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1、图形折叠问题,二 解决翻折问题 我们把翻折问题分为两类：“依点翻折”和“依线翻折”。,一 认识翻折问题 1.关注“两点一线” 在翻折过程中，我们应关注“两点”，即对称点，思考自问“哪两个点是对称点?” ；还应关注“一线”，即折线，也就是对称轴。这是解决问题的基础。 2. 联想到重合与相等遇到这类问题，我们应马上联想到“重合的线段相等,重合的角相等”，这是解决问题的关键。,图形的翻折是图形的运动形式之一,在一张长方形ABCD纸片中，AD25cm, AB20cm 点E，F分别为CD，AB的中点，现将这张纸片按图示方式折叠，求DAH的大小及EG的长。,（浙教版九下P17题6）,如何解此题？,20,1
2、0,20,例1.将矩形ABCD纸对折，设折痕为EF，再把B点折到折痕线EF上（见图点B），若 ，则EB=_,例2、有一个数学活动，其具体操作过程是： 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）； 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）,请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，BMP是什么三角形？请证明你的结论,图1,图2,p,（1）BMP是等边三角形 证明：连结AN, EF垂直平分AB AN BN.由折叠知 :AB BN AN AB BN ABN为等边三角形 ABN 60 PBN
3、30 又ABM NBM 30，BNM A 90 BPN 60,MBP MBN PBN 60 BMP 60MBP BMP BPM 60BMP为等边三角形 ,例2、（2）在图2中，若ABa，BCb，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？,图1,图2,p,a,b,（3）设矩形ABCD的边AB2，BC4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM/为y=kx，当M/BC60时，求k的值.此时，将ABM沿BM折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？,例2、第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图
4、1）； 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）,图1,图2,图3,A/,H,2,例3. 如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ. (1)求证：PBEQAB； (2)你认为PBE和BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由； (3)如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？,例4.如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D落在边BC上的F点处，如果BAF=60，则DAE=,根据折叠的规律：可证ADEAFE,从而 DAE=FAE =
5、(90-60)2 = 15,15,60,15,15,透过现象看本质:,折叠,轴对称,实质,轴对称性质：,A,D,E,F,1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等.,2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.,由折叠可得： 1.AFEADE,2.AE是DF的中垂线,例5.如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm, BC=10cm ,求EC的长,分析：设EC=x, 则EF=DE=8-x . 在RtABF中，AF=AD=10，AB=8， 所以BF=6，FC=4 RtPOERtBPA,解得EC=3(cm),8,10,10,6,4,3,例6. 如图1，把一
6、张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸已知标准纸的短边长为a . （1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠： 第一步 将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B处，铺平后得折痕AE； 第二步 将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF 则AD:AB的值是 ，AD,AB的长分别是 ， ,（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值,相等，比值为,例7. （2007年台州市）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩
7、形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处已知折痕 ，且 (1)判断OCD与ADE是否相似？请说明理由； (2)求直线CE与x轴交点P的坐标；,P,6X,8X,3X,4X,10X,5X,5X,关键是找出对称点，并画出来。,依线翻折,例8 已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系F是边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比例函数 的图象与AC边交于点E 请探索：是否存在这样的点F，使得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由,（ ,3）,(4
8、, ),3,例9.在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边长为6，两边OA、OC分别落在坐标轴上，点E在射线BC上，且BE=2CE，将ABE沿直线AE翻转，点B落在点B1处。,（1）请在图中作出点B1及翻转后图形.,x,E,B1,（2）对于图1，若E在BC上，求点B1的坐标。,两种情况,F,利用相似，列出方程求解,图1,图2,6,4,a,6-a,4,6,例10. （07湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)现将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，将POE沿PE翻折，
9、得到PFE，并使直线PD、PF重合 (1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；,图1,解：(1)由已知PB平分APD，PE平分OPF，且PD、PF重合，则BPE=90OPEAPB=90又APBABP=90，OPE=PBA RtPOERtBPA,y=,(0x4),即,x,y,4-x,3,(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；,图2,(2)由已知，PAB、POE均为等腰直角三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3),故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件,则,y=,例11 . 直线 分别与x轴、y轴交
10、于B、A两点. 把AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C处，再把BOC以直线BC为轴翻折得BCE，求点E的坐标.,由（1）知 OA1， OB ， OBA30. ABC和ABO关于AB成轴对称， BCBO ，CBA=OBA30. CBO60. 过点C作CMx轴于M，如图，则在RtBCM中，,.,图形翻折实际上是轴对称变换， 变换前后的对应线段相等、对应角相等。 常常与角平分线、中线、线段中垂线、等腰三角形的高相联系。解决翻折的动态几何问题关键是结合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有关知识，全面寻找图形运动过程中的不变量。,例12. （08山东东营）：将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后
11、将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形将纸片展开，得到的图形是（ ）,C,例13将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（ ）,C,例14.如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CEF的面积为（ ）,A4 B6 C8 D10,C,图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中的规律，从今天我们对矩形折叠情况的讨论中可以得到以下几点经验： 1图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形； 2 图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折
12、痕成轴对称； 3解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而 进一步发现其中的数量关系； 4充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。,一.题目来源,九年级下，P17页第6题 如图，在一张长方形纸片ABCD中，AD=25cm，AB=20cm，点E,F分别是CD和AB的中点。现将这张纸片按图示方式折叠，求DAH的大小及EG的长（精确到0.1cm）。,轴对称,变式,变式一,变式二,变式三,变式四,变式五,变式六,在长为4宽为3的矩形纸片ABCD中，先沿对角线BD对折，点C落在C位置，BC交AD于G(如图5-(1).再折一次，
13、使点D与点A重合，得折痕EN(如图5-(2)，EN交AD于M.求折痕EN的长.,已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.(1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)，求DE的长； (2)如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长,在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，BPE=30 （1）求BE、QF的长； （2）求四边形PEFH的面积,(取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：先把矩形ABCD
14、对折，折痕为MN(如图3-(1)； 第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B，得RtABE(如图3-(2)； 第三步：沿EB线折叠得折痕EF(如图3-(3). 利用展开图3-(4)探究： (1)AEF是什么三角形?证明你的结论； (2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由.,如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG=10。 （1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图 1，求EFG的面积； （2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图 2，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长
15、。,如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处。 (1)求证：BE=BF; (2)设AE=a,AB=b,BF=c试猜想a,b,c之间有何等量关系，并给予证明。,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA10，OC6. (1)如图4-(1)，在OA上选取一点G，将COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的解析式. (2)如图4-(2)，在OC上选取一点D，将AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E. 求折痕AD所在直线的解析式； 再作EFAB，交AD于点F，若抛物线y=-x2+h过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数. (3)如图4-(3)，一般地，在OC、OA上选取适当的点D、G，使纸片沿DG翻折后，点O落在BC边上，记E.请你猜想：折痕DG所在直线与中的抛物线会有什么关系?用(1)中的情形验证你的猜想.,