 x1x2(a2b2)ab(2x1x2) x1x2(a2b22ab) - 4 - x1x2(ab)2x1x2， 当且仅当x1x2时，取得等号 所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.