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1、 单元训练金卷高三数学卷（A） 第第 18 单元单元 综合测试综合测试 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四
2、个选项中，只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1已知集合，则（ ）24|xxM06| 2 xxxNNM ABC D34|xx24|xx22|xx32| xx 2设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）z1ziz ( , )x y ABC D 22 (1)1xy 22 (1)1xy 22 (1)1xy 22 (1)1xy 3已知，则（ ） 2 log 0.2a 0.2 2b 0.3 0.2c ABC D abcacbcabbca 4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（ 2 15 称为黄金分割比例） ，著名的“
3、断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽618 . 0 2 15 喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 2 15 ，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）cm105cm26 ABC D cm165cm175cm185cm190 5函数在的图像大致为（ ） 2 sin ( ) cos xx f x xx , AB C D 6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成， 爻分为阳爻“”和阴爻“” ，下图就是一重卦在所有重卦中随机取一 重卦，则该重卦恰有个阳爻的概率是（ ）3 ABC D 5 16 11 32 21
4、 32 11 16 7已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）, a b 2ab ()abb a b ABC D 6 3 2 3 5 6 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 8右图是求的程序框图，图中空白框中应填入（ ） 1 1 2+ 1 2+ 2 ABC D 1 2 A A 1 2A A 1 1 2 A A 1 12 A A 9记为等差数列的前项和已知，则（ ） n S n an 4 0S 5 5a ABCD25 n an310 n an 2 28 n Snn 2 1 2 2 n Snn 10 已 知 椭 圆的 焦 点 为， 过的 直 线 与交 于，两 点 若C)0 ,
5、1( 1 F)0 , 1 ( 2 F 2 FCAB ，则的方程为（ ）|2| 22 BFAF | 1 BFAB C ABC D 1 2 2 2 y x 1 23 22 yx 1 34 22 yx 1 45 22 yx 11关于函数有下述四个结论：( )sinsinf xxx 是偶函数；在区间单调递增；( )f x( )f x(, ) 2 在有 4 个零点；的最大值为，( )f x, ( )f x2 其中所有正确结论的编号是（ ） ABCD 12已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为的PABCOPAPBPCABC2 正三角形，分别是，的中点，则球的体积为（ ）,E FPAAB90CEFO A
6、BC D 8 64 62 66 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13曲线在点处的切线方程为 2 3() x yxx e(0,0) 14记为等比数列的前项和，若，则 n S n an 1 1 3 a 2 46 aa 5 S 15甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根 据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为，0.6 客场取胜的概率为，且各场比赛相互独立，则甲队以获胜的概率是0.54:1 16已知双曲线 C:的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐 22 2
7、2 1(0,0) xy ab ab 12 ,F F 1 FC 近线分别交于两点若，则的离心率为 ,A B 112 ,0F AAB FB F B uuu ruu u r uuu r uuu r C 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）的内角的对边分别为 设ABC, ,A B C, ,a b c 2 2 sinsinsinsinsinBCABC （1）求；A （2）若，求 22abc sinC 18 （12 分）如图，直四棱柱的底面是菱形， 1111 ABC
8、DABC D 1 4,2,60AAABBAD 分别是的中点,E M N 11 ,BC BB AD （1）证明：平面；/ /MN 1 C DE （2）求二面角的正弦值 1 AMAN 19 （12 分）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线 与的交点为，与轴xyC3: 2 F 2 3 lCAB x 的交点为P （1）若，求 的方程；4| BFAFl （2）若，求 3APPB | AB 20 （12 分）已知函数，为的导函数证明：( )sinln(1)f xxx( )fx ( )f x （1）在区间存在唯一极大值点；( )fx ( 1,) 2 （2）有且仅有个零点( )f x2 21 （12 分）为治疗某
9、种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物 实验实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验对于两只白鼠，随机选一只施以 甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验当其中一种药治愈的白鼠比 另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题， 约定 ： 对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得分 ；1 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得分；若都治愈或都未治愈1 则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮实验中甲药的得分记为 X
10、（1）求的分布列；X （2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予 4 分，表示“甲药的累计得分为 时，(0,1,8) i pi i 最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则， 0 0p 8 1p 11iiii papbpcp (1,2,7)i 其中，假设，(1)aP X (0)bP X(1)cP X0.50.8 证明：为等比数列； 1 (0,1,2,7) ii ppi 求，并根据的值解释这种实验方案的合理性 4 p 4 p 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方
11、程】 在直角坐标系中，曲线的参数方程为以坐标原点为极点，轴的xOyC 2 2 2 1 1 () 4 1 t x t t t y t 为参数Ox 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为l2 cos3 sin110 （1）求和 的直角坐标方程；Cl （2）求上的点到 距离的最小值Cl 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知为正数，且满足，证明：, ,a b c1abc （1）； 222 111 abc abc （2） 333 ()()()24abbcca 单元训练金卷高三数学卷（A） 第第 18 单元单元 综合测试综合测试 答答 案案 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择
12、题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1 【答案】C 【解析】由题意可知，32|xxN 又因为，则，故选 C24|xxM22|xxNM 2 【答案】C 【解析】复数在复平面内对应的点为，z( , )x y zxyi ，故选 C1xyii 22 (1)1xy 3 【答案】B 【解析】由对数函数的图像可知；再有指数函数的图像可知， 2 log 0.20a 0.2 21b ，于是可得到故选 B 0.3 00.21cacb 4 【答案】B 【解析】方法一：设头顶处为点，咽喉处
13、为点，脖子下端处为点，肚脐处为点，ABCD 腿根处为点，足底处为，EFtBD 2 15 根据题意可知，故， BD AB tAB 又，故，tBDABAD) 1( DF AD tDF 1 所以身高，将，代入可得tDFADh 2 ) 1( 618 . 0 2 15 th24 . 4 根据腿长为，头顶至脖子下端的长度为可得，cm105cm26ACAB EFDF 即，将，代入可得，26t105 1 t 618 . 0 2 15 4240 t 所以，故选 B08.178 6 . 169 h 方法二 ： 由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近， 故头顶至脖子下端的长度cm26 可估值为头顶至咽喉
14、的长度， 根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是（称为黄金分割 2 15 618 . 0 2 15 比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为，cm42 将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为，cm68 头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可计算出肚脐至足底的长度约为， 2 15 110cm 将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为，cm178 与答案更为接近，故选 Bcm175 5 【答案】D 【解析】，为奇函数，排除 A， 2 sin () cos xx fx xx 2 sin cos xx xx ( )f x ( )f x 又，排除
15、C，22 sin 42 22 ()0 2 cos 22 f ，排除 B，故选 D 22 sin ( )0 1 cos f 6 【答案】A 【解析】每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有种，在个位置上恰有个是阳爻的情况有 6 2 63 3 6 C 种，所以 3 6 6 205 26416 C P 7 【答案】B 【解析】设与的夹角为， a b ，()abb 2 ()cosabba bb =0 1 cos = 2 = 3 8 【答案】A 【解析】把选项代入模拟运行很容易得出结论， 选项 A 代入运算，可得，满足条件， 1 = 1 2+ 1 2+ 2 A 选项 B 代入运算，可得，不符合条件， 1 =
16、2+ 1 2+ 2 A 选项 C 代入运算，可得，不符合条件， 1 2 A 选项 D 代入运算，可得，不符合条件 1 1+ 4 A 9 【答案】A 【解析】依题意有，可得， 41 51 460 45 Sad aad 1 3 2 a d 25 n an 2 4 n Snn 10 【答案】B 【解析】由椭圆的焦点为，可知，C)0 , 1( 1 F)0 , 1 ( 2 F1c 又，|2| 22 BFAF | 1 BFAB 可设，则，mBF | 2 mAF2| 2 mABBF3| 1 根据椭圆的定义可知，得，所以，ammBFBF23| 21 am 2 1 aBF 2 1 | 2 aAF | 2 可 知
17、， 根 据 相 似 可 得代 入 椭 圆 的 标 准 方 程， 得，), 0(bA) 2 1 , 2 3 (bB1 2 2 2 2 b y a x 3 2 a ，椭圆的方程为2 222 cab C 1 23 22 yx 11 【答案】C 【解析】因为，所以是偶函数，正确；()sinsin()sinsin( )fxxxxxf x( )f x 因为，而，所以错误； 52 ,(, ) 632 52 ()() 63 ff 画出函数在上的图像，很容易知道有零点，所以错误；( )f x, ( )f x3 结合函数图像，可知的最大值为，正确，( )f x2 故答案选 C 12 【答案】D 【解析】设，则，P
18、Ax 222222 2 -42 cos= 22 PAPCACxxx APC PA PCx xx ， 222 2cosCEPEPCPE PCAPC 222 2 2 2 22 424 xxxx xx x ，90CEF 1 ,3 22 x EFPBCF ，即，解得， 222 CEEFCF 22 23 44 xx 2x 2PAPBPC 又，易知两两相互垂直，2ABBCAC,PA PB PC 故三棱锥的外接球的半径为，PABC 6 2 三棱锥的外接球的体积为，故选 DPABC 3 46 6 32 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】3
19、yx 【解析】， 2 3(21)3() xx yxexx e 2 3(31) x xxe 结合导数的几何意义曲线可知在点处的切线方程的斜率为，(0,0)3k 切线方程为3yx 14 【答案】 5 S 121 3 【解析】， 1 1 3 a 2 46 aa 设等比数列公比为， q 3 25 11 ()a qa q3q 5 S 121 3 15 【答案】0.18 【解析】甲队要以，则甲队在前 4 场比赛中输一场，第 5 场甲获胜，4:1 由于在前 4 场比赛中甲有 2 个主场 2 个客场，于是分两种情况： 1221 22 0.6 0.4 0.50.60.60.5 0.5 0.60.18CC 16
20、【答案】2 【解析】由知是的中点， 112 ,0F AAB FB F B uuu ruu u r uuu r uuu r A 1 BF 12 FBF B uuu ruuu r 又是的中点，所以为中位线且，所以，O 12 ,F FOA 1 OABF 1 OBOF 因此， 1 FOABOA 又根据两渐近线对称，所以， 12 FOAF OB 2 60F OB 22 1( )1tan 602 b e a 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）；（2）= 3 A
21、 62 4 【解析】 （1）由， 2 2 sinsinsinsinsinBCABC 得， 222 sinsinsinsinsinBCABC 结合正弦定理得， 222 bcabc 222 1 cos= 22 bca A b c 又，(0, )A= 3 A （2）由，得， 22abc2sinsin2sinABC ，2sinsin2sinAACC 6 sin()2sin 23 CC ， 312 sincos 222 CC 2 sin() 62 C 又， 2 0 3 C 662 C 又，sin()0 6 C 0 62 C 2 cos 62 C sinsin() 66 CC sincoscossin 6
22、666 CC 62 4 18 【答案】 （1）见解析；（2） 10 5 【解析】 （1）连接和，,M E 1, B C 分别是和的中点，且，,M E 1 BBBC 1 / /MEBC 1 1 2 MEBC 又是，且，四边形是平行四边形，N 1 A D/ /MEDNMEDNMNDE ，/ /MNDE 又平面，平面，平面DE 1 C DEMN 1 C DE/ /MN 1 C DE （2）以为原点建立如图坐标系，D 由题，(0,0,0)D(2,0,0)A 1(2,0,4) A (1, 3,2)M ， 1 (0,0, 4)A A uuu r 1 ( 1, 3, 2)AM uuuu r 1 ( 2,0,
23、 4)AD uuu r 设平面的法向量为，平面的法向量为， 1 AAM 1111 (,)nx y z u r 1 DAM 2222 (,)nxy z u u r 由，得，令，得， 11 11 0 0 nA A nAM u r uuu r u r uuuu r 1 111 40 320 z xyz 1 3x 1 ( 3,1,0)n u r 由，得，令，得， 21 21 0 0 nAD nAM u u r uuu r u u r uuuu r 22 222 240 320 xz xyz 2 2x 2 (2,0, 1)n u u r ，二面角的正弦值为 12 12 12 15 cos, 5 n n
24、n n nn u r u u r u r u u r u ru u r 1 AMAN 10 5 19 【答案】 （1）；（2）07128xy 3 134 【解析】设直线 的方程为，设，lbxy 2 3 ),( 11 yxA),( 22 yxB （1）联立直线与抛物线的方程消去化简整理得，l xy bxy 3 2 3 2 y 0)33( 4 9 22 bxbx ， 22 9 (33)40 4 bb 2 1 b 9 )33(4 21 b xx 依题意，可知，即，4| BFAF4 2 3 21 xx 2 5 21 xx 故，得，满足， 2 5 9 )33(4 b 8 7 b0 故直线 的方程为，即l
25、 8 7 2 3 xy07128xy （2）联立方程组消去化简整理得， xy bxy 3 2 3 2 x 022 2 byy ，480b 2 1 b2 21 yybyy2 21 ，可知，则，得， 3APPB 21 3yy22 2 y1 2 y3 1 y 故可知，满足， 2 3 b0 3 134 | 13| 9 4 1| 1 1| 21 2 yy k AB 20 【答案】 （1）见解析；（2）见解析 【解析】 （1）对进行求导可得，( )f x 1 ( )cos 1 fxx x ( 1) 2 x 取，则， 1 ( )cos 1 g xx x 2 1 ( )sin (1) g xx x 在内，为单
26、调递减函数，( 1,) 2 x 2 1 ( )sin (1) g xx x 且，(0)1g 2 1 ()10 2 (1) 2 g 所以在内存在一个，使得，所以在内，为增(0,1)x 0 x( )0g x 0 ( 1,)xx ( )0g x( )fx 函数；在内，为减函数， 0 (,) 2 xx ( )0g x ( )fx 所以在区间存在唯一极大值点( )fx ( 1,) 2 （2）由（1）可知，当时，单调增，且，可得，( 1,0)x ( )fx (0)0 f 0fx 则在此区间单调减；( )f x 当时，单调增，且，则在此区间单调增； 0 (0,)xx( )fx(0)0 f ( )0fx( )
27、f x 又，则在上有唯一零点(0)0f 0 ( 1,)xx ( )f x0x 当时，单调减，且，则存在唯一的， 0 (,) 2 xx ( )fx 0 ()0,()0 2 fxf 10 (,) 2 xx 使得，在时，单调增； 1 ()0fx 01 (,)xx x( )0fx( )f x 当时，单调减，且， 1 ( ,) 2 xx ( )f x()1 ln(1)1 ln0 22 fe 所以在上无零点； 0 (,) 2 xx ( )f x 当时，单调减，单调减，则在上单调减，(, ) 2 x sinyxln(1)yx ( )f x(, ) 2 x ，所以在上存在一个零点( )0ln(1)0f(, )
28、 2 x ( )f x 当时，恒成立，( ,)x( )sinln(1)1 ln(1)0f xxx 则在上无零点( )f x( ,)x 综上可得，有且仅有个零点( )f x2 21 【答案】 （1）见解析；（2）见解析，见解析 【解析】 （1）一轮实验中甲药的得分有三种情况： 、110 得 分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则；1(1)(1)P X 得分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则；1(1)(1)P X 得分时是都治愈或都未治愈，则0(0)(1)(1)P X 则的分布列为：X （2）因为，0.50.8 则，(1)0.4aP X (0)0.5bP X(1)0.1c
29、P X 可得，则， 11 0.40.50.1 iiii pppp 11 0.50.40.1 iii ppp 则，则， 11 0.4()0.1() iiii pppp 1 1 4 ii ii pp pp 所以为等比数列 1 (0,1,2,7) ii ppi 的首项为，那么可得： 1 (0,1,2,7) ii ppi 101 ppp ， 7 871 4ppp ， 6 761 4ppp ， 211 4ppp 以上 7 个式子相加，得到， 76 811 (444)ppp 则，则， 88 67 8111 1 441 (1444 ) 1 43 pppp 1 8 3 41 p 再把后面三个式子相加，得， 2
30、3 411 (444 )ppp 则 44 23 411 84 4141311 (1444 ) 334141257 ppp 表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多 4 只，且甲药的累计得分为 4” ，因为， 4 p0.5 ，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多 4 只，且甲药的累计得分0.8 为 4”这种情况的概率是非常小的，而的确非常小，说明这种实验方案是合理的 4 1 257 p 22 【答案】 （1）曲线：，直线 ：；（2） C 2 2 1 4 y x (1)x -l 23110xy7 【解析】 （1）曲线:由题意得，即，则，C 2 22 12 1 11 t x tt 2 2 1
31、 1 x t 2(1) y t x 然后代入即可得到 ， 2 2 11 4 y xx 而直线l：将cos ,sinxy代入即可得到23110xy （2）将曲线C化成参数方程形式为 cos 2sin x y 为参数， 则 4sin() 11 2cos2 3sin11 6 77 d ， 所以当 3 62 时，最小值为 7 23 【答案】 （1）见解析；（2）见解析 【解析】 （1）1abc ， 111 bcacab abc 由基本不等式可得： 222222 , 222 bcacab bcacab ， 于是得到 222222 222 111 222 bcacab abc abc （2）由基本不等式得到 3 3 2 2()8()abababab， 3 3 2 2()8()bcbcbcbc ， 3 3 2 2()8()caaccaac 于是得到 333 333 222 ()()()8 ()()()abbccaabbcac 333 3 222 8 3 () () ()24abbcca