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1、 单元训练金卷高三数学卷（A） 第第 3 单元单元 导数及其应用导数及其应用 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给
2、出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1已知函数，则（ ） 1 ( )cosf xx x () 2 ff ABC D 2 3 1 3 2曲线 y=2sinx+cosx 在点(，1)处的切线方程为（ ） AB 10xy 2210xy C D2210xy 10xy 3函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） ( )yf x( )yfx( )yf x AB C D 4函数的单调增区间为（ ） ln 2f xxx ABC D 1,1,2,3,1 5若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） 2 1 2ln 2 f xx
3、xaxa ABC D 1a 10a 1a 01a 6过点作曲线的切线，则切线方程为（ ） (2, 6)P 3 ( )3f xxx A或B 或 30xy24540xy30xy24540xy C或 D30xy24540xy 24540xy 7已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） 1ln x f x x ,2a a a ABC D1,10,10,1 1 0, e 8若存在唯一的正整数，使关于 的不等式成立，则实数 的取值范围 是（ ） ABCD 1 0, 3 1 5 , 3 4 1 3 , 3 2 5 3 , 4 2 9函数 (其中 e 为自然对数的底数)的大致图像是（ ） 2 x
4、 x y e ABC D 10函数，正确的命题是（ ） A值域为B在是增函数 C有两个不同的零点D过点的切线有两条 11定义在 上的函数满足，且，则不等式的解集为 （ ） 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ABCD 12已知，则下列不等式一定成立的是（ ） ,0, 2 sinsin0 ABC D 2 2 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13函数在处的切线方程是，则_ ( )yf x5x 8yx 55ff 14函数在上极值为_ 2 1f xxx0,1 15函数的值域为_ 32 sin3cos, 3 2 f xxx
5、x 16已知函数无极值，则实数 的取值范围是_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知曲线 32 ( )2f xxxx （1）求曲线在处的切线方程； ( )yf x 2,2 （2）求曲线过原点的切线方程 ( )yf xO 18 （12 分）设函数，若函数的图象在点处与直线相切 2 ( )lnf xaxbx( )f x(1,(1)f 1 2 yx （1）求实数，的值；ab （2）求函数在上的最大值 ( )f x 1 ,e e 19 （12 分）求证：e1
6、 x x 20 （12 分）已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间 21 （12 分）已知函数（m 为常数） 2 13 4ln12 22 f xxxmxm （1）当 m=4 时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，求实数 m 的取值范围 22 （12 分）函数 2 ( )() x f xxexm mR （1）求函数的单调区间； ( )f x （2）若方程在区间上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围 2 ( )f xx 1,2m 单元训练金卷高三数学卷（A） 第第 3 单元单元 导数及其应用导数及其应用 答答 案案 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：
7、本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1 【答案】D 【解析】由题意知：， 2 11 cossinfxxx xx 11 cos f ， 2 422 cossin 222 f 123 2 ff 本题正确选项 D 2 【答案】C 【解析】当时，即点在曲线上 x 2sincos1y ( , 1) 2sincosyxx ， 2cossinyxx 2cossin2 x y 则在点处的切线方程为，即 2sincosyxx( , 1) ( 1)2()yx 2210xy 故选 C 3 【
8、答案】C 【解析】由题意，根据导函数的图象，可得当时， (,0)(2,)x 0fx 则函数单调递增；当时，函数单调递减，故选 C f x (0,2)x 0fx f x 4 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 2x x 1 ln 2( ) 2 x f xxxfx x 当时，函数单调递增，所以有或，而函数的定义域为， ( )0fx 1 02 2 x x x 1x 2x x 所以当时，函数单调递增，故本题选 D1x 5 【答案】D 【解析】的定义域是（0，+） ， f x 2 2 2 axxa fxx xx 若函数有两个不同的极值点，则在（0，+）由 2 个不同的实数根， f x 2 2g xxx
9、a 故，解得，故选 D 1 440 244 0 2 a a x 01a 6 【答案】A 【解析】设切点为（m，m3-3m） ，的导数为， 3 ( )3f xxx 2 ( )33fxx 可得切线斜率， 2 33km 由点斜式方程可得切线方程为 ym3+3m(3m2-3)（xm） ， 代入点，可得6m3+3m(3m2-3)（2m） ，解得 m0 或 m3， (2, 6)P 当 m=0 时，切线方程为；30xy 当 m=3 时，切线方程为，故选 A24540xy 7 【答案】C 【解析】因为（） ，所以， 1ln x f x x 0x 1 1lnlnxx fx xx 由，得， 0fx1x 所以当时，
10、即单调递增；01x 0fx 1ln x f x x 当时，即单调递减，1x 0fx 1ln x f x x 又函数在区间上不是单调函数， 1ln x f x x ,2a a 所以有，解得故选 C 0 1 21 a a a 01a 8 【答案】B 【解析】设，则存在唯一的正整数，使得， 设， 因为， 所以当以及时，为增函数；当时，为减函数， 在处，取得极大值 ，在处，取得极大值 而恒过定点，两个函数图像如图， 要使得存在唯一的正整数，使得， 只要满足，即，解得，故选 B 11 22 33 gh gh gh 1352 81253 272754 a a a 15 34 a 9 【答案】B 【解析】方
11、法一：排除法：当时，排除 C， 当时，恒成立，排除 A、D，故选 B 方法二：， 2 2 22 xx xx xxx exe y ee 由，可得，令，可得或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以只有 B 符合条件，故选 B 10 【答案】B 【解析】因为，所以， 1 ln10fxxx e 因此当时，在上是增函数，即在上是增函数； 1 x e 1 , e 当时，在上是减函数，因此；值域不为 R； 1 0x e 1 , e 11 f xf ee 当时，当时，只有一个零点，即只有一个零点 ； 1 0x e 1 x e 设切点为，则，所以过点的切线只有一条， 00 0 0 ln ln1 1 xx
12、 x x 0 1x 综上选 B 11 【答案】C 【解析】的解集即为的解集， 构造函数，则， 因为，所以， 所以在 上单调递增，且， 所以的解集为， 不等式的解集为故选 C 12 【答案】C 【解析】由题意， sinsin sinsin 设， sin x f x x 0, 2 x 2 cossin xxx fx x 0, 2 x 设， cossing xxxx 0, 2 x ，在单调递减，且， cossincossin0gxxxxxxx ( )g x0, 2 00g xg ，所以在递减， 0fx sin x f x x 0, 2 ，故选 C sinsin ff 第卷第卷 二、填空题：本大题共二
13、、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】2 【解析】函数的图象在点处的切线方程是， ( )yf x5x 8yx ，(5)1f (5)583f (5)(5)3 12ff 故答案为 2 14 【答案】 2 3 9 【解析】，令，得， 23 ( )(1)f xxxxx 2 ( )13fxx 0fx 3 3 x 在区间上讨论： 0,1 当时，函数为增函数； 3 0, 3 x ( )0fx 当时，函数为减函数， 3 ,1 3 x ( )0fx 所以函数在上的极值为，故答案是 0,1 3332 3 3399 f 2 3 9 15 【答案】 63 3 ,3 8 【解析】由题
14、意，可得， 3232 sin3cossin3sin3 , 3 2 f xxxxxx ， 令，即， 3 ,1 2 t 3 ,1 2 t 则， 当时，；当时， 3 0 2 t 即在为增函数，在为减函数， 3 ,0 2 又， 363 3 28 g 故函数的值域为 63 3 ,3 8 16 【答案】 【解析】因为， 所以， 又函数无极值，所以恒成立， 故，即，解得 2 363620aa 故答案为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）；（2）或 580xy y
15、x 0y 【解析】（1） 由题意得， 所以， 可得切线方程为， 2 ( )341fxxx(2)5 f (2)2f25(2)yx 整理得 580xy （2）令切点为，因为切点在函数图像上，所以， 00, xy 32 0000 2yxxx 2 000 341fxxx 所以在该点处的切线为 322 000000 2341yxxxxxxx 因为切线过原点，所以，解得或， 322 000000 02341 0xxxxxx 0 0x 0 1x 当时，切点为（0，0） ，切线方程为， 0 0x (0)1 f yx 当时，切点为，切线方程为 y=0， 0 1x 1,0( )01 f 所以切线方程为或 y=0
16、yx 18 【答案】 （1）；（2） 1 2 ab 11 ln2 44 【解析】 （1）由，得， 2 lnf xaxbx 2 a fxbx x ，则，解得， 12fab 1 2 2 1 1 2 ab fb 1 2 a 1 2 b （2）由（1）知，（） 2 11 ln 22 f xxx 2 112 22 x fxx xx 0x 当时，；当时， 12 , 2 x e 0fx 2 , 2 xe 0fx 在上为增函数，在上为减函数， f x 12 , 2e 2 , 2 e 则 max 2121111 lnln2 2222244 f xf 19 【答案】见解析 【解析】，所以， 1 x h xex 1
17、 x h xe 当 x0 时，h（x）0，h（x）为增函数； 当时，h（x）为减函数，0x 0h x 所以 h（x）h（0）0，所以1 x ex 20 【答案】 （1）；（2）当时，的单调增区间是； 当时，的单调递减区间是；递增区间是 【解析】 （1）当时，所以 lnf xxx 1 10fxx x 所以，所以切线方程为 11f （2）当时，在时， (0) xa fxx x 所以的单调增区间是； 当时，函数与在定义域上的情况如下： a 所以的单调递减区间是；递增区间是 综上所述：当时，的单调增区间是； 当时，的单调递减区间是；递增区间是 21 【答案】 （1）单调递增区间为（1，2）和（5，）
18、，单调递减区间为；（2）3m 【解析】依题意，函数的定义域为（1，） （1）当 m4 时， 2 15 4ln16 22 f xxxx ， 2 254710 6 111 xxxx fxx xxx 令，解得或；令，解得 可知函数的单调递增区间为（1，2）和（5，） ，单调递减区间为 f x （2） 2 364 2 11 xmxm fxxm xx 若函数有两个极值点，则，解得3m yf x 2 3460 1360 3 1 2 mm mm m 22 【答案】 （1）增区间为(0, )，减区间为(,0) ；（2） 1 1,1 e 【解析】 （1） ( )f x的定义域为R，( )21 x fxxe，则(
19、0)0 f ，( )2 x fxe， 由于0 x e 恒成立，则( )2 x fxe在R上大于零恒成立， ( )21 x fxxe在R上为单调递增函数， 又 (0)0 f ，当0x 时， ( )(0)0fxf ，则函数 ( )f x增区间为(0,)， 当0x 时， ( )(0)0fxf ，则函数 ( )f x减区间为(,0) （2）令 2 ( )( )exg xf xxxm，则( )1 x g xe； 令( )10 x g xe ，解得0x ， 令( )10 x g xe ，解得0x ，则( )g x的增区间为(0,2)， 令( )10 x g xe ，解得0x ，则( )g x的减区间为( 1,0)， 由此可得 ( )g x的大致图像如图： 要使方程 2 f xx在区间 1,2上恰有两个不等的实根等价于函数( )g x与x轴在区间 1,2有两 个不同交点，从图像可得 g( 1)0 g(0)0 (2)0g ，解得 1 11m e ，故答案为 1 1,1m e