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1、2.4 正多项式和最佳平方逼近,总结,2.4.3连续函数的最佳平方逼近,2.4.2 连续区间上正交多项式,2.4.1 离散点集上的正交多项式,2.4 正交多项式和最佳平方逼近,正交多项式是数值计算中的重要工具，这里只介绍正交多项式的基本概念、某些性质和构造方法。离散情形的正交多项式用于下节的数据拟合，连续情形的正交多项式用于生成最佳平方逼近多项式和下章的高斯型求积公式的构造。它们在数值分析的其他领域中也有不少应用。,例2.10 已知点集 和权数,试用三项递推公式求关于该点集的正,交多项式 。,从而有,其中的 为给定的权函数。按连续意义下的内积，若多项式组 满足条件(2.4.3),则称它为在区间
2、 上的带权 的正交多项式序列.,完全类似于离散情况下的正交多项式的构造方法,连续区间上的正交多项式序列同样可以由递推公式(2.4.4)和(2.4.5)构造,其中内积按(2.4.6)式定义.,下面给出几种常用的正交多项式. (1)Legendre多项式. Legendre多项式可由三项递推公式,给出。它们是在区间0，+)上带权 的正交多项式。前几个Legendre多项式如下:,它们的根都是在区间（0，+）上的单根。,(4) Hermite 多项式,Hermite多项式可由三项递推公式 给出。它们是在区间（-，+）上带权 的正交多项式。前几个Hermite多项式如下：,它们的根都在区间（-，+）上
3、的单根，并且与原点对称,2.4.3连续函数的最佳平方逼近,定理2.6 在a,b上线性无关的充要条件是 它的Gramer行列式Gn，其中,按内积的定义，上式可写为 这是关于的线性方程组，称为法方程。,由于 线性无关，故（2.4.12）的系数距阵非奇异，于是（2.4.12）有唯一解 。从而得到 该式满足（2.4.11），即对任意 ，有,事实上，有（2.4.12）知 因此，对任意 ，有 ，从而也有,于是 这就证明了（2.4.14），从而也证明了f在中的最佳平方逼近的存在唯一性。,若令，则称为最佳逼近的误差，称 (2.4.15) 为平方误差。,考虑特殊情形，设a,b=0,1, 。对于fCa,b, 在
4、中最佳平方逼近多项式可以表示为,相应于法方程（2.4.12）中的系数矩阵为 称之为Hilbert矩阵,例2.11 设 ，求0，1上的一次最佳平方逼近多项式。,解 由于 得方程组,解得a0=0.394,a1=0.246。从而最佳平方逼近为 平方误差,由于Hilbert矩阵是病态的（见第4章），用 作基时，求法方程的解，舍入误差很大。实用的办法是采用正交多项式作基。,若 是中的正交多项式组，则有（2.4.12）得 。,于是f(x)的最佳平方逼近多项式为,例2.12 设 f(x)=ex ,在-1,1上用legendre多项式作f的三次多次最佳平方逼近多项式。,解 用Legendre多项式 Pk(x)(k=0,1,2,3), 可得,于是最佳平方逼近为 。 平方误差,