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1、1 专题 11 平面向量专题 11 平面向量 1 【2019 年高考全国 I 卷文数】已知非零向量a a，b b满足，且b b，则a a与b b的夹角为| 2|ab()ab AB 6 3 CD 2 3 5 6 【答案】B 【解析】 因为b b， 所以=0， 所以， 所以=，()ab 2 () abba bb 2 a bbcos 2 2 |1 2|2 a bb abb 所以a a与b b的夹角为，故选 B 3 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹 角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0, 2 【2019 年高考全国 II 卷文数】已知向
2、量a a=(2，3)，b b=(3，2)，则|a a-b|b|= AB2 2 C5D50 2 【答案】A 【解析】由已知，(2,3)(3,2)( 1,1) ab 所以， 22 |( 1)12ab 故选 A. 【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查由 于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错 3 【2018 年高考全国 I 卷文数】在中，为边上的中线，为的中点，则ABCADBCEAD EB AB 31 44 ABAC 13 44 ABAC CD 31 44 ABAC 13 44 ABAC 【答案】A 【解析
3、】根据向量的运算法则，可得 111111 222424 BEBABDBABCBABAAC 2 ，所以，故选 A. 11131 24444 BABAACBAAC 31 44 EBABAC 【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的 三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4 【2018 年高考全国 II 卷文数】已知向量，满足，则 a b|1a1 a b(2)aab A4B3 C2D0 【答案】B 【解析】因为所以选 B. 22 222|12 13 aabaa ba, 【名师点睛】本题主要考查平面向量
4、的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学 运算. 5 【2018 年高考浙江卷】已知a a，b b，e e是平面向量，e e是单位向量若非零向量a a与e e的夹角为，向量b b 3 满足b b24e eb b+3=0，则|a ab b|的最小值是 A1B+1 33 C2D23 【答案】A 【解析】设，则由得a = (x,y),e = (1,0),b = (m,n)a,e = 3 a e = |a| |e|cos 3,x = 1 2 x2+ y2 ，, y = 3x 由b b24e eb b+3=0 得因此|a ab b|的最小值为圆心到直线m2+ n2- 4m + 3 =
5、0,(m - 2)2+ n2= 1,(2,0) 的距离减去半径 1，为选 A.y = 3x 2 3 = 3 2 3 - 1. 3 【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的 选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算. 6 【 2018 年 高 考 天 津 卷 文 数 】 在 如 图 的 平 面 图 形 中 ， 已 知,1,2,120OMONMON 则的值为2,2,BMMA CNNA BC OM AB159 CD06 【答案】C 【解析】如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点 的三等分点，BM = 2
6、MA,CN = 2NAM,NAB,ACA 则，BC = 3MN = 3(ON - OM) 由题意可知：，OM 2 = 12= 1OM ON = 1 2 cos120 =- 1 结合数量积的运算法则可得：.BC OM = 3(ON - OM) OM = 3ON OM - 3OM 2 =- 3 - 3 =- 6 本题选择 C 选项. 【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意 义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用 7 【2017 年高考全国 II 卷文数】设非零向量，满足，则 a b+=a bab AB a b=ab
7、4 CD a bab 【答案】A 【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量，的模长为边长的平行四边形是矩形，从 a b 而可得.故选 A. a b 【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直. 8 【2017 年高考北京卷文数】设m m,n n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的mn0m n A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么0mn ,m n 180cos180 m nm n ；0m n 若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，0m n90 ,180mn 所
8、以是充分而不必要条件，故选 A. 【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题. 9 【2019 年高考北京卷文数】已知向量=（4，3），=（6，m），且，则m=_ a bab 【答案】8 【解析】向量则.( 4,3),(6,)m ，abab04 6308mm ，a b 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想 的应用.属于容易题. 10 【2019 年高考全国 III 卷文数】已知向量，则_.(2,2),( 8,6) abcos,a b 【答案】 2 10 【解析】 2222 282 62 cos, | | |10
9、 22( 8)6 a b a b a b 【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键 11【2019 年高考天津卷文数】在四边形中，点ABCD,2 3,5,30ADBCABADA 在线段的延长线上，且，则_ECBAEBE BD AE 5 【答案】1 【解析】建立如图所示的直角坐标系，DAB=30，2 3,5,ABAD 则，.(2 3,0)B 5 3 5 (, ) 22 D 因为，所以，ADBC30BAD30ABE 因为，所以，AEBE30BAE 所以直线的斜率为，其方程为，BE 3 3 3 (2 3) 3 yx 直线的斜率为，其方程为.AE 3 3 3 3 y
10、x 由得， 3 (2 3), 3 3 3 yx yx 3x 1y 所以.( 3, 1)E 所以. 3 5 (, ) ( 3, 1)1 22 BD AE 【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标 方法更为方便. 12【2019 年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.ABCO 若，则的值是_. 6AB ACAO EC AB AC 6 【答案】.3 【解析】如图，过点D作DF/CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD ， 3 63 2 AO ECADACAEAB
11、ACACAE 2231311 23233 ABACACABAB ACABACAB AC ， 22223 2113 2 3322 AB ACABACAB ACABACAB AC 得即故 2213 , 22 ABAC 3,ABAC 3 AB AC 【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养. 采取几何法，利用数形结合和方程思想解题. 13 【2019 年高考浙江卷】已知正方形的边长为 1，当每个取遍时，ABCD(1,2,3,4,5,6) i i 的最小值是_；最大值是_. 123456 |ABBCCDDAACBD 【答案】0；.2 5 【解析】以分别
12、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图., AB AD 7 则,(1,0),(0,1),( 1,0),(0, 1),(1,1),( 1,1)ABBCCDDAACBD 令 22 12345613562456 yABBCCDDAACBD 0 0. 又因为可取遍，(1,2,3,4,5,6) i i1 所以当时，有最小值. 134562 1,1 min 0y 因为和的取值不相关，或， 135 245 6 1 6 1 所以当和分别取得最大值时，y有最大值， 135 245 所以当时，有最大值. 125634 1,1 22 max 24202 5y 故答案为 0；.2 5 【名师点睛】对于此题需充分利用转化
13、与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道 向量和不等式的综合题. 14【2018年高考全国III卷文数】 已知向量， 若， 则_ = 1,2a= 2, 2b= 1,c2ca + b 【答案】 1 2 【解析】由题可得，即，故答案为.24,2ab 2 ca + b= 1,c 420 1 2 1 2 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两 向量共线的坐标关系计算即可. 15 【2018 年高考北京卷文数】设向量a a=（1,0） ，b b=（1,m）,若，则m=_.()maab 8 【答案】 - 1 【解析】， a = (1,0),
14、b = ( - 1,m) ma - b = (m,0) - ( - 1,m) = (m + 1, - m) 由得：，即.a (ma - b)a (ma - b) = 0 a (ma - b) = m + 1 = 0m =- 1 【名师点睛】如果a a=(x1，y1)，b b=(x2，y2)(b b0 0)，则abab的充要条件是x1x2+y1y2=0 16【2018 年高考上海卷】 在平面直角坐标系中， 已知点、，、是轴上的两个动点， 1 0A ，2 0B， EFy 且，则的最小值为_ |2EF AE BF 【答案】-3 【解析】根据题意，设E（0，a） ，F（0，b） ； ；2EFab a=
15、b+2，或b=a+2； 且；1,2,AEaBFb ， ；2AE BFab 当a=b+2 时，； 2 2222AE BFbbbb b2+2b2 的最小值为； 84 3 4 的最小值为3，同理求出b=a+2 时，的最小值为3AE BF AE BF 故答案为：3 【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量 积运算，二次函数求最值的公式 17 【2018 年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，xOyA:2l yx5,0B 以为直径的圆与直线 交于另一点若，则点的横坐标为_ABClD0AB CD A 【答案】3 【解析】设，则由圆心为中
16、点得易得,2(0)A aaa CAB 5 , 2 a Ca ，与联立解得点的横坐标所以.所以:520Cxxay ya2yxD1, D x 1,2D ， 5 5, 2,1,2 2 a ABaaCDa 9 由得或， 0AB CD 2 5 51220,230,3 2 a aaaaaa 1a 因为，所以0a 3.a 【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程 等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解 决这类问题的一般方法. 18【2017 年高考全国 III 卷文数】已知向量，且，则m=_( 2,3),(3
17、,)m abab 【答案】2 【解析】由题意可得解得.02 330,m a b2m 【名师点睛】 （1）向量平行：，, 1221 x yx yab, 0Rab bab . 1 11 BAACOAOBOC （2）向量垂直：. 1212 00x xy yaba b （3）向量的运算：. 22 1212 (,),| ,| |cos,xxyyabaaa baba b 19【2017 年高考全国 I 卷文数】 已知向量a a=（1， 2），b b=（m， 1） 若向量a a+b b与a a垂直， 则m=_ 【答案】7 【解析】由题得，因为，所以，解得(1,3)mab()0aba(1)2 30m 7m 【
18、名师点睛】如果a a=(x1，y1)，b b=(x2，y2)(b b0 0)，则abab的充要条件是x1x2+y1y2=0 20【2017 年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量，的模分别为 1，1，与 OA OB OC 2OA 的夹角为，且=7，与的夹角为 45若，则 OC tan OB OC OCmOAnOB ( ,)m nR _mn 【答案】3 【解析】由可得，根据向量的分解，tan7 7 2 sin 10 2 cos 10 10 易得，即，即，即得， cos45cos2 sin45sin0 nm nm 22 2 210 27 2 0 210 nm nm 510 570 nm nm 5
19、7 , 44 mn 所以3mn 【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的 结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题 （2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问 题通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法 （3）向量的两个作用：载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟 悉的数学问题；工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题 21 【2017 年高考浙江卷】已知向量a a，b b满足则的最小
20、值是_，最大值1,2,ababab 是_ 【答案】4，2 5 【解析】设向量的夹角为，则，, a b 22 122 1 2 cos54cos ab ， 22 122 1 2 cos54cos ab 则，54cos54cosabab 令，则，54cos54cosy 22 102 25 16cos16,20y 据此可得：， maxmin 202 5,164abababab 即的最小值是 4，最大值是abab2 5 【名师点睛】本题通过设向量的夹角为，结合模长公式，可得, a b54cosabab ，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理54cos 能力有一定的
21、要求 22 【 2017 年 高 考 天 津 卷 文 数 】 在中 ， 若，ABC60A 3AB 2AC 2BDDC AEAC ，且，则的值为_()ABR 4AD AE 11 【答案】 3 11 【解析】由题可得，则 12 3 2 cos603, 33 AB ACADABAC 12 () 33 AD AEABAC 2123 ()34934 333311 ACAB 【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用 向量的定比分点公式表示向量，则可获解本题中已知模和夹角，作为基底易于计算数量积,AB AC 23 【2017 年高考山东卷文数】已知向量a a=（2,6）,b b= ,若,则_( 1, )ab 【答案】3 【解析】由可得ab1 623. 【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略： （1）利用两向量共线求参数如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a a(x1,y1),b b (x2,y2),则的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便ab （2）利用两向量共线的条件求向量坐标一般地,在求与一个已知向量a a共线的向量时,可设所求向量 为a a(R R),然后结合其他条件列出关于的方程,求出的值后代入a a即可得到所求的向量 （3）三点共线问题A,B,C三点共线等价于与共线.AB AC