《2020版高考数学一轮复习高考大题增分课6概率与统计中的高考热点问题教学案理含解析北师大版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学一轮复习高考大题增分课6概率与统计中的高考热点问题教学案理含解析北师大版.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、- 1 - 高考大题增分课 高考大题增分课 六 概率与统计中的高考热点问题 命题解读 1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现 了较高的思维含量该类问题以应用题为载体，注重考查应用意识及阅读理解能力、分类讨 论与化归转化能力 2概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列 组合是进行概率计算的工具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分 布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归分析与独立性检验的考查 3离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中档类题目， 特别是与统计内容渗透，背景新颖
2、，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性 统计与统计案例 以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断， 常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查数据处理能力，分析 问题、解决问题的能力 【例 1】 (2018全国卷)如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设 施投资额y(单位：亿元)的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额， 建立了y与时间变量t的两个线性回归 模型 根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2， 17)建立模型 ：y30. 4 13.5t； 根据2010年至2016年的数据(时间
3、变量t的值依次为1,2， 7)建立模型 ：y99 17.5t. (1)分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 解 (1)利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y30.4 13.519226.1(亿元) 利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y9917.59 256.5(亿元) - 2 - (2)利用模型得到的预测值更可靠 理由如下： ()从折线图可以看出， 2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y30. 4 13.5t上下， 这说明利用 2000
4、年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基 础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近， 这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变 化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型y9917.5t可以较 好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可 靠 ()从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预 测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测
5、值的增幅比较合理，说明利用模 型得到的预测值更可靠 (以上给出了 2 种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可) 律方规法 1.在求两变量相关系数和两变量的回归方程时，由于r和b的公式组成比 较复杂，求它们的值计算量比较大，为了计算准确，可将其分成几个部分分别计算，这样等 同于分散难点，各个攻破，提高了计算的准确度 2有关独立性检验的问题的解题步骤 ： (1)作出 22 列联表 ； (2)计算随机变量K2的值 ； (3) 查临界值，检验作答 科技扶贫是精准扶贫的一项重要措施， 某科研机构将自己研发的一项葡萄种 植技术提供给某山区果农为验证该技术的效果，该果农选择 40 株葡萄树进行试验，其中
6、 20 株不进行任何处理，记为对照组，另外 20 株采用新技术培养，记为实验组葡萄成熟收割后， 该果农统计了这 40 株葡萄树的年产量数据(单位：kg) 对照 组 1215212326243535343251524946435344616343 实验 组 2332343642415159464343455267656562565558 (1)根据数据完成对照组和试验组葡萄产量的茎叶图， 并通过茎叶图比较对照组和实验组 葡萄产量的平均值和方差的大小(不要求计算出具体值，得出结论即可)； - 3 - (2)若每株葡萄树的年产量不低于 45 kg，则认为“产量高” ，否则认为“产量一般” 请 根据此
7、样本完成此 22 列联表，并据此样本分析是否有 95%的把握认为产量的提高与使用新 技术有关； 对照组实验组合计 产量高 产量一般 合计 (3)从“产量高”的数据中随意抽取 3 株做进一步科学研究中，计算恰好有 2 株来自实验 组的概率 附：2，其中nabcd nadbc2 abcdacbd P(2k)0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 解 (1)实验组的葡萄平均产量要高于对照组的葡萄平均产量；实验组的葡萄产量的方 差要小于对照组葡萄产量的方差 (2)完成 22 列联表如下表所示： 对照组实验组合计 产量高71219 产量一般13821 合计202040 所以2
8、的观测值 k2.5063.841. 40 7 812 132 20 20 19 21 所以没有 95%的把握认为产量的提高与使用新技术有关 (3)记事件A为“这 3 株中恰好有 2 株来自实验组” ，则P(A). C 2 12C1 7 C 3 19 154 323 所以恰好有 2 株来自实验组的概率为. 154 323 离散型随机变量的分布列、均值和方差的应用 - 4 - 离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均有解答题， 属于中档题复习时应强化应用题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变 量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与转化是解题的基础，准确
9、计算是解题的核 心 【例 2】 (本题满分 12 分)(2016全国卷)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用 三年后即被淘汰 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机 器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在 三年使用期内更换的易损零件数，得如图所示的 柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率， 记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数， n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 (1)求X的
10、分布列； (2)若要求 确定n的最小值； PXn 0.5， (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19 与n20 之中选其一，应选 用哪个？ 信息提取 看到这种条件，想到解题时可能要分类求解； 看到想到频数与频率间的关系，想到横轴中的取值含义； 看到想到X的所有可能取值； 看到想到X和n的含义，想到(1)中的分布列 规范解答 (1)由柱状图及以频率代替概率可得， 一台机器在三年内需更换的易损零件 数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2. 1 分 由题意可知X的所有可能取值为 16,17,18,19,20,21,22. 从而P(X16)0.20.20
11、.04； P(X17)20.20.40.16； P(X18)20.20.20.40.40.24； P(X19)20.20.220.40.20.24； - 5 - P(X20)20.20.40.20.20.2； P(X21)20.20.20.08； P(X22)0.20.20.04. 4 分 所以X的分布列为 X16171819202122 P0.040.160.240.240.20.080.04 6 分 (2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68， 故n的最小值为 19. 7 分 (3)记Y表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元) 当n19 时， E(Y)1920
12、00.68(19200500)0.2(192002500)0.08(19200 3500)0.044 040；9 分 当n20 时， E(Y) 202000.88 (20200 500)0.08 (20200 2500)0.04 4 080. 11 分 可知当n19 时所需费用的期望值小于当n20 时所需费用的期望值，故应选n 19. 12 分 易错与防范 易错点防范措施 忽视X的实际含义导致取值错误， 进而导致概 率计算错误. 细心审题，把握题干中的重要字眼，关键处加 标记，同时理解X取每个值的含义. 忽视P(Xn)0.5 的含义，导致不会求解.结合(1)中的分布列及n的含义， 推理求解便可
13、. 忽视n19 与n20 的含义导致无法解题. 本题中购买零件所需费用包含两部分， 一部分 为购买机器时购买零件的费用， 另一部分为备 - 6 - 件不足时额外购买的费用. 通性通法 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路： (1)明确随机变量可能取哪些值 (2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值 (3)根据分布列和均值、方差公式求解 某校首届安琪杯教职工运动会上有一个扑克小游戏，游戏规则如下：甲、乙 双方每局比赛均从 5 张扑克牌(3 张红桃 A,2 张黑桃 A)中轮流抽取 1 张，抽取到第 2 张黑桃 A 的人获胜，并结束该局比赛每三局比赛为一轮 (1)若在第一
14、局比赛中甲先抽牌，求甲获胜的概率； (2)若在一轮比赛中规定：第一局由甲先抽牌，并且上一局比赛输的人下一局比赛先抽， 每一局比赛先抽牌并获胜的人得 1 分，后抽牌并获胜的人得 2 分，未获胜的人得 0 分求此 轮比赛中甲得分X的概率分布列及其数学期望E(X) 解 (1)设“在第一局比赛中甲先抽牌，甲获胜”为事件M， 甲先抽牌，甲获胜等价于把这 5 张牌进行排序， 第二张黑桃 A 排在 3 号位置或 5 号位置，共有 246(种)， 而 2 张黑桃 A 的位置共有 C 10(种) 2 5 所以P(M) . 24 10 3 5 (2)甲得分X的所有可能取值为 0,1,2,3,5. 由(1)知在一局
15、比赛中，先抽牌并获胜(后抽牌并输)的概率为 ， 3 5 则后抽牌并获胜(先抽牌并输)的概率为 . 2 5 当X0 时，即三局甲都输，P(X0) ； 2 5 2 5 2 5 8 125 当X1 时，即第一局甲胜，二、三局甲输或第二局甲胜，一、三局甲输或第三局甲胜， 一、二局甲输，P(X1) ；当X2 时，即第一局甲胜， 3 5 3 5 2 5 2 5 3 5 3 5 2 5 2 5 3 5 48 125 第二局甲输，第三局甲胜，P(X2) ； 3 5 3 5 3 5 27 125 当X3 时，即第一局甲输，二、三两局甲都胜或者第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲 输，P(X3) ； 2 5 3 5
16、2 5 3 5 2 5 3 5 30 125 6 25 当X5 时，即三局甲都胜，P(X5) . 3 5 2 5 2 5 12 125 所以此轮比赛中甲得分X的概率分布列为 X01235 - 7 - P 8 125 48 125 27 125 6 25 12 125 E(X)01235. 8 125 48 125 27 125 6 25 12 125 252 125 概率与统计的综合应用 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热 点主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键复习时要在这些 图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握
17、好样本特征数的计数方法、 各类概率的计算方法及均值与方差的运算 【例 3】 (2014全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的 一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图： (1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区x 间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近 似为样本平均数，2近似为样本方差s2.x 利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)； 某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记X表示这 100 件产品中质量指标值位于区 间(187.8,212
18、.2)的产品件数，利用的结果，求E(X) 附：12.2.150 若ZN(，2)， 则P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4. 解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差s2分别为 1700.02xx 1800.091900.222000.332100.242200.082300.02200， s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.08 3020.02150. (2)由(1)知，ZN(200,150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z200 - 8 - 12.2)0.682 6. 由知，一件产品的质
19、量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X B(100,0.682 6)，所以E(X)1000.682 668.26. 律方规法 统计与概率的综合应用 (1)正态分布：若变量X服从正态分布N(，2)，其中为样本的均值，正态分布曲 线的对称轴为x；为样本数据的标准差，体现了数据的稳定性 (2)二项分布：若变量XB(n，p)，则X的期望E(X)np，方差D(X)np(1p) 某篮球队在某赛季已结束的 8 场比赛中，队员甲得分统计 的茎叶图如图 (1)根据这 8 场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值和标准差； (2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N(，2)，且各场
20、比赛间相互没有影响，依 此估计甲在 82 场比赛中得分在 26 分以上的平均场数 参考数据： 5.66，5.68，5.70.3232.2532.5 正态总体N(，2)在区间(2，2)内取值的概率约为 0.954. 解 (1) (78101517192123)15， 1 8 2 (8)2(7)2(5)2022242628232.25.所以5.68. 1 8 所以估计甲每场比赛中得分的均值为 15，标准差为 5.68. (2)由(1)得甲在每场比赛中得分在 26 分以上的概率 P(X26) 1P(2X2) (10.954)0.023， 1 2 1 2 设在 82 场比赛中，甲得分在 26 分以上的
21、次数为Y，则YB(82,0.023) Y的均值E(Y)820.0232. 由此估计甲在 82 场比赛中得分在 26 分以上的平均场数约为 2. 大题增分专训 1某县响应中央的号召，积极开展了建设社会主义新农村的活动，实行以奖代补，并组 织有关部门围绕新农村建设中的五个方面(新房舍、新设施、新环境、新农民、新风尚)对各 个村进行综合评分， 高分(大于等于 88 分)的村先给予 5 万元的基础奖励， 然后比 88 分每高 1 分， 奖励增加 5 千元，低分(小于等于 75 分)的村给予通报，取消 5 万元的基础奖励，且比 75 分每 低 1 分，还要扣款 1 万元，并要求重新整改建设，分数在(75
22、,88)之间的只享受 5 万元的基础 奖励，下表是甲、乙两个乡镇各 10 个村的得分数据(单位：分)： 甲：62,74,86,68,97,75,88,98,76,99； 乙：71,81,72,86,91,77,85,78,83,84. - 9 - (1)根据上述数据完成以下茎叶图，并通过茎叶图比较两个乡镇各 10 个村的得分的平均 值及分散程度(不要求计算具体的数值，只给出结论即可)； (2)为继续做好社会主义新农村的建设工作， 某部门决定在这两个乡镇中各任意抽取一个 进行工作总结，求抽取的 2 个村中至少有一个得分是低分的概率； (3)从获取奖励的角度看，甲、乙两个乡镇哪个获取的奖励多？ 解
23、 (1)茎叶图： 通过茎叶图可以看出，甲乡镇 10 个村的平均得分比乙乡镇 10 个村的平均得分高，甲乡 镇 10 个村的得分比较分散，乙乡镇 10 个村的得分比较集中 (2)由茎叶图可知甲乡镇 10 个村中低分的有 4 个，乙乡镇 10 个村中低分的有 2 个，所以 从甲乡镇 10 个村中随机抽取 1 个，得分是低分的概率为 ，从乙乡镇 10 个村中随机抽取 1 个， 4 10 2 5 得分是低分的概率为 ， 故抽取的 2 个村中至少有一个得分是低分的概率为 2 10 1 5 2 5 4 5 3 5 1 5 2 5 . 1 5 13 25 (3)由茎叶图可知甲乡镇 10 个村中， 高分(大于
24、等于 88 分)有 4 个， 分别是 88 分、 97 分、 98 分、 99 分， 奖励分共 9101130 分， 低分(小于等于 75 分)有 4 个， 分别是 75 分、 74 分、 68 分、62 分，扣款分共 17 十 1321 分，分数在(75,88)之间的有 2 个，故甲乡镇所获奖励为 65 300.521130152124 万元 由茎叶图可知乙乡镇 10 个村中， 高分(大于等于 88 分)有 1 个， 为 91 分， 奖励分共 3 分， 低分(小于等于 75 分)有 2 个，分别是 71 分、72 分，扣款分共 437 分，分数在(75,88)之 间的有 7 个，故乙乡镇所获
25、奖励为 8530.571401.5734.5 万元 故从获取奖励的角度看，乙乡镇获取的奖励多 2(2018太原二模)按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在100,120)内， 则为合格品，否则为不合格品某企业有甲、乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设 备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，对规定 的质量指标值进行检测甲套设备的样本频数分布表和乙套设备的样本频率分布直方图如下 - 10 - 所示 甲套设备的样本频数分布表 质量指标 值 95,100)100,105)105,110)110,115)115,120)120,125 频数14192
26、051 乙套设备的样本频率分布直方图 (1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为这种产品的质量指标值与 甲、乙两套设备的选择有关； 甲套设备乙套设备合计 合格品 不合格品 合计 (2)根据以上数据，对甲、乙两套设备的优劣进行比较； (3)将频率视为概率，若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取 3 件产品，记抽到的不 合格品的个数为X，求X的数学期望E(X) 附： P(2k0)0.150.100.050.0250.01 k02.0722.7063.8415.0246.635 2. nadbc2 abcdacbd 解 (1)根据题中数据填写列联表如下： 甲套设备乙套设备合计 合
27、格品484391 不合格品279 合计5050100 由列联表得23.053. 100 48 72 432 50 50 91 9 3.0532.706， 有 90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关 - 11 - (2)根据题中数据可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的 48 50 概率约为，并且甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在105,115)之间，乙套设备生 43 50 产的产品的质量指标值与甲套设备的相比，较为分散因此，可以认为甲套设备生产的合格 品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备 (3)由题知，XB， (3， 1
28、 25) E(X)3. 1 25 3 25 3(2018石家庄二模)随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网 站为增加收入， 促销策略越来越多样化， 促销费用也不断增加 下表是某购物网站 2017 年 18 月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据 月份12345678 促销费用x2361013211518 产品销量y11233.5544.5 (1)根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的回归方程ybxa(系数 精确到 0.01)； (2)已知 6 月份该购物网站为庆祝成立 1 周年，特制定奖励制度：以z(单位：件)表示日 销量，z1 800,2 000)，则
29、每位员工每日奖励 100 元；z2 000,2 100)，则每位员工每日 奖 励 150 元 ；z2 100，)，则每位员工每日奖励 200 元现已知该网站 6 月份日销量z服 从正态分布N(2 000,10 000)，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约为多少元(当月奖励 金额总数精确到百分位) 参考数据：xiyi338.5，x1 308，其中xi，yi分别为第i个月的促销费用和产 8 i1 8 i1 2i 品销量，i1,2,3，8. 参考公式： 对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归方程ybxa的斜率和截距 的最小二乘估计分别为b，a b. n i1x iyi
30、nxy n i1x 2inx2 yx 若随机变量Z服从正态分布N(，2)，则P(，)0.682 7，P(2，2) 0.954 5. 解 (1)由题可得 11， 3，xy - 12 - 将数据代入得b 8 i1x iyi8xy 8 i1x 2i8x2 338.58 11 3 1 3088 11 11 0.219， 74.5 340 a b30.219110.59，yx 所以y关于x的回归方程y0.22x0.59. (2)由题知该网站 6 月份日销量z服从正态分布N(2 000,10 000)， 则日销量在1 800,2 000)上的概率为0.477 25， 0.954 5 2 日销量在2 000,2 100)上的概率为0.341 35 ， 0.682 7 2 日销量在2 100，)上的概率为0.158 65， 10.682 7 2 所以某位员工当月奖励金额的总数为 (1000.477 251500.341 352000.158 65)303 919.7253 919.73(元)