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1、4 最小二乘逼近,4.1 一般的最小二乘逼近,讨论的问题:,(4.1),以下讨论最小二乘逼近函数 是否存在？是否唯一？及,计算方法（步骤）。,一、离散范数的基本定义,已知 关于点集 上函数值，,（1）内积：,（2）范数：,（3） 正交,含m个方程的方程组,（4） 函数组的线性相关与线性无关,定义9,说明：这里定义的 的关系是否为内积、范数？需要,自己证,验证是否满足内积的三个条件或范数的三个条件，即,定理2/,举例：,二、解决问题的思路：,把原问题转化为多元函数极值问题,(类似于连续函数的最佳平方逼近的思路)。,得到4.1的等价问题：,结论：,（2）充分性,（1）必要条件,误差与基函数正交,(
2、4.1),定理8,定理9（最小二乘逼近）,定理9（最小二乘逼近）,注：,将(4.7)带入(4.6) , 合并得,事实上，,（2）矩阵G为正定对称阵,注：,注：,（3）计算方法,注：,注：,(4) 用正交多项式作最小二乘逼近,4.3 用正交多项式作曲线拟合(计算方法),已知y=f(x)的实验数据,1、计算方法(步骤):,于是当增加n时，有,优点： 当n增加时只须计算 ， 计算量小。,2、正交多项式的存在定理,定理10 已知点集 及权系数 ,则有关于X及 为正交多项式组 ,满足,下述三项递推公式：,即（1） 为首项系数是1的k次多项式。,（2）,4.4 非线性模型举例,1 用最小二乘法解矛盾方程组
3、,已知y=f(x)实验数据,用较简单和合适,的函数来逼近（或拟合）实验数据。,假设选用n次插值多项式,n+1个未知量 m个方程,即,要满足,方程组的解不能唯一确定，因此，不能要求,由于,精确成立，而仅仅要求多项式尽可能接近,给定的数据。也就是要允许每个等式可以稍有偏差，但偏差又尽可,n+1m,能的小。,解法：,对矛盾方程组,作一辅助函数,a0,a1,an的 多元二次函数,- 法方程,矛盾方程组,可写成矩阵形式：,事实上,举例 用二次多项式来拟合函数,解,4 最小二乘逼近,4.1 一般的最小二乘逼近,讨论的问题:,(4.1),定理9（最小二乘逼近）,2 非线性模型举例,凸性（凹向上或凹向下）时，
4、,对于给定y=f(x)实验数据,的走向、趋势选择合适的数,根据数据,学模型。例如,当实验数据,具有单调,来拟合实验数据，其中,可选择下述适当的数学模型,a、b为参数，如图。,4.4 非线性模型举例,1 用最小二乘法解矛盾方程组,例8 在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系,如下，求浓度与时间的拟合曲线,解：,(2)选取数学模型 ，,模型求解（较简单）。,求对数:,作变换:令,则（4.14）式变为:,于是，问题化为由已知数据,求参数A，B使,其中，模型 线性模型，可求得,作变换，将此模型转化为线性,从而,及最小平方误差：,（3）选取数学模型为双曲函数,且最大偏差：,于是得到模型,作变换，令,于是问题化为，已知数据,，寻求a，b使,求解法方程,得到,最大偏差：,说明：,选取指数模型,从而得数学模型,最小平方误差：,都比较,本课重点：,理解最小二乘逼近理论并会求逼近多项式及解矛盾方程组；,了解非线性模型举例。,