备战2020年高考高三一轮单元训练金卷 数学（理）： 第12单元 圆锥曲线 B卷 含答案.pdf

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1、 单元训练金卷高三数学卷（B） 第第 12 单元单元 圆锥曲线圆锥曲线 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四

2、个选项中，只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1“”是“方程表示椭圆”的（ ）02m 22 1 2 xy mm A充要条件B充分不必要条件 C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 2双曲线的顶点到渐近线的距离等于（ ） 2 2 1 4 x y ABC D 2 5 5 4 5 2 5 4 5 5 3已知抛物线上的点到其焦点的距离为 ，则该抛物线的标准方程为（ ） ABCD 4一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成角是 60的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的 焦距等于（ ） ABC2D4 5已知双曲线的右顶点为，右焦点为，是坐标系原点，过且与

3、轴垂直 22 22 :1 xy C ab AFOA x 的直线交双曲线的渐近线于，两点，若四边形是菱形，则的离心率为（ ）MNOMFNC A2BCD 23 1 2 6 已知点P为抛物线上的动点， 点P在y轴上的射影是B， A点坐标为(3， 4) 则PA+PB 2 4yx 的最小值是（ ） A5B4CD 2 52 51 7以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点 恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（ ） ABC D 3231 2 2 3 2 8 设是双曲线的左、 右焦点， 为双曲线右支上一点， 若 12 ,F F 22 22 1(0,0) xy

4、 ab ab P 12 90FPF ，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ） 2c 2 1 3 PF F S ABC D 5 4 6 3 9 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用， 还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”设点 F 是抛物线 的焦点，l 是该抛物线的准线，过抛物线上一点 A 作准线的垂线 AB，垂足为 B，射线 AF 2 2ypx 交准线 l 于点 C，若的“勾”、“股”，则抛物线方程为（ ）ABCRt3AB 3 3CB ABC D 2 2yx 2 3yx 2 4yx 2 6yx 10已知椭圆，过左

5、焦点作斜率为 1 的直线 与 交于 ， 两点，若线段的 22 22 :1 xy C ab 中垂线与 轴交于（ 为椭圆的半焦距） ，则椭圆的离心率为（ ）,0 3 c P ABCD 1 2 2 2 3 2 2 3 11 如图， 已知抛物线的顶点在坐标原点， 焦点在 轴上， 且过点， 圆， 过圆心的直线 与抛物线和圆分别交于 ， ， ，则的最小值为（ ） 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ABCD 12过双曲线的右支上一点 分别向圆：和圆： 2 2 1 3 y x 作切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A5B4C3D2 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4

6、 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13已知平面内两个定点和点，是动点，且直线，的斜率乘积为常数(3,0)M( 3,0)N PPMPN ，设点的轨迹为(0)a a PC 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；(0)a a C( 4,0),(4,0) 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；(0)a a C(0, 4),(0,4) 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；(0)a a C( 4,0),(4,0) 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值(0)a a C(0, 4),(0,4) 其中正确的命题是_ （填出所有正确命题的序号） 14已知点是双曲线渐近线上一点

7、，则其离心率是_(1,2) 22 22 1(0,0) yx ab ab 15点 在抛物线 ：上， 为 的焦点，以为直径的圆与 轴只有一个公共点，且点的 坐标为，则_ 16已知椭圆与双曲线有公共的左、右焦点 22 11 22 11 1(0) xy ab ab 22 22 22 22 1(0,0) xy ab ab ，它们在第一象限交于点 ，其离心率分别为，以为直径的圆恰好过点 ， 则_ 22 12 11 ee 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知双曲线

8、 与双曲线具有相同的渐近线，且双曲线 过点 22 1 82 xy （1）求双曲线 的方程； （2） 已知是双曲线 的两个焦点， 点 在双曲线 上， 设， 若， 求的面积 18（12 分） 已知抛物线的焦点为直线 与轴的交点，为坐标原点 2 2(0)ypx p210xy x O （1）求抛物线的方程； （2）若过点 A(2，0)的直线 与抛物线相交于 B、C 两点，求证：l OBOC 19 （12 分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点 22 1 22 :10 xy Cab ab 2 2: 0Cy2px p F 重合，且点到直线的距离为，与的公共弦长为F10xy 21 C 2 C 2 6 （1）求

9、的坐标；F （2）求椭圆的方程 1 C 20 （12 分）已知双曲线的渐近线方程为，O 为坐标原点， 22 22 :10,0 xy Cab ab 3yx 点在双曲线上 （1）求双曲线 C 的方程； （2）若斜率为 1 的直线 l 与双曲线交于 P，Q 两点，且，求直线 l 方程0OP OQ 21 （12 分）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点， 2 :2(0)C ypx pFMC8MF 且（为坐标原点） 2 3 OFMO （1）求抛物线的方程；C （2）过点的直线 与抛物线交于，两点，求面积的最小值FlCABAOB 22（12 分） 已知椭圆，是长轴的一个端点， 弦 过椭圆的中心， 22 2

10、2 1(0) xy ab ab 2,0ABCO 点在第一象限，且，C 0AC BC 2OCOBABBC （1）求椭圆的标准方程； （2）设、为椭圆上不重合的两点且异于、，若的平分线总是垂直于轴，问是否PQABPCQ x 存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求取得最大值时的的长PQAB PQ 单元训练金卷高三数学卷（B） 第第 12 单元单元 圆锥曲线圆锥曲线 答答 案案 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1 【答案】

11、C 【解析】方程表示椭圆，即且， 22 1 2 xy mm 0 2002 2 m mm mm 1m 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选 C02m 22 1 2 xy mm 2 【答案】A 【解析】双曲线的顶点为，渐近线方程为， 2 2 1 4 x y 2,0 1 2 yx 双曲线的顶点到渐近线的距离等于故选 A 2 2 1 4 x y 12 5 51 1 4 3 【答案】A 【解析】抛物线的准线方程， 4 a x 抛物线上的点到其焦点的距离为 ，12 4 a 即该抛物线的标准方程为，故选 A 4 【答案】D 【解析】因为底面半径为 的圆柱被与底面成的平面所截，其截口是一个椭圆，

12、则这个椭圆的短半轴为，长轴为，则， ，椭圆的焦距为，故选 D 5 【答案】A 【解析】双曲线的右顶点为，右焦点为，是坐标系原点， 22 22 :1 xy C ab ( ,0)A a( ,0)F cO 过且与轴垂直的直线交双曲线的渐近线于，两点，A x MN 若四边形是菱形，可得，可得故选 AOMFN2ca2e 6 【答案】D 【解析】根据题意抛物线的准线为，焦点 F(1，0)，1x 由抛物线定义可得，故选 D 22 2412 5111PAPBPAPFAF 7 【答案】B 【解析】设椭圆的两个焦点为，圆与椭圆交于，四个不同的点， 1 F 2 F ABCD 设，则， 12 2FFc 1 DFc 2

13、 3DFc 椭圆定义，得，所以，故选 B 12 2|3aDFDFcc 2 31 31 c e a 8 【答案】D 【解析】由题意可得，可得， 22 12 12 16 1 3 2 PFPF PF PF 2 12 4PFPF 可得，可得， 12 22PFPFa1a 22 213b 可得渐近线方程为，可得双曲线的渐近线的夹角为，故选 D3yx 3 9 【答案】B 【解析】由题意可知，抛物线的图形如图： ，可得，3AB 3 3BC 2 2 33 36AC 所以，是正三角形，并且是的中点，所以，则，60CABABFFAC3AB 3 2 P 所以抛物线方程为，故选 B 2 3yx 10 【答案】B 【解析

14、】设，则中点 1212 , 22 xxyy Q 直线 的方程为，与椭圆联立得， 22 22 1 xy ab 所以，可得所以， 2 12 22 2 xxa c ab 2 1212 22 22 yyxxb c c ab 2 22 3 2 PQ b k ba 因为，即，所以，故选 B 2 22 3 1 2 b ba 2 2 1 2 b a 2 2 e 11 【答案】C 【解析】由题意抛物线过定点，得抛物线方程，焦点为， 圆的标准方程为，所以圆心为，半径 由于直线过焦点，所以有， 1121 3PFQFp 又 313334PNQMPFQFPFQF 故选 C 113 3343 44166 3 QFPF P

15、FQF PFQFPFQF 12 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 设双曲线的左右焦点为， 2 2 1 3 y x 连接，可得 当且仅当 为右顶点时，取得等号，即最小值 5 故选 A 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】 【解析】设点 P 的坐标为 P（x，y） ，依题意，有， 33 yy a xx 整理得， 22 1 99 xy a 对于，点的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆，且 c4，a0， 椭圆在 x 轴上两顶点的距离为，焦点为 248，不符； 2 96 对于，点的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆，

16、且 c4， 椭圆方程为，则，解得，符合； 22 1 99 yx a 9916a 25 9 a 对于，当时，所以存在满足题意的实数 a，错误； 7 9 a 22 1 97 xy 对于，点的轨迹为焦点在 y 轴上的双曲线，即， 22 1 99 yx a 不可能成为焦点在 y 轴上的双曲线，所以不存在满足题意的实数 a，正确 所以，正确命题的序号是 14 【答案】 5 2 【解析】因为点是双曲线渐近线上一点，(1,2) 22 22 1(0,0) yx ab ab 所以渐近线方程为，所以，2yx2 a b 因此，故答案为 2 2 5 1 2 cb e aa 5 2 15 【答案】5 【解析】由抛物线的

17、方程为可得其焦点坐标为，准线方程为 设点 的坐标为，则， 2 , 4 y y 2 1, 2,2 4 y MFMAy ， 由题意得点在以为直径的圆上， ， 22 22240 44 yy MF MAyy 整理得，解得 由抛物线的定义可得，故答案为 2 14 15 4 y AF 16 【答案】 【解析】由椭圆定义得， 在第一象限，由双曲线定义得， 由得， 因为为直径的圆恰好过点 ，所以， ， ，即，故答案为 2 22 12 22 2 aa cc 22 12 11 2 ee 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写

18、出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）；（2） 22 1 164 xy 【解析】 （1）根据题意，可设双曲线 的方程为， 22 0 82 xy 双曲线 过点，双曲线 的方程为 324 2 82 22 1 164 xy （2）在双曲线中， 22 1 164 xy 在中，设，由余弦定理得， 即， 求得， 1 cos 2 ， 3 sin 2 1 2 1 2 113 sin164 3 222 PF F Srr 18 【答案】 （1）；（2）见证明 2 2yx 【解析】 （1）与轴的交点是，故210xy x 1 ,0 2 1p 所以抛物线的方程是 2 2yx （2）设过点的直线方程为，(

19、2,0)A:2l xmy 当不存在时，直线 与抛物线只有一个交点，故舍去， m l 联立，消去得，恒成立 2 2 2 yx xmy x 2 240ymy 2 4160m 设，则， 11 ( ,)B x y 22 (,)C xy 12 2yym 12 4y y 有， 11 ( ,)xOBy 22 (,)xOCy 则 1212 OBx xy yOC 1212 22mymyy y 2 1212 124my ymyy 2 1( 4)224mmm 22 4444mm ，0 所以，所以OBOC90BOC 19 【答案】 （1）；（2）(1,0) 22 1 98 xy 【解析】 （1）的焦点的坐标为， 2

20、2: 2yxCpF,0 2 p 由点到直线的距离为，得，F10xy 2 0 1 2 2 2 p 0p ，2p，1,0F （2）1,0FQ为椭圆的一个焦点， 22 1ab 1 C与 2 C的公共弦长为2 6， 1 C与 2 C都关于x轴对称， 1 C与 2 C的公共点纵坐标为 6 ， 由抛物线方程可知公共点坐标为 3 ,6 2 ， 22 96 1 4ab 联立解得 2 9a ， 2 8b ， 1 C的方程为 22 1 98 xy 20 【答案】 （1） 22 1 412 xy ；（2） 【解析】（1） 双曲线 C 的渐近线方程为， ， 双曲线的方程可设为 222 33xya 点 M（，）在双曲线

21、上，可解得 a=2，双曲线 C 的方程为 22 1 412 xy （2）设直线 PQ 的方程为 y=x+m，点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 将直线 PQ 的方程代入双曲线 C 的方程， 可化为 22 22120xmxm， 12 xxm， 2 12 12 2 m x x ， 由=0，得 1212 0x xy y，把 11 yxm， 22 yxm代入上式可得 2 1212 20x xm xxm， 2 2 22 122 20 33 mkm mm kk ，化简得 2 12m 直线方程或 21 【答案】 （1） 2 8yx；（2）最小值为 8 【解析】 （1）由抛物线的性质，知焦点F到准线

22、的距离为 8， 由cos60MFpMF，得84p，即4p ，抛物线C的方程为 2 8yx （2）焦点2,0F，由题意知直线斜率不为 0，所以设直线l方程为2xty 与C的方程联立 2 2 8 xty yx ，得 2 8160yty 由韦达定理可得 12 8yyt， 12 16y y 又坐标原点到直线的距离 2 2 1 d t ， 因为 2 12 1ABtyy， 所以 2 2 121212 1 464648 2 AOB Sd AByyyyy yt 当 t=0 时，取到最小值 8，故AOB面积的最小值为 8 22 【答案】 （1） 22 3 1 44 xy ；（2） 2 30 3 【解析】 （1）

23、 0AC BC ，90ACB， 2OCOBABBC 即| 2|BCAC ，AOC是等腰直角三角形， 2,0A，1,1C，而点C在椭圆上， 22 11 1 ab ，2a ， 2 4 3 b ， 所求椭圆方程为 22 3 1 44 xy （2）对于椭圆上两点P，Q， PCQ 的平分线总是垂直于x轴，PC与CQ所在直线关于1x 对称， PC kk，则 CQ kk ， 1,1C，PC的直线方程为11yk x， QC的直线方程为11yk x ， 将代入 22 3 1 44 xy ，得 222 1 3613610kxk kxkk ， 1,1C在椭圆上，1x 是方程的一个根， 2 2 361 1 3 P kk x k ， 以k替换k，得到 2 2 361 31 Q kk x k ， 2 1 3 PQ PQ PQ k xxk k xx ， 90ACB，2,0A，1,1C，弦BC过椭圆的中心O， 2,0A，1, 1B ， 1 3 AB k， PQAB kk ，PQAB， 存在实数，使得PQAB ， 22 22 2 2 1241602 30 | 1 1 31 33 96 kk PQ kk k k ， 当 2 2 1 9k k 时，即 3 3 k 时取等号， max 2 30 | 3 PQ ， 又|10AB ， max 2 30 2 3 3 310 ，取得最大值时的PQ的长为 2 30 3