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1、课后跟踪训练(十八) 1(2018安徽合肥期中)已知二次函数 f(x)的最小值为4，且关 于 x 的不等式 f(x)0 的解集为0|1x3，xR (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 g(x)4lnx 的零点个数 fx x 解 (1)f(x)是二次函数， 且关于 x 的不等式 f(x)0 的解集为x| 1x3，xR， 设 f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a，且 a0. f(x)minf(1)4a4，a1. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)x22x3. (2)由(1)知 g(x)4lnxx 4lnx2， x22x3 x 3 x g(x)的定义域为(0，)，g(x)1 ， 3
2、 x2 4 x x1x3 x2 令 g(x)0，得 x11，x23. 当 x 变化时，g(x)，g(x)的取值变化情况如下表： 当 03 时，g(e5)e5 2022512290. 3 e5 又因为 g(x)在(3，)上单调递增， 因而 g(x)在(3，)上只有 1 个零点， 故 g(x)仅有 1 个零点 2 (2018贵州凯里一中一模)已知 f(x)2xlnxmx ， 若方程 f(x) 2 e 0 在上有实数根，求实数 m 的取值范围 ( 1 4，e) 解 方程 f(x)0 可化为 2xlnxmx . 2 e 令 g(x)2xlnx，则 g(x)2(lnx1) 由 g(x)0 可得 x ；由
3、 g(x) ( 0，2 e) ( 1 4，ln2) 8 e 2 e2 8 e 4ln2， 结合图象(图略)可得 0m0，函数 g(x)单调递增， 1 e 当 1sin1 恒成立， 即(t1)t2sin110(1)恒成立， 令 h()(t1)t2sin11(1)，要使 h()0 恒成立， 则需Error!Error! Error!Error! 又 t2tsin10 恒成立， t1，故 t 的取值范围为(，1 (3)x22exm， lnx fx lnx x 令 f1(x)，f2(x)x22exm， lnx x f1(x)， 1lnx x2 当 x(0，e)时，f1(x)0，即 f1(x)单调递增； 当 xe，)时，f1(x)0，即 f1(x)单调递减 f1(x)maxf1(e) ， 1 e 又 f2(x)(xe)2me2， 当 me2 ，则 me2 时，方程无解； 1 e 1 e 当 me2 ，即 me2 时，方程有一个解； 1 e 1 e 当 me2 ，则 me2 时，方程有两个解 1 e 1 e