《三年高考（2017_2019）高考数学真题分项汇编专题11平面向量理（含解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三年高考（2017_2019）高考数学真题分项汇编专题11平面向量理（含解析）.pdf（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 专题 11 平面向量专题 11 平面向量 1 【2019 年高考全国 I 卷理数】已知非零向量a a，b b满足，且b b，则a a与 b b的夹角为| 2|ab()ab AB 6 3 CD 2 3 5 6 【答案】B 【解析】 因为b b， 所以=0， 所以， 所以=，()ab 2 () abba bb 2 a bbcos 2 2 |1 2|2 a bb abb 所以a a与b b的夹角为，故选 B 3 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹 角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0, 2 【2019 年高考全国 II 卷理数】已知
2、=(2,3)，=(3，t)，=1，则= AB AC BC AB BC A3B2 C2D3 【答案】C 【 解 析 】 由， 得， 则，(1,3)BCACABt 22 1(3)1BCt 3t (1,0)BC 故选 C(2,3) (1,0)2 1 3 02AB BC 【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大 3 【2019 年高考北京卷理数】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“” AB AC | |ABACBC 的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】与的夹角为锐角，所以，即 AB AC 2222
3、 |2|2ABACAB ACABACAB AC ，因为，所以|+|； 22 |ABACACAB ACABBC AB AC BC 当|+|成立时，|+|2|-|20，又因为点A，B，C不共线， AB AC BC AB AC AB AC AB AC 2 所以与的夹角为锐角.故 “与的夹角为锐角” 是 “|+|” 的充分必要条件, AB AC AB AC AB AC BC 故选 C 【名师点睛】 本题考查充要条件的概念与判断平面向量的模夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学 思想. 4 【2018 年高考全国 I 卷理数】在中，为边上的中线，为的中点，则ABCADBCEAD EB AB 31 44
4、ABAC 13 44 ABAC CD 31 44 ABAC 13 44 ABAC 【答案】A 【解析】根据向量的运算法则，可得 111111 222424 BEBABDBABCBABAAC ，所以. 11131 24444 BABAACBAAC 31 44 EBABAC 故选 A. 【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的 三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 5 【2018 年高考全国 II 卷理数】已知向量，满足，则 a b|1a1 a b(2)aab A4B3 C2D0 【答案】B 【解析
5、】因为所以选 B. 22 222|12 13 aabaa ba, 【名师点睛】已知非零向量，： 11 ( ,)x ya 22 (,)xyb 几何表示坐标表示 3 模|a a|= a a 22 11 xya 夹角 cos a b ab 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy 6 （2018 年高考浙江卷）已知a a，b b，e e是平面向量，e e是单位向量若非零向量a a与e e的夹角为，向量b b 3 满足b b24e eb b+3=0，则|a ab b|的最小值是 A1B+1 33 C2D23 【答案】A 【解析】设，则由得a = (x,y),e = (1,0),b
6、= (m,n)a,e = 3 a e = |a| |e|cos 3,x = 1 2 x2+ y2 ，, y = 3x 由b b24e eb b+3=0 得因此|a ab b|的最小值为圆心到直线m2+ n2- 4m + 3 = 0,(m - 2)2+ n2= 1,(2,0) 的距离减去半径 1，为选 A.y = 3x 2 3 = 3 2 3 - 1. 【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的 选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算. 7 【2018 年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD中，,12
7、0 ,ABBC ADCDBAD 若点E为边CD上的动点，则的最小值为1,ABADAE BE AB 21 16 3 2 CD 25 16 3 【答案】A 【解析】连接AD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为 ABD,ABBC ADCDBCD 4 等边三角形，. 3BD 设 01DEtDCt AE BE 223 2 ADDEBDDEAD BDDEADBDDEBD DEDE = 2 33 3 22 tt01t 所以当时，上式取最大值，故选 A. 1 4 t 21 16 【名师点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用 基底表示，同时利用向量共线转化
8、为函数求最值. 8 【2018 年高考北京卷理数】设a a，b b均为单位向量，则“”是“a ab b”的 33abab A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】，因为a a，b b均2 2 2 222 699+63333 aababababa bbaa bb 为单位向量， 所以a ab b， 即 “” 是 “a ab b” 2222 699+6=0 aa bbaa bba b 33abab 的充分必要条件.故选 C. 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法 1定义法 ： 直接判断“若则” 、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为
9、真，pqqppq 则是的充分条件pq 2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条pqqpqppqpqqp 件或结论是否定式的命题，一般运用等价法 3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件ABABBAABAB 9【2017 年高考全国 III 卷理数】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆 上.若，则的最大值为APABAD A3B22 CD25 【答案】A 5 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系. 设，0,1 ,0,0 ,2,0 ,2,1 ,ABCDP x y 易得圆的半径，即圆C的方程是， 2 5 r 2 2 4 2 5
10、xy ，若满足，,1 ,0, 1 ,2,0APx yABAD APABAD 则，所以， 2 1 x y ,1 2 x y 1 2 x y 设，即，点在圆上，1 2 x zy10 2 x yz ,P x y 2 2 4 2 5 xy 所以圆心到直线的距离，即，解得，(2 0),10 2 x yz dr 22 15 1 4 z 13z 所以的最大值是 3，即的最大值是 3，故选 Az 【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、 减或数乘运算. （2）用向量基本定理解决问题的一般思路是 ： 先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量 的形式，
11、再通过向量的运算来解决. 10 【2017 年高考全国 II 卷理数】已知是边长为 2 的等边三角形，为平面内一点，则ABCPABC 的最小值是()PAPBPC AB2 3 2 CD 4 3 1 【答案】B 6 【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，BCxBCDAyD 则， 设， 所 以，(0, 3)A( 1,0)B (1,0)C( , )P x y(, 3)PAxy ( 1,)PBxy ，所以，(1,)PCxy ( 2 , 2 )PBPCxy 22 ()22 ( 3)22(PAPBPCxyyxy ，当时，所求的最小值为，故选 B 2 333 ) 222 3 (
12、0,) 2 P 3 2 【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路： “形化” ，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图 形的特征直接进行判断； “数化” ，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方 程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决 11 【2017 年高考北京卷理数】设m m,n n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的mn0m n A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么0mn ,m n
13、 180cos180 m nm n ；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，0m n0m n90 ,180 使得，所以是充分而不必要条件，故选 A.mn 【名师点睛】 【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若，那么,pq qpp 是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若qqppqpq ， 那么就是既不充分也不必要条件.（2） 当命题是以集合形式给出时， 那就看包含关系，,pq qp 已知:,p xA 7 ,若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么:q xBAB pqqpAB ，互为充要条件；若没有包含关系，那么
14、就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据pq 互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断.pqqp 12 【2019 年高考全国 III 卷理数】已知a a，b b为单位向量，且a ab b=0，若，则25cabcos,a c _. 【答案】 2 3 【解析】因为，25cab0a b 所以， 2 25a caa b2 ，所以， 222 | |4| |4 55|9 caa bb | 3c 所以cos,a c 22 1 33 a c a c 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角渗透了数学运算、直观想象素养使用 转化思想得出答案 13【2019 年高考天
15、津卷理数】在四边形中，点ABCD,2 3,5,30ADBCABADA 在线段的延长线上，且，则_ECBAEBEBD AE 【答案】1 【解析】 建立如图所示的直角坐标系， DAB=30，则，.2 3,5,ABAD(2 3,0)B 5 3 5 (, ) 22 D 因为，所以，ADBC30BAD30ABE 因为，所以，AEBE30BAE 所以直线的斜率为，其方程为，BE 3 3 3 (2 3) 3 yx 直线的斜率为，其方程为.AE 3 3 3 3 yx 8 由得， 3 (2 3), 3 3 3 yx yx 3x 1y 所以.( 3, 1)E 所以. 3 5 (, ) ( 3, 1)1 22 BD
16、 AE 【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标 方法更为方便. 14【2019 年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.ABCO 若，则的值是_ 6AB ACAO EC AB AC 【答案】.3 【解析】如图，过点D作DF/CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD 9 ， 3 63 2 AO ECADACAEABACACAE 2231311 23233 ABACACABAB ACABACAB AC ， 22223 2113 2 3322 AB ACABAC
17、AB ACABACAB AC 得即故 2213 , 22 ABAC 3,ABAC 3 AB AC 【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养. 采取几何法，利用数形结合和方程思想解题. 15 【2019 年高考浙江卷】已知正方形的边长为 1，当每个取遍时，ABCD(1,2,3,4,5,6) i i 的最小值是_；最大值是_ 123456 |ABBCCDDAACBD 【答案】0；.2 5 【解析】以分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图., AB AD 则,(1,0),(0,1),( 1,0),(0, 1),(1,1),( 1,1)ABBCCDD
18、AACBD 令 22 12345613562456 yABBCCDDAACBD 0 0. 又因为可取遍，(1,2,3,4,5,6) i i1 所以当时，有最小值. 134562 1,1 min 0y 因为和的取值不相关，或， 135 245 6 1 6 1 10 所以当和分别取得最大值时，y有最大值， 135 245 所以当时，有最大值. 125634 1,1 22 max 24202 5y 故答案为 0；.2 5 【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道 向量和不等式的综合题. 16 【2018 年高考全国 III 卷理数】已知向量，若，则 =
19、 1,2a= 2, 2b= 1,c2ca + b _ 【答案】 1 2 【解析】由题可得，即，故答案为.24,2ab 2 ca + b= 1,c 420 1 2 1 2 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两 向量共线的坐标关系计算即可. 17【2018 年高考上海卷】 在平面直角坐标系中， 已知点、，、是轴上的两个动点，1 0A ，2 0B，EFy 且，则的最小值为_|2EF AE BF 【答案】-3 【解析】根据题意，设E（0，a） ，F（0，b） ； ；2EFab a=b+2，或b=a+2； 且；1,2,AEaBFb ， ；2AE BF
20、ab 当a=b+2 时，； 2 2222AE BFbbbb b2+2b2 的最小值为； 84 3 4 的最小值为3，同理求出b=a+2 时，的最小值为3AE BF AE BF 故答案为：3 【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量 积运算，二次函数求最值的公式 11 18 【2018 年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，xOyA:2l yx5,0B 以为直径的圆与直线 交于另一点若，则点的横坐标为_ABClD0AB CD A 【答案】3 【解析】设，则由圆心为中点得易得,2(0)A aaa CAB 5 , 2 a Ca ，
21、与联立解得点的横坐标所以.所以:520Cxxay ya2yxD1, D x 1,2D ， 5 5, 2,1,2 2 a ABaaCDa 由得或， 0AB CD 2 5 51220,230,3 2 a aaaaaa 1a 因为，所以0a 3.a 【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程 等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解 决这类问题的一般方法. 19 【2017 年高考全国 I 卷理数】已知向量a a，b b的夹角为 60，|a a|=2，|b b|=1，则| a a +2b b |=_ 【答
22、案】2 3 【解析】方法一：， 222 |2 |44|44 2 1 cos60412 abaa bb 所以.|2 |122 3ab 方法二 ： 利用如下图形， 可以判断出的模长是以 2 为边长， 一夹角为 60的菱形的对角线的长度，2ab 则为.2 3 【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积 12 的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做 这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度. 20【2017 年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量，的模分别为 1，1，与 OA OB OC 2OA
23、的夹角为，且=7，与的夹角为 45若，则 OC tan OB OC OCmOAnOB ( ,)m nR _mn 【答案】3 【解析】由可得，根据向量的分解，tan7 7 2 sin 10 2 cos 10 易得，即，即，即得， cos45cos2 sin45sin0 nm nm 22 2 210 27 2 0 210 nm nm 510 570 nm nm 57 , 44 mn 所以3mn 【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的 结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题 （2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向
24、量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问 题通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法 （3）向量的两个作用：载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟 悉的数学问题；工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题 21【2017 年高考天津卷理】 在中， 若，ABC60A 3AB 2AC 2BDDC AEAC ，且，则的值为_()ABR 4AD AE 【答案】 3 11 【解析】由题可得， 12 3 2 cos603, 33 AB ACADABAC 13 则 12 () 33 AD AEABAC 2123 ()3
25、4934 333311 ACAB 【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利 用向量的定比分点公式表示向量， 则可获解 本题中已知模和夹角， 作为基底易于计算数量积,AB AC 22 【2017 年高考山东卷理数】已知是互相垂直的单位向量，若 12 3ee与 12 ee的夹角为，则 12 ,e e60 实数的值是_ 【答案】 3 3 【解析】， 22 1212112122 ( 3) ()333eeeeeeee ee ， 222 12121122 |3|( 3)32 32eeeeee ee ， 22222 12121122 |()21eeeeeeee
26、 ，解得 22 32 1cos601 3 3 【名师点睛】 （1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹ab|cosa ba bab 角的定义和它的取值范围：0180. （2）由向量的数量积的性质有，因此，利用平面向|aa acos | a b a b 0a bab 量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题 （3）本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于的方程求 解. 23 【2017 年高考浙江卷】已知向量a a，b b满足则的最小值是_，最大值1,2,ababab 是_ 【答案】4，2 5 【解析】设向量的夹角为，则，, a b 22 122 1 2 cos54cos ab ， 22 122 1 2 cos54cos ab 则，54cos54cosabab 14 令，则，54cos54cosy 22 102 25 16cos16,20y 据此可得：， maxmin 202 5,164abababab 即的最小值是 4，最大值是abab2 5 【名师点睛】本题通过设向量的夹角为，结合模长公式，可得, a b54cosabab ，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理54cos 能力有一定的要求